概率论第一章1-1

概率论与数理统计12.气象、水文、地震预报、人口控制及预测都与《概率论》紧密相关；3.产品的抽样验收，新研制的药品能否在临床中应用，均要用到《假设检验》；为什么要学习概率论与数理统计?1.金融、信贷、医疗保险等行业策略制定；特别是经济学中研究最优决策和经济的稳定增长等问题,都大量采用《概率统计方法》.

27.探讨太阳黑子的变化规律时,《时间可夫过程》

来描述;8.研究化学反应的时变率，要以《马尔序列分析》方法非常有用;5.电子系统的设计,火箭卫星的研制及其发射都离不开《可靠性统计》;4.寻求最佳生产方案要进行《实验设计》和《数据处理》；6.处理通信问题,需要研究《信息论》；39.生物学中研究群体的增长问题时，提出了生灭型《随机模型》，传染病流行问题要用到多变量非线性《生灭过程》；水库调度、购物排队、红绿灯转换等，都可用一类概率模型来描述，其涉及到的知装卸、机器维修、病人候诊、存货控制、10.许多服务系统，如电话通信、船舶识就是《排队论》.41654年,一个名叫梅累的骑士就“两个赌徒约定赌若干局,且谁先赢

c局便算赢家,若在一赌徒胜

a局

(a<c),另一赌徒胜b局(b<c)时便终止赌博,问应如何分赌本”为题求教于帕斯卡,帕斯卡与费马通信讨论这一问题,于1654年共同建立了概率论的第一个基本概念数学期望.

概率论与数理统计的诞生和发展使概率论成为数学的一个分支的真正奠基人是瑞士数学家J.伯努利；而概率论的飞速发展则在17世纪微积分学说建立以后.5

第二次世界大战军事上的需要以及工业与管理的复杂化产生了运筹学、系统论、信息论、控制论与数理统计学等学科.

数理统计学是一门研究怎样去有效地收集、整理和分析带有随机性的数据，以对所考察的问题作出推断或预测，直至为采取一定的决策和行动提供依据和建议的数学分支学科.6

概率论与数理统计

课程介绍:48学时,共讲8章.１~5章是概率论，６~８章是数理统计本课程教材选用《概率论与数理统计》（浙江大学，盛骤，谢式千，潘承毅编，第4版）7

本书主要内容概率论概率论的基本概念随机变量及其分布多维随机变量及其分布随机变量的数字特征大数定律及中心极限定理8数理统计样本及抽样分布参数估计假设检验9

1预习,课堂上认真听讲,以听，思考为主,课后不要急于完成作业,先自己整理,补充课堂讲授中内容,阅读教科书,基本掌握了课堂教学内容后,再去做作业.学习方法：

2作业。要用数学语言写出来。不能抄袭。每周交一次。每次重点检查作业总数的二分之一，作业的收交和完成情况有一个较详细的登记,缺交作业将直接影响学期总评成绩。只有期末考试，中间会有小测验。由作业，小测验，期末成绩确定总评成绩，记入成绩单（归入档案）。考试：10第一章

概率论的基本概念

样本空间与随机事件

随机试验

频率与概率

等可能概型（古典概型）条件概率事件的独立性11确定性现象与随机现象1、确定性现象：在一定条件下肯定会发生的现象如水100ºC沸腾，飞机的起落等2、偶然现象或随机现象引言经典的数学理论如微积分学、微分方程等都是研究确定性现象的有力的数学工具。在一定条件下，具有多种可能的结果，但事先又不能预知确切的结果12实例1

在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察正反两面出现的情况.结果有可能出现正面也可能出现反面.结果有可能为:1,2,3,4,5或6.

实例2

抛掷一枚骰子,观察出现的点数.132.随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然性,但在大量试验或观察中,这种结果的出现具有一定的统计规律性

,概率论与数理统计就是研究随机现象这种统计规律性的一门数学学科.随机现象是通过随机试验来研究的.问题：什么是随机试验?如何来研究随机现象?说明1.随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系

.141.可以在相同的条件下重复地进行;2.每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;3.进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.

