山东省青岛市经济技术开发区第三中学2021-2022学年高三数学文下学期期末试题含解析

山东省青岛市经济技术开发区第三中学2021-2022学年高三数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.学校组织同学参加社会调查，某小组共有5名男同学，4名女同学。现从该小组中选出3位同学分别到A，B，C三地进行社会调查，若选出的同学中男女均有，则不同安排方法有（）A.70种 B.140种 C.840种 D.420种参考答案：D试题分析：采用反面来做，首先从9名同学中任选3名参加社会调查有种，3名同学全是男生或全是女生的有种，故选出的同学中男女均有，则不同安排方法有种不同选法考点：排列与组合2.已知a=log3，b=3，c=log2，则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜a＜b参考答案：C【考点】对数值大小的比较．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用指数函数、对数函数的性质求解．【解答】解：∵a=log3＜log3=﹣1，b=3＞0，c=log2=﹣1，∴a＜c＜b．故选：C．【点评】本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要注意指数函数、对数函数的性质的合理运用．3.等差数列的公差是2，若成等比数列，则的前项和

（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A4.若二项式展开式的二项式系数之和为8，则该展开式的系数之和为（

）A.－1 B.1 C.27 D.－27参考答案：A依题意二项式系数和为.故二项式为，令，可求得系数和为.5.已知定义在上的函数满足：①；②对所有，且，有.若对所有，，则k的最小值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B6.若把函数的图象向右平移（）个单位后所得图象关于坐标原点对称，则的最小值为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：A7.已知函数的图像上有且仅有四个不同的关于直线对称的点在的图像上，则k的取值范围是(

)A. B. C. D.参考答案：D【分析】根据对称关系可将问题转化为与有且仅有四个不同的交点；利用导数研究的单调性从而得到的图象；由直线恒过定点，通过数形结合的方式可确定；利用过某一点曲线切线斜率的求解方法可求得和，进而得到结果.【详解】关于直线对称的直线方程为：原题等价于与有且仅有四个不同的交点由可知，直线恒过点当时，在上单调递减；在上单调递增由此可得图象如下图所示：其中、为过点的曲线的两条切线，切点分别为由图象可知，当时，与有且仅有四个不同的交点设，，则，解得：设，，则，解得：，则本题正确选项：D【点睛】本题考查根据直线与曲线交点个数确定参数范围的问题；涉及到过某一点的曲线切线斜率的求解问题；解题关键是能够通过对称性将问题转化为直线与曲线交点个数的问题，通过确定直线恒过的定点，采用数形结合的方式来进行求解.8.已知函数f（x）=，则y=f（x）的大致图象为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】函数的图象．【分析】化简解析式，利用函数的单调性，判断函数的图象即可．【解答】解：函数f（x）==1﹣，因为函数y=e2x，是增函数，所以函数f（x）=，是增函数，可知函数的图象只有B满足题意．故选：B．9.已知Sn为等差数列{an}的前n项的和，a2+a5=4，S7=21，则a7的值为（）A．6 B．7 C．8 D．9参考答案：D【考点】等差数列的性质．【分析】由a2+a5=4，S7=21根据等差数列的性质可得a3+a4=a1+a6=4①，根据等差数列的前n项和公式可得，，联立可求d，a1，代入等差数列的通项公式可求【解答】解法一：等差数列{an}中，a2+a5=4，S7=21根据等差数列的性质可得a3+a4=a1+a6=4①根据等差数列的前n项和公式可得，所以a1+a7=6②②﹣①可得d=2，a1=﹣3所以a7=9解法二：S6=（）×6=12a7=S7﹣S6=9故选D10.将函数的图象上向左平移个单位，再向上平移3个单位，得到函数的图象，则解析式为（

）

参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2+，则f（﹣1）=．参考答案：﹣2【考点】函数奇偶性的性质．【分析】当x＞0时，f（x）=x2+，可得f（1）．由于函数f（x）为奇函数，可得f（﹣1）=﹣f（1），即可得出．【解答】解：∵当x＞0时，f（x）=x2+，∴f（1）=1+1=2．∵函数f（x）为奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2．故答案为：﹣2．12.函数的最小值是

.参考答案：13.若曲线的一条切线与直线x＋4y－8＝0垂直，则的方程为

参考答案：14.已知定义在上的函数满足，当时，函数的导函数恒成立，若，则实数的取值范围为____________参考答案：略15.函数为奇函数，则增区间为

参考答案：略16.如图是一个算法的流程图，若输入x的值为2，则输出y的值为

．参考答案：7【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】利用循环结构，直到条件不满足退出，即可得到结论．【解答】解：执行一次循环，y=3，x=2，不满足|y﹣x|≥4，故继续执行循环；执行第二次循环，y=7，x=3，满足|y﹣x|≥4，退出循环故输出的y值为7，故答案为：7【点评】本题考查循环结构，考查学生的计算能力，属于基础题．17.设单位向量m=（x，y），b=（2，-1）。若，则=_______________

