贝叶斯统计复习

贝叶斯统计习题1.设0是一批产品的不合格率，从中抽取8个产品进行检验，发现3个不合格品，假如先验分布为（1）0u（0,1）'2(1-0),0<0<10,其它求0的后验分布。解：40<6?<1[ML严⑴二％业它检验8个产品有，个个合格m(x)=,040<6?<1[ML严⑴二％业它检验8个产品有，个个合格m(x)=,01 】f8、 1 1]3（州）汗（8）汨=峰（]邓）‘必二『6伊（]_$），而二一

n nI3J n 9兀（81*）=“⑴'）〃*）=5。4序（i项）50<0<1m(x)]2（i—。），Q<e<iI0,其它m(x)=f1p(x10)兀(0)的=f1C303(1—0)5*2(1—0)d0=『11203(1—0)6d0=—0 0 0 15k(0|x)=P(X|07：(0)=84003(1—0)6,0<0<1m(x)2-设X1%，七是来自均匀分布U（0，0）的一个样本，又设0的先验分布为Pareto分布,其密度函数为… (0)_*0;/0妇1，0>0°'二I 00, 0<0°I 0其中参数00>。。>0，证明：0的后验分布仍为Pareto分布。解：样本联合分布为：p(x0)=二,0<x<0

0na0a/0a+1,0>0000, 0<00兀(0)=<冗(0x)xp(xP)k(0)=a0»/0以+n+ix1/0以+n+i,0>0=max{O,x,,x}1 0 1 0 1n因此0的后验分布的核为1/0a+n+1，仍表现为Pareto分布密度函数的核•••即兀(0x)=(a+n)0以+n/0a即兀(0x)=10, 0展11即得证。设吃是来自指数分布的一个样本，指数分布的密度函数为p(xl人)=山-必,x>0,(1)证明：伽玛分布Ga(a,P)是参数人的共轭先验分布。若从先验信息得知，先验均值为，先验标准差为，确定其超参数a，P。解.FTTr.X-(1)样本的似然函数：p(x|X)=Xne,=]/=XnePa入…兀(A)= r r入aTe-阳「(a)参数A的后验分布兀(A|x)xp(x|A)K(A)xAn+a-1e-(P+nx)A服从伽马分布GaG+n,P+nx).P=崩002" na=4,P=20000.飞=0.00012|P2设一批产品的不合格品率为0，检查是一个接一个的进行，直到发现第一个不合格品停止检查，若设X为发现第一个不合格品是已经检查的产品数，则X服从几何分布，其分布列为假如0只能以相同的概率取三个值1/4,2/4,3/4,现只获得一个观察值x=3，求0的最大后P(X=x列为假如0只能以相同的概率取三个值1/4,2/4,3/4,现只获得一个观察值x=3，求0的最大后验估计0 。 •MD解：0的先验分布为Q—~= =在0给定的条件下，X=3的条件概率为P(X=3|幻工8(1—联合概率为耳乂=3，。=%=土・「｛1七X=3的无条件概率为0的后验分布为-ja\yvF〈X=3,8=i/4) 4"：iF8=』/4|X=3)h —=亏|1一］1/42/43/4尸(g=〃4iX=3)9/208/203/2。9的最大后验•估计弘心="d5。设x是来自如下指数分布的一个观察值，p(xl0)=e-a-0),x>0取柯西分布作为0的先验分布，即兀(0)=—二,-8<0<8KV1+02)求0的最大后验估计0MD解后验密度为了寻找』的最大后餐估计机小我们.时后验密度使用微分法呵得如S3一伊以十徘)七_广七Wf询0)(1+伊)'ifk由于疗0|才)的非减性,考虑到&的取值不能超过工，故&的最大后魅估i十应为3^=21,

设)是来自均匀分布U(。,。)的一个样本，又设°服从Pareto分布，密度函1 2n数为71(0)=<Ol0oc71(0)=<0>000<00求。的后验均值和后验方差。CC0OI/0a+l,00,0>000<00求。的后验均值和后验方差。CC0OI/0a+l,00,解：°的先验分布为：兀(°)=<令。=max{9,x, }1 0 1n可得后验分布为：兀(叫')=<0>000<000>010<01(a+n)0a+«/0a+〃+1,1、°，c si、(a+〃)。则0的后验期望估计为：e(。w=—,〃+以-1v小I、 (a+zz)02后验方差为：伪尸(。工)=<―L"(zz+a-l)2(zz+a-2)n]7.设'服从伽玛分布^(-，―),°的分布为倒伽玛分布/Go(a,。),226nx证明：在给定，的条件下，°的后验分布为倒伽玛分布/G6i(-+a-+P)O求。的后验均值与后验方差。n1解：由x〜Gq(；，k)，°〜/Go(aR)可以得出22U1耳(布)24 17?(xp)=-=^-—X2~1e~20x,x>0「(?)B以 -3-71(0)=——0-(a+l)^~e,0>0r(a)U 八 U 八 ""■2971(0|x)OC7?(xP)7l(0)OC0-(2+a+1)e-nx即为倒伽玛分布^(-+a-+P)的核。A Anx所以o的后验分布为/Gq(5+a,5+P)t+Px+2B(2)后验均值为E(Qlx)= -=〃+2a—2—+a—i2

