山西省大同市北岳中学2021-2022学年高三数学文下学期期末试题含解析

山西省大同市北岳中学2021-2022学年高三数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设a，b∈R，则“log2a＞log2b”是“2a﹣b＞1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】“log2a＞log2b”等价于“a＞b＞0”，“2a﹣b＞1”等价于“a＞b”，即可判断出结论．【解答】解：“log2a＞log2b”等价于“a＞b＞0”，“2a﹣b＞1”等价于“a＞b”，∴“log2a＞log2b”是“2a﹣b＞1”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查了函数的单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．2.设是两条不同直线，是两个不同的平面，下列命题正确的是（▲）A．

B．，则C．，则

D．，则参考答案：B略3.函数的定义域是（）A．B．

C．D．参考答案：B4.已知圆与直线及都相切，圆心在直线上，则圆的方程为A．

B．C．

D．参考答案：B5.定义在R上的函数，若关于的方程恰有5个不同的实数解，则=（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B略6.设等差数列的前项和为，、是方程的两个根，（

）A．

B．

C．

D．参考答案：7.为正实数，是虚数单位，，则（

）(A) (B) (C) (D)参考答案：B8.要得到函数y=cos2x的图象，只需将函数y=sin2x的图象沿x轴（）A．向右平移个单位 B．向左平移个单位C．向右平移个单位 D．向左平移个单位参考答案：B【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】综合题．【分析】先根据诱导公式进行化简，再由左加右减上加下减的原则可确定函数y=sin2x到函数y=cos2x的路线，即可得到选项．【解答】解：函数y=cos2x=sin（2x+），所以只需把函数y=sin2x的图象，向左平移个长度单位，即可得到函数y=sin（2x+）=cos2x的图象．故选B．【点评】本题主要考查三角函数的平移．三角函数的平移原则为左加右减上加下减．注意诱导公式的合理运用．9.当0＜x≤时，4x＜logax，则a的取值范围是（）A．（0，） B．（，1） C．（1，） D．（，2）参考答案：B【分析】由指数函数和对数函数的图象和性质，将已知不等式转化为不等式恒成立问题加以解决即可【解答】解：∵0＜x≤时，1＜4x≤2要使4x＜logax，由对数函数的性质可得0＜a＜1，数形结合可知只需2＜logax，∴即对0＜x≤时恒成立∴解得＜a＜1故选B【点评】本题主要考查了指数函数和对数函数的图象和性质，不等式恒成立问题的一般解法，属基础题10.直线x＝－1的倾斜角和斜率分别是()A．45°，1

B．135°，－1C．90°，不存在

D．180°，不存在参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知，，，则的最小值为

；参考答案：12.已知实数x，y满足，则目标函数的最小值为_____．参考答案：﹣22【分析】画出约束条件表示的平面区域，利用图形找出最优解，代入目标函数求出最小值．【详解】解：画出约束条件表示的平面区域如图所示，由图形知，当目标函数z＝4x﹣3y过点A时取得最小值，由，解得A（﹣4，2），代入计算z＝4×（﹣4）﹣3×2＝﹣22，所以z＝4x﹣3y的最小值为﹣22．故答案为：﹣22．【点睛】本题考查了简单的线性规划应用问题，是基础题．13.《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（

）A. B.C. D.参考答案：D令，可得圆的半径，又，则，再根据题图知，即．故本题答案选D．14.已知函数f（x）=（sinx+cosx）cosx，则f（﹣）=

．参考答案：【考点】三角函数的化简求值．【分析】先根据二倍角公式和两角和的正弦公式f（x）=+sin（2x+），再代值计算即可．【解答】解：f（x）=（sinx+cosx）cosx=sinxcosx+cos2x=sin2x+（1+cos2x）=+sin（2x+），∴f（﹣）=+sin（2×+）=+×=故答案为：15.如图所示，将平面直角坐标系中的格点（横、纵坐标均为整数的点）按如下规则标上标签：原点处标数字0，记为；点(1,0)处标数字1，记为；点(1,－1)处标数字0，记为；点(0,－1)处标数字－1，记为；点(－1,－1)处标数字-2，记为；点(－1,0)处标数字－1，记为；点(－1,1)处标数字0，记为；点(0,1)处标数字1，记为；…以此类推，格点坐标为的点处所标的数字为（，均为整数），记，则

．参考答案：-24916.在执行右边的程序框图时，如果输入，则输出___________参考答案：略17.执行如图所示的程序框图，若输出的b的值为31，则图中判断框内①处应填的整数为

．参考答案：4【考点】程序框图．【分析】根据框图的流程依次计算程序运行的结果，直到输出的b的值为31，确定跳出循环的a值，从而确定判断框的条件．【解答】解：由程序框图知：第一次循环b=2+1=3，a=2；第二次循环b=2×3+1=7，a=3；第三次循环b=2×7+1=15，a=4；第四次循环b=2×15+1=31，a=5．∵输出的b的值为31，∴跳出循环的a值为5，∴判断框内的条件是a≤4，故答案为：4．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.现对某市工薪阶层关于“楼市限购令”的态度进行调查，随机抽调了50人，他们月收入的频数分布及对楼市“楼市限购令”赞成人数如下表．

月收入（单位百元）[15,25[25，35[35，45[45，55[55，65[65,75频数510151055赞成人数4812521

（Ⅰ）由以上统计数据填下面2乘2列联表并问是否有99%的把握认为“月收入以5500为分界点对“楼市限购令”的态度有差异；

月收入不低于55百元的人数月收入低于55百元的人数合计赞成

不赞成

合计

（Ⅱ)若对在[15，25），[25，35）的被调查中各随机选取两人进行追踪调查，记选中的4人中不赞成“楼市限购令”人数为，求随机变量的分布列及数学期望。参考答案：解:（Ⅰ）2乘2列联表

