1990年全国卷高考理科数学真题及答案

CC1990全国卷高理科数学题及答案一选择题（共15小题，小题4分满60分1分方程=的是（）A．

x=

B．

x=

CD．x=92复数对应的量按顺时针方旋转

所到的向量对应复数

）A．B．C．Di3分如果底面径和高相等的柱的侧面积是，那圆柱的体积等（）A．B．C．D4分方程sin2x=sinx在区0，2π内的解的个数（）A．1B．3D5分已知如图函数y=2sin（φ＜）图象，那么（）A．

，φ=

B．

，﹣

，

D．

，﹣6分函数

的域是（）A．{﹣2，4}B﹣2，4}C．{﹣2，0，2，4}D﹣4，﹣2，04}7分如果直线与线y=3x关于直线y=x对，那么（）A．B．a=，b=6a=，b=

C．a=3﹣2D．a=3，b=68分极坐标方4sinθ=5ρ表示的曲是（）

A．圆B椭C．双线的一支D抛物9分设全集I={（x，y）|x∈R}，集合M={）|

=1}，N=（x，y）|y≠x+1．那么A．

等（）B（2，3）}

C．（2，3（x10分•德市模拟）若数x、y足x+2）+y=3，则的最值为（）A．B．C．D11分如图正棱锥SABC的棱与底面边长等如分为SC的点，那异面直线EF与SA所的角等（）A．90°BCD12分已知h＞0设题甲为：两个数a，b足a﹣b|＜2h；命题为：个实数a满足﹣1|＜h且b﹣1|＜h那么（）A．甲是乙充分条件，但是乙的必要条B．甲是乙必要条件，但是乙的充分条C．甲是乙充分条件D．甲不是的充分条件，不是乙的必要件13分A，B，C，E人并站成一排，如B必须在A的右边A，B可不相邻么同的排法共有）A．24种B．60种C．90D．120种14分以一个方体的顶点为点的四面体共（）A．70个B．64个C．58D个15分设函数y=arctgx图象沿轴正向平移个位所得到的图为C．设图象C'C关原点对称，那C'所应的数是（）A﹣arctg（x﹣B（x．y=﹣arctgD．y=arctg（x+22）（x+2二填空题（共5小题，每小题5，满分25分

16分双曲线

的线方程是_________．17分﹣1）（x﹣1+（x﹣1）﹣（x﹣1（x）的展式中，x

的数等_________．18分•海模拟）已知{a是公差不为的等差数列，果s是}的前n项的，那么

等_________．19分函数y=sinxcosx+sinx+cosx的大值是_________．20分）图，三棱柱﹣AC，若E分为AB、AC的中点，平面EBC三棱分成体积为V、V的部分，么V：V_________．三解答题（共6小题，满分65分）21分有四个数，其前三个数成等数列，后三个成等比数列，且第一个数与第个数的和是16第二个数与第个数的和是12求这个数．22分已知sina+sinB=，cosa+cosB=，tg（a+B的值．23分如图，在三棱中SA⊥面ABC，AB⊥BC．DE垂直平分SC，且分别交AC、SC于D．，SB=BC．以BD棱，以BDE与BDC为的二面角的度．24分设a为数，在复数集中方程：z．

25分设椭圆的中心坐标原点，长在轴上离率e=

，知点P）到个椭圆上的点远距离是点坐标．

这个椭的方程求圆上到点P的离等于

的26分（x）=lg

，中a是数，是任意然数且n≥2．（）如果f（x）∈﹣∞，1]有意义，求a的取值范围；（）如果a∈（0，1]，明2f（x＜f（2x）当x≠0时立．参考案一选择题（共15小题，小题4分满60分1．考：对的算性质；数式与对数式互化．分：解：点：

