(易错题)高中数学高中数学选修4第一章《不等关系与基本不等式》检测题(答案解析)

．．．．一、选题1．不等式

恒成立，则a的值围是（）A．

B．

(

．

）2．已知实数，，满

ca

，

，那么下列选项中正确的是（）A．

ab

B．

C．ab

2

cb

2

．

ac

3．已知，y，x

，则（）A．

x

B．

1()2

y

C．

x

12

y

12

．

xy4．下列三个不等式中（）①

a,,ba;x2x0)③adbx

恒成立的个数为（）A．

3

B．2

C．

．05．已知

，则下列不等式正确的是（）A．

B．

3

C．

lglg

．

lglg6．若

则下列不等关系中，不能成立的是（）A．

B．

1aa

C．

233

．a

2

27．不等式

|

无实数解，则的值范围是(A．C．

((

B．．

((8．下列命题中错误的是（）A．若

a

，则

B．

则bC．a，2

a

2

b

．，则ac

2

bc

29．不等式

x

的解集是A．C．

B．．

10．知，

，且，则下列不等式恒成立的是（）A．

2

2

B．

lg(a

C．

1()a)2

b

．

11．x是x

成立的)A．充分不必要条件

B．要不充分条件

n4an4aC．要条件

．非充分又非必要条件12．数

,

满足

，则下列不等式成立的是（）A．

ab

B．

13

C．

aD．a

二、填题13．adbc，

__________

.（“≥”、≤、、其一填入）14．知平面向量a，，

满足a，b，

c)

，则|

的最大值为___________．15．

f(k)(1)(2)

f(n

，则函数

g(x

的最小值为k__________．

k16．

1a

有下列四个不等①

3

3

；

loga

；③b；ab.则下列组合中全部正确的__________．对任意实数，不等式|x＋－|x－3|＞恒立，则的取值范围________18．知，数

fx)

16x

在区间[上的最大值为10，a的取值范围是_____．19．x，为数，满

3xy

，

xy

，则的小值是_____.20．

2,b，则

(

的最小值为_______.三、解题21．知函数

f()

2

（），解关于的等式

f()0

；（）不等式

f()

对于任意

恒成立，求实数的值范围22．函数

f

，其中

（）不等式

f

的解集是

x的；（）（）的条件下，若不等式

f

的解集非空，求实数k的值范围23．1）知a＜＜，且a+b=0证明：

aab

．（）分析法明：a＜a．24．知m，关于x的等式（）m的值；

的解为

xtaxta（），均正实数，且满足

a求a的最小值25．知函数

fmm

.（）

时，求不等式

f

x

的解集；（）于任意数，等式

f

恒成立，求实数的值范围26．函数

f

．（）不等式

f

；（）存在

3,12

使不等式

成立，求实数

a

的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要除一选题1．解析：【分析】利用绝对值三角不等式求得而可解得实数的值范围【详解】

的最小值，由此可得出关于实数不等式，进由绝对值三角不等式可得

x

，当

时等号成立，由于不等式

2a

a

恒成立，则a，解得

a

.因此，实数a的值围是

.故选：【点睛】本题考查利用绝对值不等式恒成立求参数，考查了绝对值三角不等式的应用，考查计算能力，属于中等题2．A解析：【分析】根据不等式的性质推理即可得.【详解】，ac0，c，a0

，

ac.故选：【点睛】本题考查不等式与不等关系，解题关键是熟练掌握不等式的性质，属于基础3．B解析：【分析】取特殊值排除选项，由指数函数y的调证明不等式，即可得出正确答.【详解】当

xy

12

时，

x

，则A错误；在R上调递减，，

1())2

y

，则B正确；当

4,y

时，

x

y

，则C错误；当

x

时sinx22

，则错；故选：【点睛】本题主要考查了由条件判断不等式是否成立，属于中档.4．B解析：【分析】利用作差法可判①利用基本不等式可判②根据不等式的性质及作差法可判③.【详解】解：对①，，

