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文档简介
山西省临汾市西常中学2022年高二数学文测试题含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.若a=3a+1,b=ln2,c=log2sin,则(
)A.b>a>c B.a>b>c C.c>a>b D.b>c>a参考答案:B【考点】对数值大小的比较.【专题】转化思想;数学模型法;函数的性质及应用.【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出.【解答】解:∵a=3a+1,化为>0,当0<a≤3时不成立,∴a>3.0<b=ln2<1,c=log2sin<0,∴a>b>c,故选:B.【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.2.已知椭圆:的右焦点为,过点的直线交椭圆于两点.若的中点坐标为(1,-1),则的方程为
(
)A.
B. C.
D.参考答案:D略3.算法的有穷性是指(
)A.算法必须包含输出
B.算法中每个操作步骤都是可执行的C.算法的步骤必须有限
D.以上说法均不正确参考答案:C4.设曲线的参数方程为(为参数),直线的方程为,则曲线与直线交点的个数为(
)
A.0
B.1
C.2
D.3参考答案:C略5.已知中,角A、B的对边为、,,,B=120°,则A等于A.30°或150°
B.60°或120°
C.30°
D.60°参考答案:C6.函数f(x)=x3+3x2+3x﹣a的极值点的个数是()A.2 B.1 C.0 D.由a确定参考答案:C【考点】利用导数研究函数的极值.【分析】先求出函数的导数,得到导函数f′(x)≥0,从而得到结论.【解答】解:f′(x)=3x2+6x+3=3(x+1)2≥0,∴函数f(x)在R上单调递增,∴函数f(x)=x3+3x2+3x﹣a的极值点的个数是0个,故选:C.7.若,则下列不等式成立的是(
)A.
B.
C.
D.参考答案:D8.函数f(x)=x﹣x3的递增区间为()A.(﹣∞,﹣1) B.(﹣1,1) C.(1,+∞) D.(0,+∞)参考答案:B【考点】6B:利用导数研究函数的单调性.【分析】先求函数导数,令导数大于等于0,解得x的范围就是函数的单调增区间.【解答】解:对函数y=x﹣x3求导,得,y′=1﹣x2,令y′>0,即1﹣x2>0,解得,﹣1<x<1∴函数y=x﹣x3的递增区间为(﹣1,1),故选:B.9.一个人打靶时连续射击两次事件“至少有一次中靶”的互斥事件是(
)A.至多有一次中靶
B.两次都中靶
C.只有一次中靶
D.两次都不中靶参考答案:D略10.为考察某种药物对治疗一种疾病的效果,在四个不同的实验室取相同的个体进行动物试验,根据四个实验室得到的列联表画出如下四个等高条形图,最能体现该药物对治疗该种疾病有效果的条形图是(
)A. B.C. D.参考答案:D选项D中不服药样本中患病的频率与服药样本中患病的频率差距离最大.所以选D.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在△ABC中,D为BC边上一点,若△ABD是等边三角形,且AC=4,则△ADC的面积的最大值为.参考答案:【考点】正弦定理.【分析】先利用余弦定理求得建立等式,利用基本不等式的性质确定AD?DC的最大值,进而根据三角形面积公式求得三角形面积的最大值.【解答】解:在△ACD中,cos∠ADC===﹣,整理得AD2+CD2=48﹣AD?DC≥2?AD?DC,∴AD?DC≤16,AD=CD时取等号,∴△ADC的面积S=AD?DC?sin∠ADC=AD?DC≤4,故答案为:12.对任意非零实数a、b,若a?b的运算原理如图程序框图所示,则3?2=
.参考答案:2【考点】EF:程序框图.【分析】根据a?b的运算原理知a=3,b=2,通过程序框图知须执行,故把值代入求解.【解答】解:由题意知,a=3,b=2;再由程序框图得,3≤2不成立,故执行,得到3?2==2.故答案为:2.13.设平面α∥平面β,A,C∈α,B,D∈β,直线AB与CD交于点S,且点S位于平面α,β之间,AS=8,BS=6,CS=12,则SD=_______.参考答案:914.用系统抽样的方法从容量为的总体中抽取容量为的样本,则总体中每个个体被抽到的概率为
参考答案:略15.曲线在点
处的切线倾斜角为__________;参考答案:
略16.执行如图所示的程序框图,若输出的的值为,则图中判断框内①处应填(
)A.
B.
C.
D.
