第39课 几何应用性问题

第39课几何应用性问题基础知识题型分类要点梳理题型一有关长度、周长和面积、容积

的问题助学微博基础自测题型二解直角三角形的应用题型三利用三角函数进行图形计算题型四几何图形设计易错警示27.证明三角形相似缺乏条理要点梳理几何应用题的形式有长度、面积、体积、角度以及三角函数的计算，还有方案设计等．基本解法：先根据题目已知条件准确画出图形，把生活情景的问题转化为数学问题，再运用几何计算中的一些基本方法予以解决．首页助学微博几何应用题的解题策略首先要阅读材料，理解题意，找到考查的主要内容和知识点，揭示实际问题的数学本质，把实际问题转化成数学问题．几何应用性问题的解题策略是：将实际问题几何化(从实际问题中抽象出基本几何图形)，解题时需要画出图形，在图形中标出已知线段长和角的度数等，注意几何与代数的联系，及数学思想方法的综合运用．首页助学微博用代数方法解几何应用题几何求值问题，当未知量不能直接求出时，一般需设出未知数，继而建立方程(组)，用解方程(组)的方法去求结果，这是解题中常见的具有导向作用的一种思想．首页基础自测1．(2013·北京)如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B、C、D，使得AB⊥BC，CD

⊥BC，点E在BC上，并且点A、E、D在同一条直线上．若测得BE＝20m，EC＝10m，CD＝20m，则河的宽度AB等于()A.60mB.40mC.30mD.20m解析由△EDC∽△EAB，解得：AB＝40(m)．故选B.B首页基础自测2．(2013·绵阳)如图，要拧开一个边长为a＝6cm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为()解析画出正六边形，如图，通过计算可知，故选C.C首页基础自测3．(2013·山西)如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道(B、C在同一水平面上)，为了测量B、C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，垂直上升100m到达A处，在A处观察B地的俯角为30°，则BC两地之间的距离为()解析依题意得：在Rt△ABC中，AC＝100，∠ABC＝30°，故选A.A首页基础自测4．(2013·柳州)小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长BA为15米(如图)，然后在A处树立一根高2米的标杆，测得标杆的影长AC为3米，则楼高为()A．10米B．12米C．15米D．22.5米解析本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．首页基础自测在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体、影子、经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．根据相似三角形的对应边的比相等，即可求解．4．(2013·柳州)小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长BA为15米(如图)，然后在A处树立一根高2米的标杆，测得标杆的影长AC为3米，则楼高为()A．10米B．12米C．15米D．22.5米首页基础自测4．(2013·柳州)小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长BA为15米(如图)，然后在A处树立一根高2米的标杆，测得标杆的影长AC为3米，则楼高为()A．10米B．12米C．15米D．22.5米∴楼高＝10(米)．故选A.A首页基础自测5．(2013·绵阳)如图，在两建筑物之间有一旗杆，高15米，从A点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C点，且俯角

α为60°，又从A点测得D点的俯角β为30°，若旗杆底点

G为BC的中点，则矮建筑物的高CD为()解析∵GE∥AB∥CD，BC＝2GC，GE＝15，∴AB＝2GE＝30，∴CD＝AB－DF＝30－10＝20(米)．故选A.A首页题型分类