在概率论中,把具有以下三个特征的试验称为随机试验.定义§1随机试验15说明

1.随机试验简称为试验,

是一个广泛的术语.它包括各种各样的科学实验,也包括对客观事物进行的“调查”、“观察”或“测量”等.

2.随机试验通常用E来表示.E1:抛一枚硬币，分别用“H(head)”和“T(tail)”表示正面朝上和反面朝上，观察出现的结果，可能是“H”或“T”;E2：将一枚硬币抛掷三次，观察正面、反面出现 的情况，可能的结果是：{HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT}16E3：将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面的次数。{0,1,2,3}可能的结果是：E4:掷一颗骰子，考虑可能出现的点数；

{1,2,3,4,5,6}E6：在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。{t|t0}E7：记录某地一昼夜的最高温度和最低温度。{(x,y)|T0x,yT1

}E5:记录某段时间内电话交换台接到的呼唤次数，可能是0，1，2，…；17§2样本空间与随机事件

一

样本空间

随机试验E的所有可能结果组成的集合，称为E的样本空间，用S表示，记为注意：

1e的完备性，互斥性特点

.S样本点eS={e|e为E的可能结果}样本空间的元素e，也称为样本点.2当目的不同时，样本空间也会有不同。18S1:{H,T}S2:{HHH,HHT,HTH,THH, HTT,THT,TTH,TTT}S3:{0,1,2,3}S4:{1,2,3,4,5,6}S5:{0,1,2,3……}S6:{t|t0}S7:{(x,y)|T0x,yT1}S6中{t|t1000}表示“灯泡是次品”

{t|t1000}表示“灯泡是合格品”

{t|t1500}表示“灯泡是一级品19二、随机事件定义

随机试验E的样本空间的某些子集称为随机事件，简称为事件，它常用大写字母A，B，C表示.任意随机事件都是样本空间的某一个子集.在一次试验中，事件A发生的含义是，当且仅当A中一个样本点发生（或出现）。事件A发生也称为事件A出现事件的发生20将一枚硬币抛掷两次，则样本空间为事件A表示“两次出现的面不同”,可记作A:“两次出现的面不同”或

A={两次出现的面不同}

用样本空间的子集可表达为A={(H,T),(T,H)}S={(H,H),(H,T),(T,H),(T,T)}H~headT~tail21特殊的事件：必件然事S：在每次试验中必出现S中一个样本点，即在每次试验中S必发生，因此称S为必然事件;

不件可事能：在每次试验中，所出现的样本点都不在中，即在每次试验中都不发生，因此称为不可能发生的事件。基本事件：由一个样本点组成的单点集，称为基本事件

22例

E2

中事件A1：“第一次出现的是正面”，即

A1={HHH,HHT,HTH,HTT}

E2

中事件A2：“三次出现同一面”，即

A2={HHH,TTT}

E6中事件A3：“寿命小于1000小时”，即23小结

在试验E下事件和集合对应起来，用集合之间的关系对应表达事件之间的关系。24三：事件的关系与运算（1）若AB，则称事件B包含事件A，事件A包含于事件B，指的是事件A发生必然导致B发生AB设试验E

的样本空间为S，A为S的子集

25（2）若AB，BA，即A=B，则称事件A与事件B相等。（3）事件AB称为事件A与事件B的并（或和）事件。——当且仅当A、B中至少有一个发生时，事件AB发生。“A、B中至少有一个发生时”，“A发生或B发生”与“事件AB发生”是等价的。26AB类似地，称为n个事件A1,…,An的和事件。称为可列个事件A1,…,An,…的和事件。27（4）事件AB称为事件A与事件B的交（或积）事件，也记作AB。——当且仅当A、B同时发生时，事件AB发生。“事件A和B同时发生”，“A和B都发生”与“事件AB发生”是等价的。28AB=AB称为可列个事件A1,…,An,…的积事件。类似地，称为n个事件A1,…,An的积事件。29（5）事件AB称为事件A与事件B的差事件。——当且仅当A发生，B不发生时，事件AB发生。30类似地，若n个事件A1,…,An中两两互不相容，则称这n个事件是互不相容的。若事件A1,…,An,…中任意两个事件是互不相容的，则称这可列无穷多个事件是互不相容的。（6）若AB=，称为事件A与事件B互不相容，或互斥。31（7）若AB=S,

