山东省青岛市经济技术开发区致远中学2022-2023学年高三数学理月考试题含解析

山东省青岛市经济技术开发区致远中学2022-2023学年高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数的图像大致是

(

)参考答案：A略2.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：试题分析：根据三视图可知，该几何体是三棱锥，如图所示，其中面平面，面平面，在上的正射影恰是的中点.由图中给定数据，较长的棱是.计算得.连，则且,所以，故选.考点：1.空间的距离；2.几何体的特征；3.三视图.3.如果实数满足不等式组则的最小值是A．25

B．5

C．4

D．1参考答案：B在直角坐标系中画出不等式组

所表示的平面区域如图1所示的阴影部分，x2+y2的最小值即表示阴影部分（包含边界）中的点到原点的距离的最小值的平方，由图可知直线x?y+1=0与直线x=1的交点(1，2)到原点最近，故x2+y2的最小值为12+22=5.选B.4.已知函数f（x）=cos（ωx﹣）（ω＞0）的最小正周期为π，则函数f（x）的图象（）A．可由函数g（x）=cos2x的图象向左平移个单位而得B．可由函数g（x）=cos2x的图象向右平移个单位而得C．可由函数g（x）=cos2x的图象向左平移个单位而得D．可由函数g（x）=cos2x的图象向右平移个单位而得参考答案：D【考点】余弦函数的图象．【分析】根据函数f（x）的最小正周期为π，求出解析式，在利用三角函数的平移变换考查也选项即可．【解答】解：函数f（x）=cos（ωx﹣）（ω＞0）的最小正周期为π，即T=，∴ω=2，则f（x）=cos（2x﹣）的图象可有函数g（x）=cos2x的图象向右平移个单位而得．故选：D．【点评】本题考查了三角函数的解析式的求法和三角函数的平移变换的运用．属于基础题．5.下列函数中，既是偶函数，又在区间（1,2）内是增函数的为（A）

y=cos2x，xR（B）

y=log2|x|，xR且x≠0（C）

y=，xR（D）

y=x3+1，xR参考答案：B函数为偶函数，且当时，函数为增函数，所以在上也为增函数，选B.6.经过椭圆的右焦点任作弦，过作椭圆右准线的垂线，垂足为，则直线必经过

A．

B．

C．

D．参考答案：答案：B7.设是三个互不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是

A．若

B．若

C．若

D．若参考答案：A略8.已知抛物线上一点M（1，m）到其焦点的距离为5，则该抛物线的准线方程为（

）

A．x=8

B．x=-8

C．x=4

D．x=-4参考答案：A略9.“”是“”成立的__________

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：B略10.一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正（主）视图如上图所示，该四棱锥侧面积和体积分别是（

）A.

8,8

B.

C.

D.参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（5分）定义函数y=f（x），x∈I，若存在常数M，对于任意x1∈I，存在唯一的x2∈I，使得=M，则称函数f（x）在I上的“均值”为M，已知f（x）=log2x，x∈，则函数f（x）=log2x在上的“均值”为．参考答案：1007【考点】：进行简单的合情推理；函数的值．【专题】：计算题；函数的性质及应用．【分析】：f（x）=log2x，x∈，是单调增函数，利用定义，即可求出函数f（x）=log2x在上的“均值”解：f（x）=log2x，x∈，是单调增函数，∴函数f（x）=log2x在上的“均值”为M=（log21+log222014）=1007，故答案为：1007．【点评】：此题主要应用新定义的方式考查平均值不等式在函数中的应用．对于新定义的问题，需要认真分析定义内容，切记不可偏离题目．12.幂函数在上为减函数，则实数m的值为______.参考答案：－3【分析】由已知可知，，然后依次验证是否满足条件.【详解】由已知可知，解得：或，当时，，在上是增函数，故不成立；当时，，在上为减函数，成立故答案为：-3【点睛】本题考查根据幂函数的性质求参数，属于简单题型.13.设满足3x=5y的点P为(x，y)，下列命题正确的序号是

．

①(0，0)是一个可能的P点；②(lg3，lg5)是一个可能的P点；③点P(x，y)满足xy≥0；

④所有可能的点P(x，y)构成的图形为一直线．.Com]参考答案：①③④14.在平面直角坐标系中，若直线(s为参数)和直线(t为参数)平行，则常数的值为_____.参考答案：4略15.已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）．若f（x）的图象向左平移个单位所得的图象与f（x）的图象重合，则ω的最小值为

．参考答案：6【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】应用题；规律型；数形结合法；三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，终边相同的角的特征，求得ω的最小值【解答】解：函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0），∵把f（x）的图象向左平移个单位所得的图象为y=sin=sin（ωx++φ），∴φ=++φ+2kπ．即ω=﹣6k，k∈z，∵ω＞0，∴ω的最小值为：6故答案为：6【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，终边相同的角，属于基础题16.不等式的解集为

