山西省临汾市辛南中学2021年高三数学理期末试题含解析

山西省临汾市辛南中学2021年高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为A.1010.1 B.10.1 C.lg10.1 D.10–10.1参考答案：A【分析】由题意得到关于的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值.【详解】两颗星的星等与亮度满足,令,.故选：A.【点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识?信息处理能力?阅读理解能力以及指数对数运算.2.在中，已知M是BC中点，设则

A.

B.

C.

D.参考答案：【答案解析】A

解析：，故选A.【思路点拨】由向量加法的三角形法则得结论.3.“a=1＂是“直线ax+y+1=0与直线(a+2)x－3y－2＝0垂直”的

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件参考答案：B

【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；空间中直线与直线之间的位置关系．A2G3解析：由题意可得a×(a+2)-3=0，解之可得a=1或-3，所以“a=1＂是“直线ax+y+1=0与直线(a+2)x－3y－2＝0垂直”的充分不必要条件，故选B【思路点拨】由a×(a+2)-3=0可得直线垂直的充要条件为a=1或-3，进而可得对结果作出判断．4.下列有关命题的说法正确的是(

)A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．“m=1”是“直线x﹣my=0和直线x+my=0互相垂直”的充要条件C．命题“?x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“?x∈R，均有x2+x+1＜0”D．命题“已知x，y为一个三角形的两内角，若x=y，则sinx=siny”的逆命题为真命题参考答案：D【考点】命题的真假判断与应用．【专题】简易逻辑．【分析】对于A根据否命题的意义即可得出；对于B按照垂直的条件判断；对于C按照含有一个量词的命题的否定形式判断；对于D按照正弦定理和大角对大边原理判断．【解答】解：对于A，根据否命题的意义可得：命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2≠1，则x≠1”，因此原命题不正确，违背否命题的形式；对于B，“m=1”是“直线x﹣my=0和直线x+my=0互相垂直”的充要条件不准确，因为“直线x﹣my=0和直线x+my=0互相垂直”的充要条件是m2=1，即m=±1．对于命题C：“?x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定的写法应该是：“?x∈R，均有x2+x+1≥0”，故原结论不正确对于D，根据正弦定理，∵x=y?sinx=siny”，所以逆命题为真命题是正确的．故答案选：D．【点评】本题考查了四种命题之间的关系、命题的否定，属于基础题．5.已知平面向量，满足，，与的夹角为，以为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条长度为（

）A．2

B．

C.1

D．参考答案：B因为与的夹角为，所以此平行四边形的两条对角线中较短的一条长度为，而，故选B.

6.点A、B、C、D在同一个球的球面上，AB＝BC＝，AC＝2，若四面体ABCD体积的最大值为，则这个球的表面积为()A.

B．8π

C.

D.参考答案：C7.已知某算法的流程图如图所示，若输入的有序数对为，则输出的有序数对为

(

)A．

B．

C．

D．参考答案：B8.不等式的解集是

A．

B．

C．

D．参考答案：B9.已知函数给出下列两个命题，p：存在，使得方程f（x）=0有实数解；q：当时，f（f（1））=0，则下列命题为真命题的是（）

参考答案：B10.已知函数y=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象上相邻两个最高点的距离为π，若将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于x=轴对称，则f（x）的解析式为（）A．f（x）=2sin（x+） B．f（x）=2sin（2x+）C．f（x）=2sin（x+） D．f（x）=2sin（2x+）参考答案：B【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由周期求出ω，根据y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律、正弦函数的对称性，求出φ的值，可得函数的解析式．【解答】解：由题意知：=π，得ω=2，向左平移个单位长度后得f（x）=2sin（2x++φ），因为，所得图象关于x=轴对称，所以，++φ=kπ+，k∈Z，所以，φ=kπ﹣，k∈Z，因为，0＜φ＜π，所以，φ=．可得f（x）的解析式为f（x）=2sin（2x+）．故选：B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若复数满足为虚数单位，则＿＿＿＿＿＿＿.参考答案：12.我们把在线段上到两端点距离之比为的点称为黄金分割点。类似地，在解析几何中，我们称离心率为的椭圆为黄金椭圆，已知椭圆=1(a＞b＞0)的焦距为，则下列四个命题：

①a、b、c成等比数列是椭圆为黄金椭圆的充要条件；

②若椭圆是黄金椭圆且F2为右焦点，B为上顶点，A1为左顶点，则③若椭圆是黄金椭圆，直线l过椭圆中心，与椭圆交于点E、F，P为椭圆上任意一点（除顶点外），且PE与PF的斜、存在，则为定值．

④若椭圆是黄金椭圆，P、Q为椭圆上任意两点，M为PQ中点，且PQ与OM的斜率与（O为坐标原点）存在，则为定值。⑤椭圆四个顶点构成的菱形的内切圆过椭圆的焦点是椭圆为黄金椭圆的充要条件。其中正确命题的序号为______．参考答案：①②③④⑤略13.双曲线的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则的焦距等于（

）

A.2

B.