AB=，称事件A与事件B为对立事件。——在每次试验中，事件A、B中必有一个发生，且仅有一个发生。（8）事件称为事件A的补事件。——当且仅当事件A不发生时，事件发生。对立事件必为互不相容事件；

互不相容事件未必为对立事件32（9）完备事件组33吸收律幂等律差化积重余律(10)运算律对应事件运算集合运算34交换律结合律分配律DeMorgan定律:35

对于一个具体事件，要学会用数学符号表示；反之，对于用数学符号表示的事件，要清楚其具体含义是什么.36例1袋中装有2只白球和1只黑球。从袋中依次任意地摸出2只球。设球是编号的：白球为1号、2号，黑球为3号。(i,j)表示第一次摸得i号球，第二次摸得j号球的基本事件，则这一试验的样本空间为：S={(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)}

而且可得到下列随机事件A={(3,1),(3,2)}={第一次摸得黑球}；B1={(1,2),(1,3),(2,1),(2,3)}={第一次摸得白球}；B2={(1,2),(2,1),(3,1)，(3,2)}={第二次摸得白球}C={(1,2),(2,1)}={两次都摸得白球}=B1B2；D={(1,3),(2,3)}={第一次摸得白球，第二次摸得黑球}；G={(1,2),(2,1)}={没有摸到黑球}。37例2：从一批产品中任取两件，观察合格品的情况.记A={两件产品都是合格品}，

若记

Bi={取出的第

i

件是合格品}，i=1,2={两件产品中至少有一个是不合格品}

A=B1B2

问如何用Bi表示A和？381.A发生,B与C不发生例3设A、B、C为三个事件，用A、B、C的运算关系表示下列各事件.或2.A与B都发生,而C不发生或393.A、B、C中至少有一个发生4.A、B、C都发生或ABC恰有1个发生恰有2个发生3个都发生405.A、B、C中至少有两个发生或

6.A、B、C都不发生恰有2个发生3个都发生或417.

A、B、C中不多于一个发生恰有2个不发生3个都不发生或至少有2个不发生42

8.A、B、C

中不多于两个发生或或至少有1个不发生注意434445

在大量重复一随机试验时，会发现，有些事件发生的次数多一些，有些事件发生的次数少一些。也就是说，有些事件发生的可能性大一些，有些事件发生的可能性小一些将表征随机事件发生可能性大小的数称为事件的概率

如何度量事件发生的可能性呢？记为P(A)46§3概率的定义历史上概率的三次定义③几何概率②统计概率①古典定义概率的最初定义基于频率的定义1930年后由前苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出公理化定义47一等可能概率模型（古典概型）1等可能概率模型具有下列两个特征：①样本空间S只含有有限个元素②试验中，每个基本事件发生是等可能的这类随机现象在概率论发展初期即被注意，许多最初的概率论结果也是对它作出的，一般把这类随机现象的数学模型称为古典概型。古典概型在概率论中占有相当重要的地位，它具有简单、直观的特点，且应用广泛。

S={e1,e2,…en}48如何理解古典概型中的等可能假设？等可能性是古典概型的两大假设之一，有了这两个假设，给直接计算概率带来了很大的方便。但在事实上，所讨论问题是否符合等可能假设，一般不是通过实际验证，而往往是根据人们长期形成的“对称性经验”作出的。例如，骰子是正六面形，当质量均匀分布时，投掷一次，每面朝上的可能性都相等；装在袋中的小球，颜色可以不同，只要大小和形状相同，摸出其中任一个的可能性都相等。因此，等可能假设不是人为的，而是人们根据对事物的认识一对称性特征而确认的。4923479108615

例如，一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球.将球编号为1－10.把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球.