根指数式与对数的互化可知，解∵∴∴故．本主要考查指数与对数式的相转化．

，而得到答案．2．考：复代数形式的混运算．分：

把数1+i乘cos﹣）+isin﹣简为代形式即可．解：

解复数对应向量按顺时针向旋转向）[cos﹣）+isin﹣故．

所到的）]=（1+i），点：

复旋转，实际上数乘以一个模1的角为﹣本是基础题．

复三角形式，注旋转方向，3．考：旋体（圆、圆锥、圆台

专：计题．分：设柱高为h推出底面半，求出圆柱的侧积，然后求出柱的体积即可到选项．解：

解设圆柱高为h，底面半径为．由意知，S=，∴h=，∴V=（）•h=．故．点：本是基础，考查圆柱的面积、体积的算及其关系，查计算能力，考题型．4．考：正弦数的图象；数（ωx+φ）的象变．专：计算．分：

通二倍角公式化的2sinxcosx=sinx，而推断sinx=0或cosx=，进而求出x的值．解：解：sin2x=2sinxcosx=sinx或cosx=∵x（0，2）∴x=或故C

或点：本题要考查了三函数的二倍角式．属基础题5．考：由（φ的部图象确定其解式．专：计题；数形结合．分：

由象过（0，1）|φ|＜，求出ψ的值函数图象过点ω+=2π，求出ω

，0五法作的过程知解：

解因为函数图象0，1以1=2sin，φ=，∵|φ|＜

，∴，函数y=2sin（ωx+

∵函图象过点（

，0∴0=2sin（•

+

五点作图的过程知ω•

+

=2，∴ω=2，上，φ=故．

，ω=2，点：本考查五点法作的方法，在本图中的一个完的标准周期内图象上的五个键点的横坐标

分为：，，，，2．6．考：函的值域；三角数的化简求值专：计题；分类讨论分：根正切和余切的义求出函数的义域，分四种况由三角函数的符号，去掉对值求解．解：

解由题意知，函的定义域{≠，k∈Z}下由各个象限三角函数值的号来确定在个象限中函数值当x是第象限角，因所有三角数值大于零，；当x是第象限角，因为只有正值大于零，故y=1﹣1﹣1﹣1=；当x是第象限角，因为正切值余切值大于零故y=﹣1﹣1+1+1=0；当x是第象限角，因为只有余值大于零，故y=﹣2；所函数的值域是{﹣2，0，4}．故．点：本主要考查了三函数的定义以符号，根据定求出函数的定域，由三角函值的符号进化简求值．7．考：反数．分：本考查对为反函数的两函数图象之间关系、反函数求法等相关知；本可有两种方法其一，求出y=ax+2的反数其与y=3x﹣b的应系相等获得，其由互为反函数象上的点之间对称关系，通在图象上取特点求解．解：解法：由题意，函y=3x﹣b反数为

，与y=ax+2对可得a=，b=6法：在y=ax+2上点（，2则（，0在y=3x﹣b上故得；又﹣6上点0，点﹣6，0在y=ax+2上代入a=，由可得a=，b=6答：a=，b=6点：本解题思清晰，方向明，运算量也小属于容易题目这里提供了两方法，比较可各有特，直接求反函过程简捷，较简单，特值代，小巧易行，程稍繁．8．考简单曲线的坐标方程．分先在极坐标程4sinρ两边同乘以ρ再利用直角坐与极坐标间的系，即利用ρcos，ρsinθ=y，=x+y，行代换即得直坐标系，再利直角坐标方程可进行判断．

解解：将方程4sinθ=5两边都乘以p得：ρsinρ，化直角坐标方程5x+5y﹣4y=0它示一个圆．故．点本题考查点极坐标和直角标的互化，能极坐标系中用坐标刻画点的置，体在极坐标系和面直角坐标系刻画点的位置区别，能进行坐标和直角坐的互化．9．考：交并、补的混合运算．分：先简集合M再计算．解：解∵M={（x，y）|y=x+1或（x，y≠，3）}，∴，又．∴．故案选B点：本主要考了集合间的交并，补混合运，注意弄清各合中的元素．10．考：简单性规划．专：计算．分：