(2+。)2后验方差为Var(0|x) (:+a-1)2(2+a—2)对正态分布N(0,1)作观察，获得三个观察值：2,3,5，若°的先验分布为N(3,1),求°的可信区间。没某电子元件的失效时间X服从指数分布，其密度函数为p(x\0)=0-iexp{-x/0},x>0若未知参数0的先验分布为倒伽玛分布IGa(1,0.01)。计算该种元件在时间200之前失效的边缘密度。解：解：依题意X0exp厂寸,x>00.01+xI小d0兀(0)=0.010-20.01+xI小d0(x)=jp(x|0)k(0)d0=「80.010-3exp<0该元件在时间200之前失效的概率：p-j200m(x)dx=j200_°.°'、dx就0.999950 0(x+0.01》10.没X,X,,X相互独立，且XP(0),i=L,n。若0,0,,0是来自伽玛分布1 2 n i i 1 2nGa(a,P)的一个样本，找出对X=(x1,x2,,x〃)的联合边缘密度。解：解:依题意p(%0)=^Ae-0.jix\兀(0,)= _0a-ie-叫,0,m(x)=jp(x0)兀(0)d0=j+8^~ef 0a-ie-叫d0j,iiii0x! 「(以)，j=FO*DF「(气+a)im(x)=t!m(x)m(x)=t!m(x)=

i=i 1EJ2(8+1"+a气!某厂准备一年后生产一种新产品，如今有三个方案供选择：改建本厂原有生产线（七）,从国外引进一条自动化生产线（。2）；与兄弟厂协助组织“一条龙”生产线（。3）。厂长预计一年后市场对此产品的需求量大致可分为三种：较高（气）；一般（02）；较低（与）。'700980400'假设其收益矩阵为（单位：万元），Q=250-50090^-200-800-30/假设厂长根据自己对一年后市场需求量是高，中，低，给出的主观概率分别为，。求在悲观准则，乐观准则，和先验期望准则下的最优行动。解：悲观准则下：首先行动匕，。2，。3的最小收益分别为-200，-800，-30,。然后选出其中最大的收益为-30，从而最优行动为％乐观准则下：首先行动ai，a2，%的最大收益分别为700，980，400,。然后选出其中最大的收益为980，从而最优行动为％。先验期望准则下：各行动的先验期望收益为。（血）=420+75—20^475Q（四）=588-150-80=358O^240+27—3^264从而最优行动为匕。

某水果店准备购进一批苹果投放市场，市场需求量和采购量都在500至2000公斤之间，八 「0.89-0.3%, 500<0<0.9a已知其收益函数为2（0皿）=〈 ，假设0的先验分布为〔0.34a, 0.9a<0<2000[500,2000]上的均匀分布，该店应购进多少苹果可使先验期望收益最大解：先验期望收益为解：先验期望收益为当a=1343时，先验期望达到最大，故应购进1343公斤苹果。13.设某决策问题的收益函数为Q（0,a土]18：200*]"1，若0服从（0,10）上的均匀分I-12+250,0=a[ 2布，（1） 求该决策问题的损失函数。（2） 在先验期望损失最小的原则下寻求最优行动。解：18+200=-12+250^0=6则在a和a处的损失函数为1 2则在a和a处的损失函数为12当0<6时，Q（0,a）>Q（0,则在a和a处的损失函数为1 2则在a和a处的损失函数为12L（0,a）=30-50当0>6时，Q（0,a）<Q（0,a）,L（0,a）=50-30L（0,a）=00服从（0,10）上的均匀分布L（a1）=f1010（50-30）d0=4L（a2）」6土（30-50）d0=9最优行动是a「14.一位卖花姑娘每晚购进鲜花第—天去卖，假设每束花的购进价格为1元，售价为6元，若当天卖不掉，因枯萎而不能再卖。根据经验天至少能卖5束鲜花，最多能卖10束鲜花。（1） 写出状态集和行动集。（2） 写出收益函数。（3） 在折中准则下，对乐观系数a的不同值，讨论卖花姑娘刖一天应购进几束鲜花为好。解：

(1)状态集。={5,6,7,8,9,10}，行动集A={5,6,7,8,9,10}(2)收益函数Q(0,Q(0,a)=60-a,5<0<aaaaaaa123456f252423222120)253029282726Q=253035343332253035403938253035404544<253035404550/收益矩阵（3）按折中准则:010203040506H（以）=以maxQ（0,a）+（1-以）minQ（0,a）

0即 0即H（以）=25H（以）=24+6以H（以）=23+12以'H（以）=22+18以H（以）=21+24以5H6（以）=20+30a当0<a<6时，选择匕，每天摘5朵鲜花当^<a<1时，选择气，每天摘10朵鲜花.15.在二行动决策问题中，收益函数为Q（15.在二行动决策问题中，收益函数为Q（0，a）=118+200,a=a2若0N（10,42），计算先验EVPI。nb-b解：0=-2 1—=6.0〜m-m0〜N(10,42),E(0)=10,m>m,最优行动为at=|m-m|=5,t=4,p=10,0=6D=00-可=1,L(d)=L(1)=0.083320T N0NEVPI=Ln(d「*t*t=0.