月收入不低于55百元人数月收入低于55百元人数合计赞成32不赞成18合计104050.所以没有99%的把握认为月收入以5500为分界点对“楼市限购令”的态度有差异.（6分）

（Ⅱ）所有可能取值有0,1,2,3，，所以的分布列是0123所以的期望值是。

（12分）19.自由购是一种通过自助结算购物的形式．某大型超市为调查顾客自由购的使用情况，随机抽取了100人，调查结果整理如下：

20以下[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70]70以上使用人数312176420未使用人数003143630

（Ⅰ）现随机抽取1名顾客，试估计该顾客年龄在[30,50)且未使用自由购的概率；（Ⅱ）从被抽取的年龄在[50,70]使用的自由购顾客中，随机抽取2人进一步了解情况，求这2人年龄都在[50,60)的概率；（Ⅲ）为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购顾客赠送1个环保购物袋．若某日该超市预计有5000人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋？参考答案：（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）2200【分析】（Ⅰ）随机抽取的100名顾客中，年龄在[30，50）且未使用自由购的有3+14＝17人，由概率公式即可得到所求值；（Ⅱ）设事件A为“这2人年龄都在[50，60）”，由列举法可得基本事件的总数为15，事件A包含的个数为6，计算可得所求值；（Ⅲ）随机抽取的100名顾客中，使用自由购的有44人，计算可得所求值．【详解】解：（Ⅰ）随机抽取的100名顾客中，年龄在[30,50)且未使用自由购的有3+14=17人，所以随机抽取一名顾客，该顾客年龄在[30,50)且未参加自由购的概率估计为.（Ⅱ）设事件为“这2人年龄都在”．被抽取的年龄在的4人分别记为被抽取的年龄在的2人分别记为

从被抽取的年龄在的自由购顾客中随机抽取2人共包含15个基本事件，分别为事件包含6个基本事件，分别为，则．（Ⅲ）随机抽取的100名顾客中，使用自由购的有人，所以该超市当天至少应准备环保购物袋的个数估计为.【点睛】本题考查古典概率的求法，注意运用列举法和分类讨论思想，考查运算能力，属于中档题．

20.设定义在(0，＋∞)上的函数f(x)＝ax＋＋b(a>0).（1）求f(x)的最小值；（2）若曲线y＝f(x)在点(1，f（1）)处的切线方程为y＝x，求a，b的值.

参考答案：解:（1）(方法一)由题设和均值不等式可知，f(x)＝ax＋＋b≥2＋b.其中等号成立当且仅当ax＝1.即当x＝时，f(x)取最小值为2＋b.(方法二)f(x)的导数f′(x)＝a－＝.当x>时，f′(x)>0，f(x)在上递增；当0<x<时，f′(x)<0，f(x)在上递减.所以当x＝时，f(x)取最小值为2＋b.（2）f′(x)＝a－.由题设知，f′（1）＝a－＝，解得a＝2或a＝－(不合题意，舍去).将a＝2代入f（1）＝a＋＋b＝，解得b＝－1，所以a＝2，b＝－1.21.如图，在三棱锥P﹣ABC中，△ABC是边长为2的正三角形，∠PCA=90°，E，H分别为AP，AC的中点，AP=4，BE=．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BEH；（Ⅱ）求直线PA与平面ABC所成角的正弦值．参考答案：考点：直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）证明：BH⊥AC，EH⊥AC，即可证明AC⊥平面BEH；（Ⅱ）取BH得中点G，连接AG，证明∠EAG为PA与平面ABC所成的角，即可求直线PA与平面ABC所成角的正弦值．解答： （Ⅰ）证明：因为△ABC是边长为2的正三角形，所以BH⊥AC．…又因为E，H分别为AP，AC的中点，得EH∥PC，因为∠PCA=90°，所以EH⊥AC．…故AC⊥平面BEH．…（Ⅱ）解：取BH得中点G，连接AG．…因为EH=BH=BE=，所以EG⊥BH．又因为AC⊥平面BEH，所以EG⊥AC，所以EG⊥平面ABC．所以∠EAG为PA与平面ABC所成的角．…在直角三角形EAG中，AE=2，EG=，所以\sin∠EAG==．…所以PA与平面ABC所成的角的正弦值为．点评：本题考查线面垂直的判定，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，正确利用线面垂直的判定定理是关键．22.（本小题满分12分）已知某山区小学有100名四年级学生，将全体四年级学生随机按00～99编号，并且按编号顺序平均分成10组．现要从中抽取10名学生，各组内抽取的编号按依次增加10进行系统抽样.（1）若抽出的一个号码为22，则此号码所在的组数是多少？据此写出所有被抽出学生的号码；（2）分别统计这10名学生的数学成绩，获得成绩数据的茎叶图如图所示，从这10名学生中随机抽取两名成绩不低于73分的学生，求被抽取到的两名学生的成绩之和不小于154分的概率．参考答案：（1）由题意，得抽出号码为22的组数为3.

…………………3分因为2＋10×(3－1)＝22，所以第1组抽出的号码应该为02，抽出的10名学生的号码依次分别为：02，12，22，32，42，52，62，72，82，92.………6分（2）从这10名学生中随机抽取两名成绩不低于73分的学生，共有如下10