山东省青岛市第十一中学高三数学理期末试卷含解析

山东省青岛市第十一中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，“”是“函数在区间[a,b]上恰有一个零点”的________条件A.充分不必要

B.必要不充分

C.充分必要

D.非充分非必要参考答案：D2.已知集合，集合，若，则的值是（

）

参考答案：D3.设函数的导函数为,且,则(

)A.0

B.2

C.－4

D.－2参考答案：C因为，所以f′(x)=2x+2f′(1)，所以f′(1)=2+2f′(1)，所以f′(1)=－2，所以f′(x)=2x－4，所以f′(0)=－4，故选C.

4.设a＞0，b＞0．若是3a与3b的等比中项，则的最小值为(

)A．8 B．4 C．1 D．参考答案：B考点：基本不等式；等比数列的性质．专题：不等式的解法及应用．分析：由题设条件中的等比关系得出a+b=1，代入中，将其变为2+，利用基本不等式就可得出其最小值解答：解：因为3a?3b=3，所以a+b=1，，当且仅当即时“=”成立，故选择B．点评：本小题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查了变通能力．5.命题“”的否定是()A． B．C． D．参考答案：C6.设等比数列的公比，前n项和为，则（

）A.2

B.4

C.

D.参考答案：C7.已知定义在R上的连续可导函数f(x)无极值，且，若在上与函数f(x)的单调性相同，则实数m的取值范围是(

)A.(－∞,－2] B.[－2,+∞)C.(－∞,2] D.[－2,－1]参考答案：A【分析】根据连续可导且无极值，结合，判断出为单调递减函数.对求导后分离常数，利用三角函数的值域求得的取值范围.【详解】由于连续可导且无极值，故函数为单调函数.故可令，使成立，故，故为上的减函数.故在上为减函数.即在上恒成立，即，由于，故，，所以，故选A.【点睛】本小题主要考查函数的单调性与极值，考查利用导数求解不等式恒成立问题，属于中档题.8.已知数列{an}为等差数列，Sn为前n项和，公差为d，若﹣=100，则d的值为（）A． B． C．10 D．20参考答案：B【考点】等差数列的前n项和．【分析】由等差数列{an}可得：=d=n+为等差数列，即可得出．【解答】解：由等差数列{an}可得：=d=n+为等差数列，∵﹣=100，∴+﹣=100，∴10d=1，解得d=．故选：B．9.已知为抛物线上不同两点，且直线倾斜角为锐角，为抛物线焦点，若

则直线倾斜角为

A．

B.

C.

D.

参考答案：D10.已知的展开式中的系数为，则的值等于（

）A．

B．C．

D．参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知，则

.参考答案：【答案解析】解析：因为，得，所以.【思路点拨】可对已知条件展开整理，并注意所求式子与已知条件整理后的式子之间的整体关系，即可解答.12.某天，小赵、小张、小李、小刘四人一起到电影院看电影，他们到达电影院之后发现，当天正在放映A，B，C，D，E五部影片，于是他们商量一起看其中的一部影片：小赵说：只要不是B就行;小张说：B，C，D，E都行;小李说：我喜欢D，但是只要不是C就行;小刘说：除了E之外，其他的都可以．据此判断，他们四人可以共同看的影片为______________．参考答案：D小赵可以看的电影的集合为，小张可以看的电影的集合为，小李可以看的电影的集合为小刘可以看的电影的集合为，这四个集合的交集中只有元素D，故填D．13.已知S，A，B，C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，AS=AB=1，，则球O的表面积为

．参考答案：5π．【考点】球的体积和表面积．【分析】四面体S﹣ABC的外接球半径等于以长宽高分别SA，AB，BC三边长的长方体的外接球的半径，由此有求出球O的表面积．【解答】解：∵SA⊥平面ABC，AB⊥BC，∴四面体S﹣ABC的外接球半径等于以长宽高分别SA，AB，BC三边长的长方体的外接球的半径，∵SA=AB=1，BC=，∴2R==，即R=，∴球O的表面积S=4πR2=5π．故答案为：5π．14.（不等式选做题）如果关于的不等式的解集不是空集，则实数的取值范围是

。参考答案：略15.

