2020-2021学年天津一中高二下学期期中数学复习卷1

𝑎𝑏𝑖𝑁𝑎𝑏𝑖𝑁2020-2021年天津一中高二下学期期中数学复习卷一、单选题（本大题共10小题共30.0分）

i

为虚数单位，若(𝑎,𝑏∈与𝑖

互为共轭复数，𝑎𝑏

B.

C.

D.

在平面直角坐标系xOy中已P是𝑙的象上的动点，该曲线在点P处切线l

交y轴点

，点P作l

的垂线交y轴点则

𝑀

的范围是C.

B.D.

已知函

𝑖

，现给出如下四个结论：

是奇函数；是偶函数；在是增函数；

在是减函数．其中正确结论的个数(

B.

C.

D.

已知函的义域为，

，

，则C.

在定义域上单调递减在定义域上有极大值

B.D.

在定义域上单调递增在定义域上有极小值

在应用数学归纳法证明凸边形的角线为条，一步验证

B.

C.

D.

函数

在区间

上有最小值，则实数的值范围

B.D.曲线在点处切线方程

B.

C.

D.

25,,𝑒25,,𝑒

如图所示是

的导数

的图像，下列四个结论：

在区间是在区间是

上是增函数；的极小值点；上是减函数，在区间的极小值点．其中正确的结论是

上是增函数；

B.

C.

D.

已知函是义在+的导函数为其导函数且时，，曲𝑥处切线的斜率为，)

2

B.

C.

2

D.

已函2,

，若方有3个同的解，则取值范围2

52

B.

5322

C.

5322

D.

32

,二、单空题（本大题共6小题，18.0分已函，______．2．已函的数

2

，若函数在处取到极大值，则实数取值范围是_____．由半径为R的圆的内接矩形中，以正方形的面为最大，最大值2

2

”按类比推理关于球的相应命题为“半径为R球的内接长方体中，以正方体的体积最大，”此可求得此最大值为_．函

在

上有最大值3那么此函数在

上的最小值为

已

𝑙𝑛

𝑥

，，，成，则实数取22值范围是______三、解答题（本大题共4小题，48.0分用学归纳法证明：

3𝑛

2𝑛(𝑛∈设数2

2

𝑙𝑛(2)讨论(的单调性；求(在区2,𝑒的最大值和最小值．函3．3Ⅰ求数的值；Ⅱ设数，，

都有(，求实数的值范围．2

已函3．求(的单调递减区间；求(在点处切线方程．

𝑎𝑀或𝑎𝑎𝑀或𝑎2或𝑎𝑎𝑀【答案与析】1.

答：D解：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础的计算题．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求得，b的值，则答案可求．解：

𝑎𝑏𝑖𝑖

𝑎𝑏𝑖2

𝑏𝑎，(2𝑖)2

𝑖1=𝑖，又

𝑎𝑏𝑖𝑖

𝑎,𝑏∈与2𝑖)2

互为共轭复数，𝑏，，则𝑎𝑏．故选：D2.

答：A解：：𝑎,𝑎𝑎)，𝑥𝑙，曲在点处的切线l的程为𝑎𝑎𝑎𝑎(𝑎)，𝑎𝑙．令，得

𝑎，过点作l

的垂线的方程为𝑎𝑙𝑛𝑎𝑎

𝑎)，令，得

𝑎𝑛𝑎𝑎

𝑎𝑛𝑎

，

𝑙𝑎

，𝑎

𝑎𝑙𝑎

2，𝑎

𝑎𝑎

2，

𝑙𝑎

的范围．故选．设出的标求函数可得曲线在点处切线l的程过点l垂线的方程，

进而可求利用基本不等式可出进而可求利用基本不等式可出的𝑀𝑀𝑒2𝑒2𝑒可得

𝑎

𝑙范围．本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查基本不等式的运用，属于中档题．3.

答：B解：：

𝑒

𝑠𝑖𝑛𝑥−𝑥

；显然，；为奇非偶函数；𝑠−⋅𝑒

𝑠𝑖𝑥

；𝑠，在R上减函数；只有正，即正确结论的个数为1故选．分析：根据奇函数，偶函数的定义，求，判断(和(的关系，从而判的偶性，而求，据其符号即可判在的单调性，从而求出正确结论的个数．考查奇函数，偶函数的定义，以及判断奇偶性的方法，根据函数导数符号判断函数单调性的方．4.

答：B解：：由条件；设，

2

；

，则

𝑒22

；设ℎ(𝑒

2

则2222

2

𝑒2−

；所以在所以

上调递减，在,上调递增；22；则；2所以在定义域上单调递增；故选：B．

由条件构造(则求讨的调性在个过程中将分子看成一个整体，求导讨论其单调性，分析其符号．本题构造抽象函数求导讨论单调性，变形技巧要求较高，难度较大．5.

答：解：：多边形的边数最少是，三角形，第步验证于3故选：．数学归纳法第一步应验证n的小值时，命题是否成立．本题主要考查数学归纳法，数学归纳法的基本形式：设是于自然数n命题，若

0

成奠基假立，以推成立归，对切大于等于00立

的自然数n成6.

答：解：本题主要考查导数的应用，熟悉导数求函数最值的步骤是解答本题的关键，是高考中常见的题，属于中档题．解：

当

时，当

时，所以函数

在区间

时，有极小值又由

解得所以函数

在区间

上有最小值，

则实数的值范围是，故选C．7.