．参考答案：【解析】：依题意17.设集合，，，则

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（2015?吉林校级模拟）在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，一直曲线C：ρsin2θ=2acosθ（a＞0），过点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为（t为参数），l与C分别交于M，N．（1）写出C的平面直角坐标系方程和l的普通方程；（2）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．参考答案：【考点】参数方程化成普通方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】（1）首先，对于曲线C：根据极坐标与直角坐标变换公式，方程ρsin2θ=2acosθ（a＞0），两边同乘以ρ，化成直角坐标方程，对于直线l：消去参数t即可得到普通方程；（2）首先，联立方程组，消去y整理，然后，设点M，N分别对应参数t1，t2，从而，得到|PM|=|t1|，|PN|=|t2|，|MN|=|t1﹣t2|，然胡，结合一元二次方程根与系数的关系，建立含有a的关系式，求解a的取值．【解答】解：（1）∵，方程ρsin2θ=2acosθ（a＞0），两边同乘以ρ，∴曲线C的直角坐标方程为y2=2ax（a＞0）；直线l的普通方程为x﹣y﹣2=0．（2）联立方程组，消去y并整理，得t2﹣2（4+a）t+8（4+a）=0

（*）△=8a（4+a）＞0．设点M，N分别对应参数t1，t2，恰为上述方程的根．则|PM|=|t1|，|PN|=|t2|，|MN|=|t1﹣t2|．由题设得（t1﹣t2）2=|t1t2|，即（t1+t2）2﹣4t1t2=|t1t2|．由（*）得t1+t2=2（4+a），t1t2=8（4+a）＞0，则有（4+a）2﹣5（4+a）=0，得a=1，或a=﹣4．∵a＞0，∴a=1．【点评】本题重点考查了极坐标方程和直角坐标方程的互化，参数方程和普通方程的互化，直线与曲线的位置关系等知识，属于中档题．19.（本小题满分12分）

已知函数．（1）求的值；（2）求子啊区间上的最大值和最小值及其相应的x的值．参考答案：【知识点】三角函数的最值．C3【答案解析】（1）1；（2）1.解析：（1）+2…2分

+2………………4分

=1

………6分

（2）

…7分

…8分

从而当时，即时

……10分而当时，即时…12分【思路点拨】（1）由三角函数公式化简f（x），代值计算可得；（2）由﹣≤x≤逐步可得≤sin（x+）≤1，结合f（x）的解析式可得答案．20.（本题满分12分）已知向量，，函数．（Ⅰ）求函数的单调递增区间；（Ⅱ）在中，内角的对边分别为，已知，，，求的面积．参考答案：（Ⅰ）…………3分令(，得(,所以，函数的单调递增区间为.………6分（Ⅱ）由，得，因为为的内角，由题意知，所以，因此，解得,

……………

8分又，，由正弦定理，

得,………………10分由，，可得,…11分所以，的面积=.…12分21.已知椭圆的离心率为.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l过点且与椭圆C相交于A，B两点.过点A作直线的垂线，垂足为D.证明直线BD过x轴上的定点.参考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析.【分析】（Ⅰ）由离心率列方程可求得椭圆方程；（Ⅱ）当直线AB的斜率不存在时，直线BD过点（2，0）．当直线AB的斜率存在时，设直线AB为y=k（x-1），联立方程组，消去y整理得：（1+3k2）x2-6k2x+3k2-3=0．利用韦达定理、直线方程，结合已知条件求出直线BD过x轴上的定点．【详解】（Ⅰ）解：由题意可得,

解得，所以椭圆C的方程为．（Ⅱ）直线BD恒过x轴上的定点N（2，0）．证明如下（a）当直线l斜率不存在时，直线l的方程为x=1，不妨设A（1，），B（1，），D（3，）．此时，直线BD的方程为：y=（x-2），所以直线BD过点（2，0）．（b）当直线l的斜率存在时，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB为y=k（x-1），D（3，y1）．由得：（1+3k2）x2-6k2x+3k2-3=0．所以x1+x2=，x1x2=．……（*）直线BD：y-y1=（x-3），只需证明直线BD过点（2，0）即可.令y=0，得x-3=，所以x===即证，即证.将（*）代入可得.所以直线BD过点（2，0）综上所述，直线BD恒过x轴上的定点（2，0）．【点睛】本题考查椭圆方程求法，考查了直线恒过定点，考查推理论证能力、运算求解能力，考查由特殊到一般的思想，是难题．22.已知函数

（Ⅰ）若曲线在点处的切线平行于轴，求函数的单调区间；（Ⅱ）试确定的取值范围，使得曲线上存在唯一的点，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点。参考答案：（Ⅰ）

由题意得：

得：函数的单调递增区间为，单调递减区间为（Ⅱ）设；则过切点的切线方程为

令；则

切线