。参考答案：16.设公比不为1的等比数列{an}满足a1a2a3=﹣，且a2，a4，a3成等差数列，则数列{an}的前4项和为．参考答案：

【考点】等比数列的前n项和．【分析】设等比数列{an}的公比为q，根据a2，a4，a3成等差数列，可得=a2+a2q，q≠1，解得q．再利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，∵a2，a4，a3成等差数列，∴2a4=a2+a3，∴=a2+a2q，化为：2q2﹣q﹣1=0，q≠1，解得q=﹣．∵，∴=﹣，解得a1=1．则数列{an}的前4项和==．故答案为：．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.已知函数的部分图象如图所示，则点的坐标为________________；

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知数列中，，当时，.(1)求数列的通项公式.(2)设,数列前项的和为,求证:.参考答案：数列19.（本题共13分）已知曲线，是曲线C上的点，且满足，一列点在x轴上，且是坐标原点）是以为直角顶点的等腰直角三角形．（Ⅰ）求、的坐标；（Ⅱ）求数列的通项公式；（Ⅲ）令，是否存在正整数N，当n≥N时，都有，若存在，求出N的最小值并证明；若不存在，说明理由．参考答案：解：（Ⅰ）?B0A1B1是以A1为直角顶点的等腰直角三角形，

直线B0A1的方程为y=x．

由

得，即点A1的坐标为（2，2），进而得．…..3分（Ⅱ）根据和分别是以和为直角顶点的等腰直角三角形可

得

，即

．（*）…………..5分

和均在曲线上，，

，代入（*）式得，

，

………..7分

数列是以为首项，2为公差的等差数列，

其通项公式为()．……………....8分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，，

，

……………………9分

，．

=

=．….……………..…………10分．……….11分（方法一）-=．当n=1时不符合题意，

当n=2时，符合题意，

猜想对于一切大于或等于2的自然数，都有．（）

观察知，欲证（）式，只需证明当n≥2时，n+1<2n

以下用数学归纳法证明如下：(1)当n=2时，左边=3，右边=4，左边<右边；(2)假设n=k（k≥2）时，(k+1)<2k,当n=k+1时，左边=（k+1）+1<2k+1<2k+2k=2k+1=右边,对于一切大于或等于2的正整数，都有n+1<2n，即<成立．

综上，满足题意的n的最小值为2.

……………..13分

（方法二）欲证成立，只需证明当n≥2时，n+1<2n．

，

并且，

当时，.20.（本题14分，第(1)小题6分，第(2)小题8分）

已知数列，记,,,，并且对于任意，恒有成立．（1）若，且对任意，三个数组成等差数列，求数列的通项公式；（2）证明：数列是公比为的等比数列的充分必要条件是：对任意，三个数组成公比为的等比数列．参考答案：解：（1），所以为等差数列。

（2）（必要性）若数列是公比为q的等比数列，则，，所以A(n)、B(n)、C(n)组成公比为q的等比数列。（充分性）：若对于任意，三个数组成公比为的等比数列，则，于是得即

由有即，从而.因为，所以，故数列是首项为，公比为的等比数列。

综上，数列是公比为q的等比数列的充要条件是对任意的，都有A(n)、B(n)、C(n)组成公比为q的等比数列。略21.等边三角形ABC的边长为3，点D、E分别是边AB、AC上的点，且满足（如图1）．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使二面角A1-DE-B成直二面角，连结A1B、A1C（如图2）．（Ⅰ）求证：A1D⊥平面BCED；（Ⅱ）在线段BC上是否存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60°?若存在，求出PB的长，若不存在，请说明理由．参考答案：证明：（1）因为等边△的边长为3，且，所以，．在△中，，由余弦定理得．因为，所以．折叠后有．因为二面角是直二面角，所以平面平面．又平面平面，平面，，所以平面．（2）解法1：假设在线段上存在点，使直线与平面所成的角为．如图，作于点，连结、．由（1）有平面，而平面，所以．又，所以平面．所以是直线与平面所成的角．设，则，．在△中，，所以．在△中，，．由，得．解得，满足，符合题意．所以在线段上存在点，使直线与平面所成的角为，此时．解法2：由（1）的证明，可知，平面．以为坐标原点，以射线、、分别为轴、轴、轴的正半轴，建立空间直角坐标系如图．设，则，，．所以，，．所以．因为平面，所以平面的一个法向量为．因为直线与平面所成的角为，所以，解得．即，满足，符合题意．所以在线段上存在点，使直线与平面所成的角为，此时．22.如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∠BAC=90°，AB=2，AC=6，点D在线段BB1上，且BD=，A1C∩AC1=E．（Ⅰ）求证：直线DE与平面ABC不平行；（Ⅱ）设平面ADC1与平面ABC所成的锐二面角为θ，若cosθ=，求AA1的长；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设平面ADC1∩平面ABC=l，求直线l与DE所成的角的余弦值．参考答案：【考点】与二面角有关的立体几何综合题．【分析】（Ⅰ）建立坐标系，求出=（﹣2，3，），平面ABC的法向量为，可得，即可证明直线DE与平面ABC不平行；（Ⅱ）求出平面ADC1的法向量，利用平面ADC1与平面ABC所成的锐二面角为θ，cosθ=，建立方程，即可求得结论．（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求出直线l与DE的方向向量，代入向量夹角公式，可得