先断出方程表示图形，再给赋几何意义，作图象，结合图断出当直线与相切时斜率最求出最大值．解：解）=3，表示以（﹣2，0为圆心，以

为径的圆表圆上的点与（0，0）连的斜，设为k则y=kx由知，当过原点直线与圆相切斜率最大故由知，故A

解

或点：本题查圆的标准方、两点连线斜公式的形式、形结合求最值

11．考异直线及所成的角．专计题；压题．分先过平移两条异面直线移到同一个起AC的中，到的锐角或直就是异面直线成的角，再用余弦定理求此角即可．解解如图，AC的点D，连接DE、DF，∠DEF为异面直线EF与SA所的设长为2则DE=1，根据SA，ED⊥DF∴∠DEF=45°，故．点本题主要查异面直线所的角，考查空想象能力、运能力和推理论证力，属于基题．12．考：必条件、分条件与充要件的判断．分：巧运用绝值不等|a|+|b|≥|a+b|必、充分条件，以解答本题．解：解由a﹣1|且b﹣1|＜h得a﹣b|=|a﹣1+1﹣b|＜2h所以甲是乙的必条件；不令h=1，a=0.5，b=﹣0.3＜1，而|b﹣1|=1.3，而甲不是乙的分条件．故B点：|a|+|b|≥|a+b|的理运用以及巧妙运用|﹣1|+|1的用，解答甲是乙的要条件的一关键；充分条的推导用的是殊值否定法．13．考：排、组合实际应用．专：转思想．分：根题意，先计算五人并站成一排的情数目，进而分可得站在A的左边站的右是等可能的，用倍分法，计可得答案．解：解根据题，使用倍分法五并排站成一排有A

种况，而中B站的左与B站A的右边是等可能，则情况数目是相的，则B站在A的右边的情况数为×A故．

=60，点：本考查排、组合的应用注意使用倍分时，注意必须证其各种情况等可能的．

14．考：棱的结构征．专：压题；分讨论．分：以个正方的顶点为顶点任意选4个除在同一个平面的点，可得四体的个数．解：解正方体8个顶中任4个有C

=70个不组成四面体的4个顶点，已的6个，对面有6个所以一个正方体顶点为顶点的面体共有70﹣12=58故．点：本考查棱的结构特征，查逻辑思维能，是中档题．15．考：函的图象图象变化．专：压题．分：根平移变和对称变换引的解析式变化律依次求出C、C'对的解析式可．解：解将函数的图象x轴方向平移2个位所得到的图为C则C对应解析式y=arctg（x﹣2又图象与关原点对称则C'应的解析式y=（﹣x﹣2）=arctg）故D点：平变换的决是“左加右，上加下减”对变换的口决是关于Y轴负里，关于轴负面，关于原点既负里面，又外面”二填空题（共5小题，每小题5，满分25分16．考：双线的简单性质专：计题．分：

由点在y的双线的准线方程式

进求解．解：解∵a=4，b=3，则，双线

的线方程是

，故案是

．点：本比较简单，解时要注意双曲线焦点在y轴．17．考二项式定理应用．专计算题．分多项式展开的含x项系数等于各个项式展开式的数和，利用二展开式的通项式求出各个数．解解：展开式含x项系数为1﹣C﹣C﹣C=﹣3﹣10=﹣20

故案为20点本题考查等转化能力及二展开式的通项式的应用．18．考等差数列的质；极限及其运；等差数列的n项．分：设a=a+（n﹣1）d，s+d，入求极即可．解：解设a=a+（n﹣1）d，s=na+d代得===2故案为2点考查学生运等差数列性质的力，运用等差列求和公式的力，会求极限运算极限的能．19．考三函数的值．专计题；压题．分利sinx与的方关，令sinx+cosx=t，过换元，三角函数转化二次数，求对称轴，利用次函数的单调求出最值．解：解令t=sinx+cosx=∴sinxcosx=

则∴y=对轴﹣1

=（）∴故案为

时y有大值点本考查三函数中利用平关系sinx+cosx与2sinxcosx两是可以相互转的、二次函数最的求法．20．考：棱、棱锥棱台的体积．专：计题；压题．分：设AEF面为，ABC和ABC的面为s，棱柱高位h；V