参考答案：

因为为单位向量，所以。又，所以，即，两式联立解得。，所以三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（14分）已知函数f（x）=x2﹣（3a+1）x+2a（a+1）lnx（a＞0）（Ⅰ）若函数f（x）在x=1处的切线与直线3x﹣y+2=0平行，求a的值：（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）在（I）的条什下，若对职?x∈[1，e]，f（x）≥k2+6k恒成立，求实数k的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）由导数值即曲线的斜率即可求得；（Ⅱ）利用导数求函数的单调区间，注意对a进行讨论；（Ⅲ）把不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题解决，对?x∈[1，e]，f（x）≥k2+6k恒成立，即求f（x）min≥k2+6k恒成立．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=x﹣（3a+1）+﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣1分∵函数f（x）在x=1处的切线与直线3x﹣y+2=0平行，∴f′（1）=1﹣（3a+1）+2a（a+1）=3，即2a2﹣a﹣3=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣2分解得a=或a=﹣1（不符合题意，舍去），∴a=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣4分（Ⅱ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=x﹣（3a+1）+﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣5分①当0＜a＜1时，2a＜a+1，∴当0＜x＜2a或x＞a+1时，f′（x）＞0，当2a＜x＜a+1时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在（0，2a）和（a+1，+∞）上单调递增，在（2a，a+1）上单调递减．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣7分②当a=1时，2a=a+1，f′（x）≥0，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣8分③当a＞1时，2a＞a+1，∴0＜x＜a+1或x＞2a时，f′（x）＞0；a+1＜x＜2a时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在（0，a+1）和（2a，+∞）上单调递增，在（a+1，2a）上单调递减．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣10分（Ⅲ）当a=时，f（x）=﹣+lnx，由（Ⅱ）知函数f（x）在（0，）上单调递增，在（，3）上单调递减，因此f（x）在区间1，e]的最小值只能在f（1）或f（e）中取得．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣11分∵f（1）=﹣5，f（e）=﹣+，∴f（e）﹣f（1）=．设g（x）=x2﹣11x+25，则g（x）在（﹣∞，）上单调递减，且e＜3＜，∴g（e）＞g（3），故f（e）﹣f（1）＞0．∴f（x）在区间1，e]的最小值是f（1）=﹣5．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣13分若要满足对对?x∈[1，e]，f（x）≥k2+6k恒成立，只需f（x）min≥k2+6k恒成立，即求﹣5≥k2+6k恒成立，即k2+6k+5≤0，解得﹣5≤k≤﹣1．∴实数k的取值范围是[﹣5，﹣1]．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣14分【点评】考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值．掌握不等式恒成立时所取的条件．体会数学转化思想的运用．19.如图，A，B，C，D四点在同一圆上，与的延长线交于点，点在的延长线上．（1）若，求的值；（2）若，证明：．参考答案：（1）；（2）详见解析．试题分析：（1）根据圆内接四边形的性质，可得∠ECD=∠EAB，∠EDC=∠B，从而△EDC∽△EBA，所以有，利用比例的性质可得，得到；（2）根据题意中的比例中项，可得，结合公共角可得△FAE∽△FEB，所以∠FEA=∠EBF，再由（1）的结论∠EDC=∠EBF，利用等量代换可得∠FEA=∠EDC，内错角相等，所以EF∥CD．试题解析：证明：（1）四点共圆，，又，∽，，，．（2），，

又，∽，

，又四点共圆，，，考点：1．圆內接多边形的性质与判定；2．相似三角形的判定；3．相似三角形的性质．20.（本小题满分12分）某网络营销部门为了统计某市网友2013年11月11日在某淘宝店的网购情况，随机抽查了该市当天名网友的网购金额情况，得到如下数据统计表（如图（1））：网购金额（单位:千元）频数频率合计若网购金额超过千元的顾客定义为“网购达人”，网购金额不超过千元的顾客定义为“非网购达人”，已知“非网购达人”与“网购达人”人数比恰好为．（1）试确定，，，的值，并补全频率分布直方图（如图（2））．（2）该营销部门为了进一步了解这名网友的购物体验，从“非网购达人”、“网购达人”中用分层抽样的方法确定人，若需从这人中随机选取人进行问卷调查．设为选取的人中“网购达人”的人数，求的分布列和数学期望．参考答案：（1）根据题意，有解得

…2分，．补全频率分布直方图如图所示．………4分（2）用分层抽样的方法，从中选取人，则其中“网购达人”有人，“非网购达人”有人．…6分故的可能取值为0，1，2，3；，，，．…………10分所以的分布列为：

．

……12分21.如图(1)所示，在△BCD中，AD是BC边上的高，且∠ACD＝45°，AB＝2AD，E是BD的中点。现沿AD进行翻折，使得平面ACD⊥平面ABD，得到的图形如图(2)