答：A解：：

3

，得′3

，

′

3

．曲线3在点处切方程为(．即．故选：A．求出原函数的导函数，得到函数处导数，然后由直线方程的点斜式得答案．本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，函数过曲线上某点处的切线的斜率，就是函在该点处的导数值，是中档题．8.答：B解：题分析：由导函数图象可知

在区间

上是先减再增在

左侧是减函数，右侧是增函数，所以上是增函数；

是

是

在区间的极小值点的极大值点；故正．

上是减函数，在区间考点：导函数的应用．9.

答：解：本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值及其切线斜率，考查了推理能力与计算能力，属中档题．令

论时的调区间和极值点′有

′

，

′

，即可得出．解：当且时

，

55555555,555555555555,5555可得时，

′

；时

′

，令

，′′′，可得：时

′

；时

′

，可得函在处得极值，′′，由

′

，可得，故选C．10.

答：B解：：的图象如图所示，方𝑥有3个同的解，即

有不同的解，等价于与的象有不同的交点，因为直恒过 

，所以满足条件的直线应在图中与之，斜率分别1

23

2

，故

5故选．方程有3个同的解，有不同的解，等价的图象有3个不同的交点为直线恒过 以满足条件的直线应在图中𝑙与之间，求出斜率，即可得出结论．本题考查方程解的研究，考查数形结合的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，正确转化关键．11.

答：1

12解：：12解：：(2333131123解：：，求导，故答案为：1．

1

𝑙𝑥，根据求导法则可知：𝑙𝑥

1

𝑙𝑥，时，即可求．本题考查导数的运算，考查导数的运算法则，属于基础题．12.答案33311123333

．故答案为：33

．直接利用定积分运算法则求解即可．本题考查定积分的运算，微积分基本定理，考查学生的运算求解能力，属于基础题．13.答：−1,0)解：：由题意得

2

，在处到极大值，必有时，，且时，当时当1时，当时，，则处到极小值，不符合题意；当时函无极值，不符合题意；当1时当时，，当时，，则处到极大值，符合题意；当时，，数(无值，不符合题意；当时，当时，，时，则处到极小值，不符合题意；

3𝑅2222236833𝑅2222236833𝑅综上所，故答案为：．先对进行因式分解，再讨论a的负，以及a与的大小，分别判定处的导数符号，确定是否在处取到极大值，即可求出实数取值范围．本题考查了函数在某点取得极值的条件，以及导数与函数的单调性、极值的关系，考查了分类论思想，属于中档题．14.

答：

3解：：设半径为圆的内接矩形的长，宽分别为2，b则有

2

2

𝑅

2

，又矩形的面积为4ab由不等式的性质

2

2

2

，当且仅时等号2即“半径为R的圆的内接矩形中，以正方形的面积为最大，最大2”类比推理关于球的相应命题为“半径为的球的内接长方体中，设半径为的球的内接长方体的长，宽，高分别为，b，c，则

2

2

2

𝑅

2

，内接长方体的体积为，由不等式的性质

2

2

2

3

3

，当且仅当时等，27即“半径为R的球的内接长方体中，以正方体的体积最大，”且最大值为

3

，故答案为：

3由圆中有关问题类比推理到球中有关问题，结合重要不等式及取等条件可得解．本题考查了类比推理能力及重要不等式及取等条件，属中档题．15.

答：解：题分析：函数导数，

得

11𝑥111111𝑥1111111𝑚𝑥2211111𝑥111111𝑥1111111𝑚𝑥22111，最小值考点：函数在某一闭区间上的最值点评：函数在某一闭区间上的最大值最小值会出现在区间的端点处或极值点处4𝑒1,16.答：4𝑒解：：𝑒,𝑒

2

，𝑒,𝑒2

2

，)成，12等价于“当𝑒,𝑒

2

时，有”，𝑚𝑥𝑚当𝑒,𝑒

2

时，，[，𝑥222𝑙24

，1，𝑚𝑥4问题等价于：“𝑒,𝑒

2

时有𝑚𝑥

14

”，当

，即时，4422𝑙24

，在𝑒,𝑒

2

上为减函数，则

𝑚𝑥

𝑒𝑒𝑒(1

，41

14𝑒

4𝑒14𝑒

，当

14

，

14

时，[𝑒,𝑒

2

，

,，𝑥2

𝑥1

2

，由复合函数的单调性知在𝑒,𝑒

2

上为增函数，存唯𝑒,𝑒

2

，)且满足在𝑒,递，,𝑒

2

递增，或，𝑒

2

𝑒2

𝑒

2

，故

𝑒2

2，得424𝑒

2

，综上，实数a的取值范围为

4𝑒14𝑒

,，故答案为：

4𝑒14𝑒

,．问题等价于“当𝑒,𝑒

2

时(”此用导数性质结合分类讨论思想，𝑚𝑥𝑚

⋯+，⋯+，能求出实数取值范围．本题主要考查函数、导数等基本知识．考查运算求解能力及化归思想、函数方程思想、分类讨思想的合理运用，注意导数性质的合理运用．17.

答：明当时左，边，，所以不等式成立假时等式成立，

，分则当时，

分即当时，不等式也成立．由可，于任时不等式立．分解：接利用数学归纳法证明问题的步骤，证明不等式即可．本题考查数学归纳法证明含自然数n的达式的证明方法的明时用假设．18.

答：：

𝑙，其定义域

，令，解的或舍去，当时即时函数单调递增，当时即时函数单调递减，故上调递减，在单递增；，，由可知，函在

单递，𝑚𝑎(

，𝑚

112812131112812131(2．2解：先出函数的定域，再求导，根据导数和函数的单调性的关系即可求出；由可，函在𝑒单调递减，即可求出函数的最．本题考查了函数的单调性和导数的关系，以及利用单调性求函数的最值，属于中档题．19.答：：因为