，

，

可知，

aaa)m0bb(b

可知

amab

恒成立，①正；对于，x时

3x

3，当且仅当即x时等号，x当时

x

，当且仅当

3

即3时等号，故错；对于，

ab0,d根据正数不等式的同向可乘性得

abadcbcb0cdcd

，故正

233233故正确的有③故选：【点睛】本题主要考查了基本不等式的成立条件的判断及不等式的性质等知识的简单应用，属于基础试题5．C解析：【分析】考虑到CD中等号方向，先研究C，中否有一个正确。构造函数

ylgx

是增函数，可得当

时，有

algb

,所

lglgb

作差W=lgblg，lg，lga可类，lg和lg【详解】令

ylg

，显然单调递增，所以当

a0

时，有

algb

,所以lglgb

另一方面因为

lga

所以W=lgblglg

，当

lga

时，Walgaaab0，lg

时，W=a+-ba+-(blglg∴，正确。

（由

ylg

递增可得），故选：。【点睛】本题考查判断不等式是否成立，考查对数函数的性质。对于不等式是否成立，有时可用排除法，即用特例，说明不等式不成立，从而排除此选项，一直到只剩下一个正确选项为止。象本题中有两个选项结论几乎相反（或就是相反结论时），可考虑先判断这两个不等式中是否有一个为真。如果这两个都为假，再考虑两个选项。6．B解析：【分析】根据不等式的性质，利用作差比较和幂函数的单调性，逐项判定，即可求.【详解】由题意知，

a

，则

ab0,ab对于中因为

11，所以，所以是确的；ab对于中，因为

1a(a)

，所以，所以B不正确；a对于C中因为幂函数f

在

(

单调递减函数，所以，以C正确；对于D

中，因为a)(a

，所以

2

2

，所以正确；故选【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质，以及幂函数的单调性的应用，其中解答中熟练应用作差比较法，以及幂函数的单调性，进行比较是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题7．C解析：【分析】利用绝对值不等式的性质

|a|b||

，因此得出

|a|b

的范围，再根据无实数解得出a的围．【详解】解：由绝对值不等式的性质可得，||x

|)|

，即

|

.因为

|

无实数解所以

a

，故选．【点睛】本题考查了绝对值不等式的性质，利用绝对值不等式的性质解出变量的范围是解决问题的关键．8．D解析：【分析】根据不等式的性质、对数函数和指数函数的单调性，对选项逐一分析，由此得出正确选.【详解】对于选，根据等式传递性可知A选命正对于B选，由于

ylnx

在定义域上为增函数，故选正确.对C选，由于

y

x

在定义域上为增函数，故C选正确对选，当

c

时，命题错误故【点睛】本小题主要考查不等式的性质，考查指数函数和对数函数的单调性，属于基础.9．B解析：【分析】利用绝对值三角不等式，得到【详解】

x

，恒成.xx

ab为减函数，当时ab为减函数，当时x

恒成立故答案选【点睛】本题考查了解绝对值不等式，利用绝对值三角不等式简化了运.10．解析：【解析】【分析】利用不等式的性质和函数的单调性，通过特值排除，对四个选项逐一进行分析即可得到答案【详解】对于A

，令

，0

2

0，

，满足

，但不满足

2

2

，故排除对于B，令

a0,blg

，故排除对于C

，故C恒立对于D，

a0,b

，

ab

，故排除故选

C【点睛】本题主要考查了简单的函数恒成立问题，可以根据不等式的性质和函数的单调性，通过特值排除，属于基础题。11．解析：【解析】分析：先化简和详解：因为，以2≤x≤2.

