山西省吕梁市后刘家庄中学2021-2022学年高三数学理上学期期末试卷含解析

山西省吕梁市后刘家庄中学2021-2022学年高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.等比数列{an}中各项均为正数，Sn是其前n项和，且满足2S3=8a1+3a2，a4=16，则S4=（）A．9 B．15 C．18 D．30参考答案：D【考点】等比数列的前n项和．【分析】设等比数列{an}的公比为q＞0，由2S3=8a1+3a2，可得2（a1+a2+a3）=8a1+3a2，化为：2q2﹣q﹣6=0，解得q，进而得出．【解答】解：设等比数列{an}的公比为q＞0，∵2S3=8a1+3a2，∴2（a1+a2+a3）=8a1+3a2，化为：2a3=6a1+a2，可得=6a1+a1q，化为：2q2﹣q﹣6=0，解得q=2．又a4=16，可得a1×23=16，解得a1=2．则S4==30．故选：D．2.函数的部分图象为参考答案：A3.已知圆交y轴正半轴于点A，在圆O上随机取一点B，则成立的概率为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：C4.在中，，则的面积是(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：A5.已知三个向量，，共面，且均为单位向量，?=0，则|+﹣|的取值范围是（）A．[﹣1，+1] B． C．[，] D．[﹣1，1]参考答案：A【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】根据题意，可设=（1，0），=（0，1），=（x，y），得|+﹣|=，结合图形求出它的最大、最小值．【解答】解：三个向量，，共面，且均为单位向量，?=0，可设=（1，0），=（0，1），=（x，y），则+﹣=（1﹣x，1﹣y），||==1；∴|+﹣|==，它表示单位圆上的点到定点P（1，1）的距离，其最大值是PM=r+|OP|=1+，最小值是|OP|﹣r=﹣1，∴|+﹣|的取值范围是[﹣1，+1]．故选：A．【点评】本题考查了向量的垂直与数量积的关系、数量积的运算性质、点与圆上的点的距离大小关系，考查了推理能力和计算能力，是中档题．6.复数，则

(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：D略7.角的终边经过点A，且点A在抛物线的准线上，则

）A．

B．

C．

D．参考答案：B8.设，则的值等于（

）A、

B、

C、

D、参考答案：D9.已知d为常数，p：对于任意n∈N*，an+2﹣an+1=d；q：数列{an}是公差为d的等差数列，则￢p是￢q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】先根据命题的否定，得到￢p和￢q，再根据充分条件和必要的条件的定义判断即可．【解答】解：p：对于任意n∈N*，an+2﹣an+1=d；q：数列{an}是公差为d的等差数列，则￢p：?n∈N*，an+2﹣an+1≠d；￢q：数列{an}不是公差为d的等差数列，由￢p?￢q，即an+2﹣an+1不是常数，则数列{an}就不是等差数列，若数列{an}不是公差为d的等差数列，则不存在n∈N*，使得an+2﹣an+1≠d，即前者可以推出后者，前者是后者的充分条件，即后者可以推不出前者，故选：A．【点评】本题考查等差数列的定义，是以条件问题为载体的，这种问题注意要从两个方面入手，看是不是都能够成立．10.（5分）一个四面体的顶点都在球面上，它们的正视图、侧视图、俯视图都是右图．图中圆内有一个以圆心为中心边长为1的正方形．则这个四面体的外接球的表面积是（）A．πB．3πC．4πD．6π参考答案：B【考点】：球的体积和表面积．【专题】：计算题；空间位置关系与距离．【分析】：由三视图可知：该四面体是正方体的一个内接正四面体．此四面体的外接球的半径为正方体的对角线长为．利用球的表面积计算公式即可得出．解：由三视图可知：该四面体是正方体的一个内接正四面体．∴此四面体的外接球的直径为正方体的对角线长为．∴此四面体的外接球的表面积为表面积为=3π．故选：B．【点评】：本题考查了三棱锥的三视图、正方体与外接球的性质、球的表面积的计算公式，考查了推理能力与空间想象能力、计算能力，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知复数，，则复数

．参考答案：答案：解析：12.在中，如果，，，则的面积为

．参考答案：13.由下列不等式：其中a,b都大于0，请猜想若a,b都大于0，，则___________参考答案：略14.在中，若则的最大值为

▲

.参考答案：15.在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，过对角线BD1的一个平面交AA1于E，交CC1于F，得四边形BFD1E，给出下列结论：

