浙工大概率论总复习(杨爱军)

概率论总复习主讲教师：杨爱军浙江工业大学第一章随机事件基本概念事件的概率古典概型条件概率事件的独立性§1.1基本概念1.

随机试验2.

样本空间、样本点3.随机事件基本事件、必然事件、不可能事件

4.事件的关系：包含、和(并)、积(交)、差

交换律:A∪B=B∪A，AB=BA；结合律:A∪(B∪C)=(A∪B)∪C，

A(BC)=(AB)C；分配律:A(B∪C)=AB∪AC，

A∪(BC)=(A∪B)(A∪C)；对偶律:5.事件的运算法则(与集合运算法则相同)(2)

若事件

A1,A2,…,An

两两互斥，则有：

P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+…+P(An)；(4)对两个事件A和B，若AB,则有

P(B-A)=P(B)-P(A),P(B)≥P(A);(3)对任一事件A,均有(5)对任意两个事件A,B，有(1)

P(Ø)=0,

P(A)≥0,

P(Ω)=1

；§1.2事件的概率§1.3古典概率模型古典概率模型中事件概率求法经典模型方法总结1.设一批产品共N件，其中有M件次品，从这批产品中一次性抽取n件样品，则样品中恰有m件次品的概率为设一批产品共N件，其中有M件次品，从这批产品中随机抽取n件样品(一件一件的取)，则样品中恰有m件次品的概率为

条件概率的概念§1.4条件概率乘法公式若P(B)>0,则P(AB)=P(B)P(A|B),

若P(A)>0，则P(AB)=P(A)P(B|A),

当P(A1A2…An-1)>0时，有

P(A1A2…An)

=P(A1)P(A2|A1)…P(An|A1A2…An-1).全概率公式其中A1,A2,…,An为Ω的一个划分，且P(Ai)>0,i=1,2,…,n.

§1.5事件的独立性两事件A,B相互独立P(AB)=P(A)P(B)当P(A)>0,P(B)>0时,若A、B互斥，则A与B不独立；若A、B独立,则A与B不互斥。Φ与任何事件A都既独立又互斥；Ω与任何事件都独立。定理：若事件A,B独立，则

也相互独立。

n个独立事件并的概率公式:第二章随机变量离散型随机变量连续型随机变量随机变量函数的分布

离散型随机变量的概率分布其中p1,p2,…满足§2.2离散型随机变量常见离散型随机变量的概率分布

1.

X

∼B(1,p),P{X=1}=p,P{X=0}=

1-p，E(X)=p，Var(X)=p(1-p).

2.X∼B(n,p)，E(X)=np,

Var(X)=p(1-p)，

3.X∼P()，E(X)=Var(X)=，§2.3

连续型随机变量概率密度函数f(x):密度函数的性质常见的连续型随机变量1.X

∼

N(μ,σ2)，E(X)=μ,Var(X)=σ2.2.X~U[a,b]，E(X)=(a+b)/2，Var(X)=(b-a)2/12.

3.X

∼

E()，E(X)=1/，Var(X)=1/2.随机变量的分布函数F(x)=P{X≤x},-∞<x<∞(1).a<b,总有F(a)≤F(b)(单调非减性)；(2).xR，总有0≤F(x)≤1(有界性)，且离散型随机变量的分布函数连续型随机变量的分布函数若X是离散型随机变量，概率分布为如果g(x1),g(x2),…,g(xk),…

中有一些是相同的，把它们作适当合并即可得到一串互不相同的y1,y2,…,

yi

,…

(不妨认为从小到大).

把yi

所对应的所有xk(即yi

=g(xk))的

pk值相加，记成qi

,则q1,

q2,

…,

qi

,…就是Y=g(X)的概率分布。

§2.4随机变量函数的分布离散型随机变量函数的分布连续型随机变量函数的分布其中

x=h(y)是

y=g(x)的反函数，定理:设

X是一个取值于区间[a,b],密度为

fX

(x),若y=g(x)处处可导且严格单调,记

(α,

β)为g(x)的值域，则Y=g(X)的概率密度为方法：把事件{g(X)≤y}转化为X在一定范围内取值{X∈G}的形式，然后利用X

的分布求P{g(X)≤y}.

第三章随机向量二维随机向量及其分布函数二维离散型随机变量二维连续型随机变量边缘分布随机变量的独立性随机变量函数的分布§3.1二维随机向量及其分布函数二维随机向量(X,Y)的(联合)分布函数定义为

P{x1<X≤x2,y1<Y≤y2}=F(x2,y2)-F(x2,y1)-

F(x1,y2)+F(x1,y1).(1).F(x,y)是变量x,y的非减函数；即

yR

给定，当x1<x2时，

F(x1,y)≤F(x2,y).

同样,xR

给定，当y1≤y2时,

F(x,y1)≤F(x,y2).(2).x,yR,有0≤F(x,y)≤1.

(3).yR,F(-∞,y)=0，

xR,F(x,-∞)=0，

F(-∞,-∞)=0，F(∞,∞)=1.二维分布函数F(x,y)的基本性质§3.2二维离散型随机向量联合概率分布

联合分布函数§3.3

二维连续型随机向量二维连续型随机向量(X,Y)的概率密度:均匀分布§3.4边缘分布边缘分布函数FX(x)=P{X≤x}=P{X≤x,Y<∞}=F(x,∞),FY(y)=P{Y≤y}=P{X<∞,Y≤y}=F(∞,y).离散型随机向量的边缘概率分布连续型随机向量的边缘概率密度§3.6随机变量的独立性X与Y相互独立：离散型随机变量X和Y相互独立的条件连续型随机向量

X与Y相互独立的条件1.Z=X+Y§3.7随机变量函数的分布2.M=max(X,Y)，N=min(X,Y)若X，Y

相互独立，则

FM(z)=FX(z)FY(z)，

FN(z)=1-[1-FX(z)][1-FY(z)]=FX(z)+FY(z)-FX(z)FY(z).第四章数字特征期望方差协方差与相关系数§4.1数学期望期望的性质

(1).设C是常数，则E(C)=C;(4).设X,Y相互独立，则E(XY)=E(X)E(Y);

(2).若k是常数，则E(kX)=kE(X);

(3).E(X+Y)=E(X)+E(Y);推广：推广：(诸Xi独立时)方差的定义

§4.2方差计算方差的一个简化公式Var(X)=E(X2)-[E(X)]2.

方差的性质

(1).设C是常数,则Var(C)=0;(2).若C是常数,则Var(CX)=C2Var(X);(3).若X1与X2

独立，则

Var(X1±X2)=Var(X1)+Var(X2);可推广为：若X1,X2,…,Xn相互独立，则(3).Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)；(1).Cov(X,Y)=Cov(Y,X)；(2).设a,b,c,d

是常数，则

Cov(aX+b,

cY+d

)=ac

Cov(X,Y)；(4).Cov(X,Y)=E(XY)-[E(X)][E(Y)]，(5).Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2Cov(X,Y).当X和Y相互独立时，Cov(X,Y)=0；Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}协方差定义§4.3协方差与相关系数相关系数为随机变量X和Y的相关系数。定义2:

设Var(X)>0,Var(Y)>0,则称特别的，当ρXY=0时，称X与Y不相关。相关系数性质(2).X和Y独立时,ρ=0，但其逆不真；存在常数a,b(b≠0),