，再利用充要条件的定义判断因为

x

，所以1≤x+1，所2≤0.因为2≤2成，-2≤x不定成立，所以x

成立的非充分条.因为2≤0成，-2≤x一成立，所以

x

是

x

成立的必要条件所以x是x

成立的必要不充分条.故答案为：点睛：1）题主要考查解绝对值不等式和充要条件的判断，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力(2)判充要条件常用的方法定义法、集合法和转化.12．解析：

【解析】分析：根据题意，由不等式的性质依次分析选项，综合即可得答案．详解：根据题意，依次分析选项：对于

a2,b

时，

成立，故错；对于、

a2,b

时，有

13

成立，故错；对于、

a2,b

，有

成立，故D错误；故选：．点睛：本题考查不等式的性质，对于错误的结论举出反例即可．二、填题13．＞【分析】作差分析差的正负即可求解【详解】因为又所以所以故答案为：>【点睛】本题主要考查了比较法判断两个式子的大小考查了运算能力属于中档题解析：【分析】作差，分析差的正负即可求解【详解】因为

22cacbd

d

(bc)2

，又

所以

(bcad

所以

2

2

2

，故答案为：【点睛】本题主要考查了比较法判断两个式子的大小，考查了运算能力，属于中档.14．【分析】只有不等号左边有当为定值时相当于存在的一个方向使得不等式成立适当选取使不等号左边得到最小值且这个最大值不大于右边【详解】当为定值时当且仅当与同向时取最小值此时所以因为所以所以所以当且仅当且与解析：2【分析】只有不等号左边有c，定值时，相当于存在c一个方向使得不等式成立．

适当选取c使不等号左边得到最小值，且这个最大不大于右边．【详解】当c定值时，|c)|

当且仅当c与a

同向时取最小值，此时||a|

，所以c|

aa

．因为|||，所以(a)a)2()，所以(|a|)

2

)

2

)

2

||a2[(a)

2

)

2

]所以|a2，且仅当a且与a同向时取等号．故答案为【点睛】本题考察平面向量的最值问题，需要用到转化思想、基本不等式等，综合性很强，属于中档题．15．【分析】利用求解【详解】当时等号成立故答案为4【点睛】本题主要考查绝对值不等式求最值意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力解析：【分析】利用

|xx|xxxx

求解.【详解】(x)=||+|x|+|x|+||x|xx4)|x4

，当

2

时，等号成.故答案为4【点睛】本题主要考查绝对值不等式求最值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力16．③分析】由条件可知利用作差或是不等式的性质或是代特殊值判断不等式是否正确【详解】则正确故①确；但不确定和的大小关系所以的正负不确定故②不正确；即故正确；当时当时故不正确；故答案为：③【点解析：③【分析】由条件可知确【详解】

ba0

，利用作差，或是不等式的性质，或是代特殊值，判断不等式是否正1a

，则a

3

3

正确，正；

33223322log

a

b

loglogloglog33

，log

，但不确定和的小关系，所以log正确；3b，baaaba

，即ba，故正；当

a

时，a33当

ab

时，aab0故不确；故答案为：③【点睛】方法点睛：利不等式的性质判断，把要判断的结论和不等式的性质联系起来考虑，先找到与结论相近的性质，再判.作（或作商）比较法，先作差（商），变整理，判断符号（或与比），最后判断大小；特值验证的方法，运用赋值法排除选.17．【分析】令求出即可得出k的取值范围【详解】设当时则即故答案为：【点睛】本题主要考查了求绝对值不等式中参数的范围属于中档题解析：

【分析】令

fx)xx

，求出fx)

，即可得出k的取范.min【详解】设

5,f()x|x|

当

x

时，

fx

，则

f(x)

min即故答案为：

【点睛】本题主要考查了求绝对值不等式中参数的范围，属于中档.18．【分析】结合基本不等式及定义域可求得对分类讨论结合最大值为10即可由最值求得a的取值范围【详解】当由打勾函数性质可知当时函数可化为则由所以当时恒成立；当时即所以当时满足最大值为解得即；当时函数可解析：

【分析】

16xxxmnxx16xxxmnxxmxx2结合基本不等式及定义域可求得

x

16x

，对分讨论，结合最大值为即由最值求得a的取值围.【详解】当[2,5]，打勾函数性质可知

x

16x

，当

a

时，函数可化为

f()

16x

，则由

xx

，所以当

时恒成立；当

时，

f)10

，即

f()