因为抽取时这些球是完全平等的，我们没有理由认为10个球中的某一个会比另一个更容易取得.也就是说，10个球中的任一个被取出的机会是相等的，均为1/10.1324567891010个球中的任一个被取出的机会都是1/10234791086152古典概率的定义设随机试验E的样本空间S含有n个样本点：事件A包含k个样本点，定义S={e1,e2,…en}52533．古典概率的基本性质

设E是古典概型，其样本空间为

A，A1，A2，…，An是E中事件,则有

①0≤P（A）≤1②P（S）=1，P（）=0③若A1，A2，…，An是互不相容的事件，则有54二、统计概率古典概率要求很严格，特别是基本事件等可能，这一点很难做到。重复掷一颗骰子，会发现4，5，6出现的次数要多一些，这是因为重心要向1，2，3面倾斜许多情况下：需要通过大量重复试验，来考察统计规律性。在n次重复试验中，若事件A发生了m次，则f=m/n

称为事件A发生的频率。不可能事件的频率一定为0。必然事件的频率一定为1。55试验序号12345672315124222521252418272512492562472512622580.40.60.21.00.20.40.80.440.500.420.480.360.540.5020.4980.5120.4940.5240.5160.500.502实例

将一枚硬币抛掷5次、50次、500次,各做

7遍,观察正面出现的次数及频率.波动最小随n的增大,频率

f呈现出稳定性56从上述数据可得(2)抛硬币次数n较小时,频率f

的随机波动幅度较大,但随n

的增大,频率f呈现出稳定性.即当n

逐渐增大时频率f总是在0.5附近摆动,且逐渐稳定于0.5.(1)频率有随机波动性,即对于同样的n,所得的频率f不一定相同;57实验者德摩根蒲丰204810610.5181404020480.50691200060190.501624000120120.500558统计概率定义频率当n较小时波动幅度比较大，当n逐渐增大时，频率趋于稳定值，这个稳定值从本质上反映了事件在试验中出现可能性的大小．它就是事件的概率．

这种稳定性为用统计方法求概率的数值开拓了道路.出时，人们常取实验次数很大时事件的频率作为概率的估计值，在实际中，当概率不易求59频率

稳定值

概率

事件发生的频繁程度事件发生的可能性的大小频率的性质概率的公理化定义年份新生儿总数男婴儿数女婴儿数男婴频率女婴儿频率197736701883 17870.5131 0.486919784250217720730.51220.487819794055213819170.52730.472719805844295528890.50560.494419816344327130730.51560.484419827231372235090.51470.48536年总计3139416146152480.51480.4852可以认为生男孩的概率近似值为0.515这种概率只能通过统计得出。如某妇产医院几年间出生婴儿的性别记录为：61医生在检查完病人的时候摇摇头“你的病很重，在十个得这种病的人中只有一个能救活.”当病人被这个消息吓得够呛时，医生继续说“但你是幸运的.因为你找到了我，我已经看过九个病人了，他们都死于此病.”

医生的说法对吗？请同学们思考.62频率的基本性质

（1）对任意事件A，有（2）（3）若A1，A2，…，An是互不相容的，则63三、几何概率考虑一个点等可能地随机落在[0,1]区间。00.31若问事件C:点落在0.5处的概率。显然P(C)=0但C不是不可能事件。问事件A：点落在0与0.3之间的概率。P(B)=0.5这种与几何测量有关的概率称为几何概率。问事件B：点落在0与0.5之间的概率。64解：以X,Y分别表示甲乙二人到达的时刻，于是

即点M落在图中的阴影部分。所有的点构成一个正方形，