①四边形BFD1E有可能为梯形

②四边形BFD1E有可能为菱形

③四边形BFD1E在底面ABCD内的投影一定是正方形

④四边形BFD1E有可能垂直于平面BB1D1D

⑤四边形BFD1E面积的最小值为其中正确的是

（请写出所有正确结论的序号参考答案：②③④⑤16.已知两圆x2+y2=10和（x﹣1）2+（y﹣3）2=10相交于A，B两点，则直线AB的方程是．参考答案：x+3y﹣5=0考点：相交弦所在直线的方程．专题：直线与圆．分析：把两个圆的方程相减，即可求得公共弦所在的直线方程．解答：解：把两圆x2+y2=10和（x﹣1）2+（y﹣3）2=10的方程相减可得x+3y﹣5=0，此直线的方程既能满足第一个圆的方程、又能满足第二个圆的方程，故必是两个圆的公共弦所在的直线方程，故答案为：x+3y﹣5=0．点评：本题主要考查求两个圆的公共弦所在的直线方程的方法，属于基础题．17.设f(x)=x2+bx+9，g(x)=x2+dx+e，若f(x)=0的根是r，s，g(x)=0的根是–r，–s，则f(x)+g(x)=0的根是

。参考答案：±3i

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分13分）已知点E（－2,0），F（2,0），曲线C上的动点M满足，定点A（2,1），由曲线C外一点P（a，b）向曲线C引切线PQ，切点为Q，且满足｜PQ｜＝｜PA｜。（I）求线段PA找的最小值；（II）若以P为圆心所作的⊙P与曲线C有公共点，试求半径取最小值时⊙P的标准方程。参考答案：（Ⅰ）设M（x，y），则，∴，即M点轨迹(曲线C)方程为，即曲线C是O． …………2分连∵为切点，，由勾股定理有：．又由已知，故．即：，化简得实数a、b间满足的等量关系为：，即．（4分）∴＝，故当时，即线段PQ长的最小值为 …………7分（另法）由点P在直线l：2x+y－3=0上．∴，即求点A到直线的距离．∴（7分）（Ⅱ）设P的半径为，∵P与O有公共点，O的半径为1，即且． …………8分而， …………9分故当时，． …………10分此时,． …………11分得半径取最小值时P的标准方程为． …………13分（另法）P与O有公共点，P半径最小时为与O外切（取小者）的情形，而这些半径的最小值为圆心O到直线l的距离减去1，圆心P为过原点与l垂直的直线与l的交点P0．．又，（10分）解方程组，得．即，∴所求P标准方程为．（13分）19.（本小题满分14分）设函数,（Ⅰ）求的单调区间；(Ⅱ)求证：；（Ⅲ）证明：参考答案：解：（Ⅰ）由已知,由，得，，。在上为减函数，在为增函数。………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知：当时，。

对任意，有即。

即………8分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，，当时，则，又左式………14分略20.某地区的农产品A第天的销售价格（元/百斤），一农户在第天农产品A的销售量（百斤）.（1）求该农户在第7天销售农产品A的收入.（2）问这20天中该农户在哪一天的销售收入最大？参考答案：略21.（本小题满分12分）已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5＋a7＝26.{an}的前n项和为Sn.(Ⅰ)求an及Sn；(Ⅱ)令bn＝(n∈N＋)，求数列{bn}的前n项和Tn.参考答案：解析(1)设等差数列{an}的公差为d，由于a3＝7，a5＋a7＝26，所以a1＋2d＝7,2a1＋10d＝26，解得a1＝3，d＝2.由于an＝a1＋(n－1)d，Sn＝，所以an＝2n＋1，Sn＝n(n＋2)．----------------------------------------------6分(2)因为an＝2n＋1，所以a－1＝4n(n＋1)，因此bn＝＝.故Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＝＝，所以数列{bn}的前n项和Tn＝.--------------------------------------------------12分22.设数列{an}满足：a1=a，an+1=（a＞0且a≠1，n∈N*）．（1）证明：当n≥2时，an＜an+1＜1；（2）若b∈（a2，1），求证：当整数k≥+1时，ak+1＞b．参考答案：【考点】数列递推式．【分析】（1）先判断an＞0，再由基本不等式得到an+1≤1，再利用数学归纳法证明：（2）分若ak≥b，由（1）知ak+1＞ak≥b，若ak＜b，根据0＜x＜1以及二项式定理可（1+x）n≥nx，根据迭代法和放缩法可证明ak+1＞a2?[1+（k﹣1）]，再由条件可得1+（k﹣1）≥+1=，问题得以证明【解答】证明：（1）由an+1=知an与a1的符号相同，而a1=a＞0，∴an＞0，∴an+1=≤1，当且仅当an=1时，an+1=1下面用数学归纳法证明：①∵a＞0且a≠1，∴a2＜1，∴=＞1，即有a2＜a3＜1，②假设n=k时，有ak＜ak+1＜1，则ak+2==＜1且=＞1，即ak+1＜ak+2＜1即当n=k+1时不等式成立，由①②可得当n≥2时，an＜an+1＜1；（2）若ak≥b，由（1）知ak+1＞ak≥b，若ak＜b，∵0＜x＜1以及二项式定理