07.勾股定理全章复习与巩固讲义

慎题多考

Justforyou!勾股定理全章复与固知识点要一勾定勾股定：直角三角形两直角边

、

的平方和等于斜边

的平方（即：

2

）勾股定的用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：（1）已知直角三角形的两边，第三边；（2）利用勾股定理可以证明有线段平方关系的问题；（3）求作长度为

的线段要二勾定的定原命题逆题如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命如把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命.勾股定的定勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长

a、、

，满足

22

，那么这个三角形是直角三角.应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：（1）首先确定最大边，不妨设大边长为

；（2）验证

2与a22是具有相等关系，若a22

，是∠为角的直三角形，反之，则不是直角三角形.第1页

慎题多考勾股数

Justforyou!满足不定方程

x

2y22

的三个正整数勾称高数或毕达哥拉斯数

、为三边长的三角形一定是直角三角.常见的勾股数：、4；②5、12；③8、17；④7、24、25；⑤9、40、41.如果(

a、、

)是勾股数，当t为正整数时，以

at、、ct

为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征：1.较小的直角边为连续奇数；2.较长的直角边与对应斜边相差1.3.假设三个数分别为

、、，a

，那么存在

2成.（如中存在2＝24＋25、

2

＝40＋41等要三勾定与股理定的别联区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有典型例类一勾定及定的单用例1、已知直角三角形的两边长别为和8求第三边的长．第2页

慎题多考举反：【变式】在△中，AB＝15，AC＝13高AD＝12求△的周长．

Justforyou!例2、如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AC，MAB上一点．求证：

AM

22

．第3页

慎题多考举反：【变式】已知，△ABC中AB＝AC，DBC上任点，求证：

ADBD

Justforyou!.类二勾定及定的合用例3、如图，在正方形ABCD中AB=4，DF=1，请你判的状，并说明理由．第4页

慎题多考举反：

Justforyou!【变式】如图所示，已知ABC，∠B＝22.5°，AB的垂直平分线交BC于D，BD＝求AE的长

2

，AE于E，例4、如图①所示，分别以直角三角形ABC三为直径向外作三个半圆，其面积分别用

S、S1

3

表示，则不难证明

1

3

．如②分以直角三角形三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1

3

表示，那么、、S之间有什么关系(不必证明)13(2)如图③分以直角三角形三边为边向外作三个正三角形其面积分别用

、、S12

3

表示请你确定

、S、12

3

之间的关系并加以证明．第5页

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Justforyou!例5、如果ΔABC的三边分别为

a、c

，且满足

22ac

，判断ΔABC的形状类三勾定的际用例、图①，一只蚂蚁在长方体木块的一个顶点A处，物在这个长方体上和蚂蚁相对的顶点B处蚂蚁急于吃到食物，所以沿着长方体的表面向上爬，请你计算它从A处第6页

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Justforyou!举反：【变式】我国古代有这样一道数学问题一根直立地高二丈周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？，题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，该圆柱的高为20尺，面周长为3尺，葛藤自点缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处．问中葛藤的最短长度是多少尺？第7页

慎题多考课后练

Justforyou!一选题1．如图，一棵大树被台风刮断若树在离地面3m处折断，树顶端落离树底部，则树折断之前高()A.5

B.7

C.8

D.10

2．如图，从台阶的下端点B到端点A的直距离(A.C.

25

B.D.

1033.下列命题中是假命题的是（）A.三个内角的度数之比为1

：3：4的角形是直角三角形；B.三个内角的度数之比为：

3

：2的角形是直角三角形；C.三边长度之比1：

3

：2的角形是直角三角形；D.三边长度之比

：

：2的角形是直角三角形；第8页

a慎题多考a

Justforyou!4.如所示△中＝AC＝5＝6E是中线AD上两点图阴影部分的面积ABC．24．305．下列三角形中，是直角三角的(A.三角形的三边满足关系

a

B.三角形的三边比为1∶2∶3C.三角形的一边等于另一边的一

D.三角形的三边为9，40，416．某市在旧城改造中，计划在内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价元则购买这种草皮少需(A.450C.150

aa

元元

B.225D.300

aa

元元7.如图，eq\o\ac(△,Rt)ABC中∠C=90°，AC=12分别以、BC为在AB的侧作正方形ABDE、BCIH，四块阴影部分的面积分别S、S、S、S．则S+S+S等于）A.90B.60C.169D.144第9页

．慎题多考．

Justforyou!8.已，如图长方形ABCD中，AB

，AD＝9

，将此长方形折叠，使点B与合，折痕为，则△ABE的积为（）A.3

cm

22

D.12

cm

2二填题9．若一个三角形的三边长分别6，8，10则这个三角形中最短边上的高______．10．若等边三角形的边长为2，它的面积______11．如图，B，C是岸边两点A是岸岸边一点，测得ABC＝45°，∠ACB＝45°＝60，则点A到岸边BC的距是_____米12.下列命题中，其命题成立的______________填序号）①同旁内角互补，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们相等；③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；④如果三角形的三边长

a、满a

，那么这个三角形是直角三角形．第页共13页

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Justforyou!13.如图圆形容器中高120cm底面周长为100cm在器内壁离容器底部的B处一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿40cm与蚊相对的点A处，壁虎捕捉蚊子的最短距离为cm器厚度忽略不计）14．在直角三角形中，一条直角为11cm，两边是两个续自然数，则此直角三角形的周长______．15.如图所示的图形中，所有的边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若涂黑的四小正方形的面积的和是102，其中最大的正方形的边长_．16．如图，中＝90°，AC＝BC＝1取斜边的中点，向斜边做垂线，画出一个新的等直角三角形，如此继续下去，直到所画直角三角形的斜边与ABC的BC边叠为止，此时这个三角形斜边长为．第页共13页

慎题多考三解题17.若直角三角形两直角边的比：4斜边长是，求此三角形的面.

Justforyou!18．甲乙两船从位于南北走向的岸线上的港口A同时发以小时30海的速度向北偏东35°方向航行，乙船以每小时40海的度向另一方向航行2时后，甲船到C岛乙船到达B岛B两岛相距100海里，判断乙船所走向，说明理由．19．如图，△ABC中，∠A＝90°，AC＝