，所以当10

时，满足最大值为10，解得

，即

；当时函数可化为

f(x

，所以最大值为a

，解得

a

，（舍）；综上所述，的取值范围为

a

.故答案为：

.【点睛】本题考查了含绝对值不等式的解法，由基本不等式及定义域确定函数的值域，分类讨论思想的综合应用，属于中档.19．【分析】利用方程组形式可得求得后结合不等式性质即可求得的最小值【详解】设即所以解得所以因为所以由不等式性质可知即当且仅当时取等号解得综上可知的最小值为故答案为：【点睛】本题考查了不等式的化简变形应用解析：

【分析】利用方程组形式，可得

yy

，求得后合不等式性质即可求得的3最小值【详解】设

yy

即xm所以，得

m所以

yy

11y311y3因为

3

，

4

xy

，所以

由不等式性质可知

2

2xy即，且仅当1综上可知，的最小值为.21故答案为：.2

时取等号，解得

4x,y5

.【点睛】本题考查了不等式的化简变形应用，不等式性质求最值，关键是要求出两个不等式间的关系，属于中档题20．【分析】根据题意对进行换元然后利用基本不等式的推广公式求解出目标的最小值【详解】解：令即所以当且仅当即即当时等号成立【点睛】本题考查了基本不等式推广公式的使用运用基本不等式推广公式时一定要注意题意解析：【分析】根据题意对【详解】

进行换元，然后利用基本不等式的推广公式求解出目标的最小值．解：令

a

，a

，即

t

，所以a

11t(ab

，当且仅当

tm

1tm

，即

(2)(

，即当

时等号成立【点睛】本题考查了基本不等式推广公式的使用，运用基本不等式推广公式时，一定要注意题意是

2222否满足一、二定、三相等的件．三、解题21．1）

；（）

【分析】（）fxx

，讨论x和两情况，解不等式得到.（）|x

恒成立，讨论x

，

x

，

x

三种情况，分别解不等式得到答案【详解】（），fx)

2

x

，当x3

时，

fx

，解得

3

，故无解；当时

fx

，解得

x故x

.综上所述：不等式解集为

.（）等式

f(x)

对于任意恒立，即

2|x

恒成立当x，成立；当时

，即

a，a；当时a.

综上所述：

a

.【点睛】本题考查了解不等式，不等式恒成立问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能.22．1）；（）

.【分析】；（）解决对不等式得a故

3a2

，再根据题意得

a且3

，（）问题转为函数【详解】

ykx

的图象有交点问题，再数形结合求解即.（）为

fa

，

a即即

2a2，，3aa22因为其解集为

x

所以

3a且32

，解得：

a满足；故

a

（）（）知

f

，不等式

f

的解集非空，即不等式

f

有解，即为

2x

有解.作出函数

的图象，由图象可得

k.则有k的值范围为

.【点睛】本题考查绝对值不等式，考查数形结合思想与运算求解能力，是中档本第二问的解题关键在于根据题意将问题转化为函数

y2，

的图象有交点问题，进而数形结合求解23．1）明见解析（）证明见解析【分析】（）题意得a，且a-＜c0，证明

11aa＜，可得出＜；ba（）用分析证明命题成立的基本步骤是：要…，只需，证，然成立．【详解】证明：1）＜bc且+b，所以a＜，-＜c0，

＜，xt＜，xt所以（）（b）0所以

b即

a＜；所以＞，＜．abaa（）证a＜a，只需证+＜aa，即证a+（-3）

a

＜（）（-2）

；即证

＜

，即证a（-3＜（-1）a-2）即证2，然成立；所以aa＜a-a．【点睛】本题考查了不等式的证明问题，也考查了综合法与分析法的应用问题，是基础题．24．1）2（）【分析】（）绝对值等式得到

，对比解集得到答案（）接利用值不等式计算得到答.【详解】（）m1，不等式

得

，

x

，因为解集为

.（）

，

2

2

ab

，故

，且仅当

时，等号成立，故

2

2

的最小值为2.【点睛】本题考查了绝对值不等式，均值不等式求最值，意在考查学生的计算能力和应用能.25．1）

{

；（）

0m

65【分析】（）

时，

23f()x2x根据f()2x

，由或或求.