题型一有关长度、周长和面积、容积的问题【例1】张先生前年在美美家园住宅小区订购了一套住房，图纸如图所示．已知：①该住房的价格a＝15000元/平方米；②楼层的电梯、楼梯及门厅前室面积由两户购房者平均负担；③每户配置车库16平方米，每平方米以6000元计算．根据以上提供的信息和数据计算：(1)张先生这次购房总共应付款多少元？(2)若经过两年，该住房价格变为21600元/平方米，那么该小区房价的年平均增长率为多少？首页(3)张先生打算对室内进行装修，甲、乙两公司推出不同的优惠方案：在甲公司累计购买10000元材料后，再购买的材料按原价的90%收费；在乙公司累计购买5000元材料后，再购买的材料按原价的95%收费．张先生怎样选择能获得更大优惠？首页单位：毫米．首页解(1)室内总面积＝4.65×4.2＋6.6×5＋8.4×5.7＝100.41(平方米)，楼梯电梯面积＝3.9×4.2＋3.6×5＝34.38(平方米)，需张先生负担的面积＝100.41＋34.38÷2＝117.6(平方米)，总费用＝117.6×15000＋16×6000＝1860000(元)．(2)设年增长率为x，则有15000(1＋x)2＝21600，解得x1＝0.2，x2＝－2.2(舍去)，故该小区房价的年平均增长率为0.2(或20%)．首页(3)①如果累计购物不超过5000元，两个公司购物花费一样多；②如果累计购物超过5000元而不超过10000元，在乙公司购物省钱；③如果累计购物超过10000元，设累计购物为x元(x>10000)．如果在甲公司购物花费小，则5000＋0.95(x－5000)>10000＋0.9(x－10000)，解得x>15000；首页如果在乙公司购物花费小，则5000＋0.95(x－5000)<10000＋0.9(x－10000)，解得x<15000；而当花费恰好是15000元时，在两个店花费一样多．所以，累计购物超过10000元而不到15000元时，在乙公司购物省钱；累计购物等于15000元，两个公司花费一样多；累计购物超过15000元时，在甲公司购物省钱.探究提高适当分割，将图形转化为便于求长度、面积的几何图形．首页

知能迁移1已知△ABC中，∠ACB＝90°(如图)，点P到∠ACB

两边的距离相等，且PA＝PB.(1)先用尺规作出符合要求的点P(保留作图痕迹，不需要写作法)，然后判断△ABP的形状，并说明理由；(2)设PA＝m，PC＝n，试用m、n的代数式表示△ABC的周长和面积．首页解(1)依题意可知，点P既在∠ACB的平分线上，又在线段

AB的垂直平分线上．如图①，作∠ACB的平分线CP，作线段AB

的垂直平分线PM，CP与PM的交点即为所求的P点.△ABP是等腰直角三角形．理由如下：过点P分别作PE⊥AC，PF⊥CB，垂足为E、

F(如图②)．∵PC平分∠ACB，PE⊥AC，PF⊥CB，∴PE＝PF.首页又∵PA＝PB，∴Rt△APE≌Rt△BPF(HL)，∴∠APE＝∠BPF.∵∠PEC＝90°，∠PFC＝90°，∠ACB＝90°，∴∠EPF＝90°，∴∠APB＝90°.又∵PA＝PB，∴△ABP是等腰直角三角形．首页(2)如图②，在Rt△ABP中，∠APB＝90°，PA＝PB＝m，由Rt△APE≌Rt△BPF，△PCE≌△PCF可得，AE＝BF，CE＝CF，∴CA＋CB＝CE＋EA＋CB＝CE＋CF＝2CE.在Rt△PCE中，∠PEC＝90°，∠PCE＝45°，PC＝n，首页首页题型分类

题型二解直角三角形的应用【例2】(2013·苏州)如图，在一笔直的海岸线l上有AB

两个观测站，A在B的正东方向，AB＝2(单位：km)．有一艘小船在点P处，从A测得小船在北偏西60°的方向，从B

测得小船在北偏东45°的方向．(1)求点P到海岸线l的距离；(2)小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到点C

处，此时，从B测得小船在北偏西15°的方向，求点C

与点B之间的距离．(上述两小题的结果都保留根号)首页解(1)如图，过点P作PD⊥AB于点D，设PD＝x.在Rt△PBD中，∠BDP＝90°，∠PBD＝90°－45°＝45°，∴BD＝PD＝x.在Rt△PAD中，∠ADP＝90°，∠PAD＝90°－60°＝30°，∵BD＋AD＝AB，首页(2)如图，过点B作BF⊥AC于点F.在Rt△ABF中，∠AFB＝90°，∠BAF＝30°，在△ABC中，∠C＝180°－∠BAC－∠ABC＝45°.在Rt△BCF中，∠BFC＝90°，∠C＝45°，首页探究提高解直角三角形在实际中有广泛的应用，其解题思路是：弄清题中名词术语的意义，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型，将实际问题中的数量关系归结为解直角三角形中各元素之间的关系．本题考查了解直角三角形的应用与方向角问题，通过作辅助线，构造直角三角形是解题的关键．首页知能迁移2