=V；V=V；总体积为V，根棱台体积公式V；V=V﹣V以面积关系，求体积之比．解：解由题：AEF面为s，ABC和ABC的积为s三棱柱高位h；V

=V；

V=V；总体积为V计体积：Vh（s+s+

）V=sh②V=V﹣V③由意可知，=④根①②③④解方可得V=sh，V=sh；则故案为：点：本考查棱、棱锥、棱台体积，考查计能力，转化思，考查空间想能力，是基础．三解答题（共6小题，满分65分）21．考数列的应用专计算题．分设四个数依为x，12﹣y，16﹣x．根据差数列和等比列的性质知，此能求出这四数．解解：设四个依次为x，y﹣y，16﹣x．依意，有由式得﹣12③将式代入②式得y（16﹣3y+12）=）2，整得y﹣13y+36=0．解y=4，y=9．代③式得x=0=15．从得所求四个数0，4，1615，9，3，1．点本题考查数的性质和应用，题时要注意公的合理运用．22．考两和与差正弦函数；同三角函数基本系的运用．分：和化积，两已知式出现相同的式，两式相除约分得即的结果，注意倍角公式的符．解解一：由知得sinα+sincos=，

角正切，用二倍公式代入

cos两相除得tan=，tanα+β）=

，=点数课本中见的三角函数等式的变换，是重点，又是点．其主要难三角公式多，难忆，角度变化函数名称变化运算符号复杂难掌握，解题抓住题目本质熟公式，才不会错．23．考平与平面间的位置关系专计题．分欲BD⊥DE⊥DC先证BD⊥面SAC从得到∠EDC是所求的二角的平面角，用Rt△SAC与Rt△EDC相似求EDC可．解解由于SB=BC，且是SC的中点，此是等腰角形SBC的边SC的线，所以SC⊥BE．又知⊥DE，BE∩DE=E，∴SC面BDE∴SC⊥BD．又SA⊥底ABC，BD在底面ABC上∴SA⊥BD．而SC∩SA=S∴BD面SAC∵DE=SAC∩面BDE，DC=面∩BDC，∴BD⊥DE，BD．∴∠EDC是求的二面角的面角．∵SA底面ABC，⊥AB，SA⊥AC设，AB=a，BC=SB=a∵AB⊥BC，∴AC=

，eq\o\ac(△,Rt)SAC∠ACS=∴∠ACS=30°．又知⊥SC，所∠EDC=60°，所求的二面角于60°

点本主要考了平面与平面间的位置关系考查空间想象力、运算能力和理论证能力属基础题．24．考：复的基本念；复数相等充要条件．专：压题；分讨论．分：由z=a﹣2|z|为实，故z为纯虚或实，因而需分情进行讨论．当z是实时，本是一个关z的元二次程组，解方程即可；当是个纯虚数时，照实数方程求得到z的虚部写纯虚数即可．解：解设z|=r若a，则z=a＜0于是z为虚数，从而r=2r﹣a．由z=a﹣2|z|为数，故z为纯数或实数，因需分情况进行论．解（r=＜0不合，舍去z=±（）i若a，r作如讨论：（1若r≤a，z=a≥0于是为实数解程r=a﹣2r，r=

（r=＜0不合，舍去故z=±（（2若r＞a，z=a＜0于是为纯虚．解程r，r=

或r=（a≤1故z=±（

）i（a≤1综所述，原方程解的情况如下当a＜0时解为：z=±（当0时，解z=±

）i（）i当a＞1时解为：z=±（点：本还可以z=x+yi（x∈R）代原方程后，由数相等的条件复数方程化归关于xy的系数的二元方组来求解．25．考椭的应用专计题；压题．分：由设条件取椭圆参数方程，其中0θ＜2，根据已知条和椭圆的性质够推出b=1，a=2．而求这个椭圆的方和椭圆上到点P的离于的点的坐．解：解根据题设条件可取椭圆的参方程是，中0≤＜2π由

可，即a=2b．

设圆上的点x）到点距为d，====

．如

，

，当sin﹣1，

有大值，由题设

，由得

，

矛．因必有

成，于是当

时d有