参考答案:B17.已知AC,BD为圆O:x2+y2=9的两条相互垂直的弦,垂足为M(1,),则四边形ABCD的面积的最大值为.参考答案:15【考点】直线与圆相交的性质.【分析】由圆的方程找出圆心坐标为(0,0),半径r=3,设圆心O到AC、BD的距离分别为d1、d2,再由M的坐标,根据矩形的性质及勾股定理得到d12+d22=OM2,由M和O的坐标,利用两点间的距离公式求出OM2,进而得到d12+d22的值,再由圆的半径,弦心距及弦长的一半,由半径的值表示出|AB|与|CD|的长,又四边形ABCD的两对角线互相垂直,得到其面积为两对角线乘积的一半,表示出四边形的面积,并利用基本不等式变形后,将求出的d12+d22的值代入,即可得到面积的最大值.【解答】解:∵圆O:x2+y2=9,∴圆心O坐标(0,0),半径r=3,设圆心O到AC、BD的距离分别为d1、d2,∵M(1,),则d12+d22=OM2=12+()2=3,又|AC|=2,|BD|=2∴四边形ABCD的面积S=|AC|?|BD|=2?≤18﹣(d12+d22)=18﹣3=15,当且仅当d12=d22时取等号,则四边形ABCD面积的最大值为15.故答案为:15.三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.△ABC中,BC=7,AB=3,且.(1).求AC;(2).求角A.参考答案:(1).由正弦定理,得,∴.∴.
(2).由余弦定理,得又,∴19.已知函数f(x)=是定义域为(﹣1,1)上的奇函数,且.(1)求f(x)的解析式;(2)用定义证明:f(x)在(﹣1,1)上是增函数;(3)若实数t满足f(2t﹣1)+f(t﹣1)<0,求实数t的范围.参考答案:【考点】36:函数解析式的求解及常用方法;3E:函数单调性的判断与证明.【分析】(1)由函数f(x)是定义在(﹣1,1)上的奇函数,所以f(0)=0,再据可求出a的值.(2)利用增函数的定义可以证明,但要注意四步曲“一设,二作差,三判断符号,四下结论”.(3)利用函数f(x)是奇函数及f(x)在(﹣1,1)上是增函数,可求出实数t的范围.【解答】解:(1)函数f(x)=是定义域为(﹣1,1)上的奇函数,∴f(0)=0,∴b=0;…又f(1)=,∴a=1;…∴…(2)设﹣1<x1<x2<1,则x2﹣x1>0,于是f(x2)﹣f(x1)=﹣=,又因为﹣1<x1<x2<1,则1﹣x1x2>0,,,∴f(x2)﹣f(x1)>0,即f(x2)>f(x1),∴函数f(x)在(﹣1,1)上是增函数;(3)f(2t﹣1)+f(t﹣1)<0,∴f(2t﹣1)<﹣f(t﹣1);…又由已知函数f(x)是(﹣1,1)上的奇函数,∴f(﹣t)=﹣f(t)…∴f(2t﹣1)<f(1﹣t)…由(2)可知:f(x)是(﹣1,1)上的增函数,…∴2t﹣1<1﹣t,t<,又由﹣1<2t﹣1<1和﹣1<1﹣t<1得0<t<综上得:0<t<…20.已知椭圆+=1(a>b>0)和直线l:﹣=1,椭圆的离心率e=,坐标原点到直线l的距离为.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)已知定点E(﹣1,0),若直线m过点P(0,2)且与椭圆相交于C,D两点,试判断是否存在直线m,使以CD为直径的圆过点E?若存在,求出直线m的方程;若不存在,请说明理由.参考答案:【考点】KL:直线与椭圆的位置关系.【分析】(Ⅰ)由椭圆的离心率e=,坐标原点到直线l:﹣=1的距离为,求出a,b,由此能求出椭圆方程.(Ⅱ)当直线m的斜率不存在时,直线m方程为x=0,以CD为直径的圆过点E;当直线m的斜率存在时,设直线m方程为y=kx+2,由,得(1+3k2)x2+12kx+9=0,由此利用根的判别式、韦达定理、圆的性质,结合已知条件能求出当以CD为直径的圆过定点E时,直线m的方程.【解答】解:(Ⅰ)由直线,∴,即4a2b2=3a2+3b2﹣﹣①又由,得,即,又∵a2=b2+c2,∴﹣﹣②将②代入①得,即,∴a2=3,b2=2,c2=1,∴所求椭圆方程是;(Ⅱ)①当直线m的斜率不存在时,直线m方程为x=0,则直线m与椭圆的交点为(0,±1),又∵E(﹣1,0),∴∠CED=90°,即以CD为直径的圆过点E;②当直线m的斜率存在时,设直线m方程为y=kx+2,C(x1,y1),D(x2,y2),由,得(1+3k2)x2+12kx+9=0,由△=144k2﹣4×9(1+3k2)=36k2﹣36>0,得k>1或k<﹣1,∴,,∴y1y2=(kx1+2)(kx2+2)=k2x1x2+2k(x1+x2)+4∵以CD为直径的圆过点E,∴EC⊥ED,即,由,,得(x1+1)(x2+1)+y1y2=0,∴(1+k2)x1x2+(2k+1)(x1+x2)+5=0,∴,解得,即;综上所述,当以CD为直径的圆过定点E时,直线m的方程为x=0或.【点评】本题考查椭圆方程的求法,考查条件的直线是否存在的判断与求法,是中档题,解题时要认真审题,注意椭圆、根的
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