C.

D.4参考答案：B14.已知实数满足线性约束条件则目标函数的最大值是

．参考答案：15.过双曲线的焦点且与一条渐近线垂直的直线与两条渐近线相交于两点，若，则双曲线的离心率为

．参考答案：由焦点到渐近线距离等于得因此，再由角平分线性质得，因此点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.16.已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是___________________参考答案：或，即切线的斜率为，所以，因为，所以，即，所以，即的取值范围是。17.动点在不等式组表示的平面区域内部及其边界上运动，则的取值范围是

.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.现有一组互不相同且从小到大排列的数据，其中．记，，作函数，使其图象为逐点依次连接点的折线．（Ⅰ）求和的值；（Ⅱ）设直线的斜率为，判断的大小关系；（Ⅲ）证明：当时，．参考答案：（Ⅰ）解：，

………………2分；

………………4分（Ⅱ）解：，．

………………6分因为，所以．

………………8分（Ⅲ）证：由于的图象是连接各点的折线，要证明，只需证明．

…………9分事实上，当时，．下面证明．法一：对任何，………………10分……11分

…………12分所以．…………13分法二：对任何，当时，；………10分当时，综上，．

………13分略19.等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=7，a2为整数，当且仅当n=4时，Sn取得最大值．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=（9﹣an）?2n﹣1，求数列{bn}的前n项和为Tn．参考答案：考点：数列的求和；等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）设等差数列{an}的公差为d，由于当且仅当n=4时，Sn取得最大值．可得a4＞0，a5＜0．解得，由于a2为整数，可得d为整数，即可得出．（2）bn=（9﹣an）?2n﹣1=n?2n．利用“错位相减法”、等比数列的前n选和公式即可得出．解答： 解：（1）设等差数列{an}的公差为d，∵当且仅当n=4时，Sn取得最大值．∴a4＞0，a5＜0．∴，解得，∵a2为整数，∴d为整数，∴d=﹣2．∴an=7+（n﹣1）×（﹣2）=9﹣2n．（2）bn=（9﹣an）?2n﹣1=2n?2n﹣1=n?2n．∴Tn=1×2+2×22+3×23+…+n?2n，2Tn=22+2×23+3×24+…+（n﹣1）×2n+n×2n+1，∴﹣Tn=2+22+23+…+2n﹣n?2n+1=﹣n×2n+1=（1﹣n）×2n+1﹣2，∴Tn=（n﹣1）×2n+1+2．点评：本题考查了等差数列的通项公式及其性质、“错位相减法”、等比数列的前n选和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.

设函数表示导函数。

(I)求函数的单调递增区间；

(Ⅱ)当为偶数时，数列{}满足．证明：数列{}中不存在成等差数列的三项；(Ⅲ)当为奇数时，设，数列的前项和为，证明不等式对一切正整数均成立，并比较与的大小.参考答案：解：(I)定义域为,当为奇数时，恒成立,2分当为偶数时，,又，，由，，4分(Ⅱ)当为偶数时，，由已知，，，，是以2为公比的等比数列.,.6分数列{}中假设存在三项，，成等差数列，不妨设，则，又，，，，，等式左边为偶数，右边为奇数，不可能成立，假设不成立，数列{}中不存在成等差数列的三项9分(Ⅲ)当为奇数时，要证，即证，两边取对数，即证10分设，则，，构造函数，，，，即，，即.12分,

14分

略21.（本小题满分12分）已知函数（1）求函数的单调递减区间；（2）设，的最小值是，最大值是，求实数的值．参考答案：解：

……………2分

（1）

的单调减区间为：……6分（注：单调减区间有等价形式同样得分，没有加扣2分。）

（2）

……10分

（注：最大值与最小值少一个扣一分。）

……12分略22.如图5，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中点.[来源%:*中#国教~育出@版网]（Ⅰ）证明：CD⊥平面PAE；（Ⅱ）若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P-ABCD的体积.参考答案：解法1（Ⅰ如图（1）），连接AC，由AB=4，，Ｅ是ＣＤ的中点，所以所以而内的两条相交直线，所以CD⊥平面PAE.（Ⅱ）过点Ｂ作由（Ⅰ）CD⊥平面PAE知，ＢＧ⊥平面PA