(2013·荆门)A、B两市相距150千米，分别从A、

B处测得国家级风景区中心C处的方位角如图所示，风景区区域是以C为圆心，45千米为半径的圆，tanα＝1.627，tanβ＝1.373.为了开发旅游，有关部门设计修建连接AB

两市的高速公路．问连接AB高速公路是否穿过风景区，请说明理由．首页解

AB不穿过风景区．理由如下：如图，过C作CD⊥AB于点D，根据题意得：∠ACD＝α，∠BCD＝β，在Rt△ACD中，AD＝CD·tanα，在Rt△BCD中，BD＝CD·tanβ，∵AD＋BD＝AB，∴CD·tanα＋CD·tanβ＝AB，∵CD＝50＞45，∴高速公路AB不穿过风景区．首页题型分类

题型三利用三角函数进行图形计算【例3】(2012·张家界)黄岩岛是我国南海上的一个岛屿，其平面图如图甲所示，小明据此构造出该岛的一个数学模型，如图乙所示，其中∠B＝∠D＝90°，AB＝BC

＝15千米，CD＝3千米，请据此解答如下问题：(1)求该岛的周长和面积；(结果保留整数，参考数据：(2)求∠ACD的余弦值．图甲图乙首页解(1)连接AC，∵AB＝BC＝15，∠B＝90°，又∵∠D＝90°，首页探究提高当有些图形不是直角三角形时，可适当添加辅助线，把它们分割成直角三角形，把实际问题中的数量关系归结为直角三角形中各元素之间的关系．首页知能迁移3

(2013·红河)如图，某山顶上建有手机信号中转塔AB，在地面D处测得塔尖的仰角∠ADC＝60°，塔底的仰角∠BDC＝45°，点D距塔AB的距离DC为100米，求手机信号中转塔AB的高度(结果保留根号)．解由题意可知，△ACD与△BCD都是直角三角形．在Rt△BCD中，∵∠BDC＝45°，∴BC＝CD＝100.在Rt△ACD中，∵∠ADC＝60°，CD＝100，首页题型分类

题型四几何图形设计【例4】(2011·衢州)△ABC是一张等腰直角三角形纸板，∠C＝Rt∠，AC＝BC＝2.(1)要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形，有甲、乙两种剪法(如图1)，比较甲、乙两种剪法，哪种剪法所得的正方形面积更大？请说明理由.首页(2)图1中甲种剪法称为第1次剪取，记所得的正方形面积为

S1；按照甲种剪法，在余下的△ADE和△BDF中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第2次剪取，并记这两个正方形面积和为S2(如图2)，则S2＝_______；再在余下的四个三角形中，用同样的方法分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第3次剪取，并记这四个正方形的面积和为S3(如图3)；继续操作下去……，则第10次剪取时，S10＝________.首页(3)求第10次剪取后，余下的所有小三角形的面积和．首页解(1)如图甲，由题意得AE＝DE＝EC，即EC＝1，S正方形CFDE＝1.如图乙，设MN＝x，则由题意，得AM＝MQ＝PN＝NB＝MN＝x，首页说明：①图甲可另解，由题意得点D、E、F分别为AB、AC、BC的中点，②本题亦可通过证EC＞MN来说明甲种剪法所得的正方形面积更大．首页首页则第十次剪取后余下的所有小三角形的面积和为探究提高根据题意，画出符合题意的各种图形，再逐一用相应的几何知识解答．首页知能迁移4在一服装厂里有大量形状为等腰三角形的边角布料(如图)．现找出其中的一种，测得∠C＝90°，AC＝

BC＝4，现要从这种三角形中剪出一种扇形，做成不同形状的玩具，使扇形的边缘半径恰好都在△