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3.3导数的应用(二)典例精析题型一利用导数证明不等式1【例1】已知函数f(x)=2x2+lnx.求函数f(x)在区间[1,e]上的值域;求证:x>1时,f(x)<23x3.【解析】(1)由已知f′(x)=x+1x,x∈[1,e]时,f′(x)>0,因此f(x)在[1,e]上为增函数.f(x)max=f(e)=e2+1,f(x)min=f(1)=1,22因而f(x)在区间[1,e]上的值域为[1,e2+1].222x3=-211=(1-x)(1+x+2x2),(2)证明:令F(x)=f(x)-3x3+x2+lnx,则F′(x)=x+-2x2x32x因为x>1,所以F′(x)<0,故F(x)在(1,+∞)上为减函数.又F(1)=-16<0,故x>1时,F(x)<0恒成立,2即f(x)<3x3.【点拨】有关“超越性不等式”的证明,构造函数,应用导数确定所构造函数的单调性是常用的证明方法.【变式训练1】已知对任意实数x,有f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),且x>0时,f′(x)>0,g′(x)>0,则x<0时()A.f′(x)>0,g′(x)>0B.f′>(x)0,g′(x)<0C.f′<(x)0,g′(x)>0D.f′<(x)0,g′(x)<0【解析】选B.题型二优化问题【例2】(2019湖南模拟)某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两个桥墩相距m米,余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算,一个桥墩的工程费用为256万元;距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2+x)x万元.假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且不考虑其他因素.记余下工程的费用为y万元.试写出y关于x的函数关系式;(2)当m=640米时,需新建多少个桥墩才能使y最小?【解析】(1)设需新建n个桥墩,则(n+1)x=m,n=mx-1.所以y=f(x)=256n+(n+1)(2+x)x1/3=256(m-1)+m(2+x)xxx256m+mx+2m-256.x256m11m3(2)由(1)知f′(x)=-2=(x2-512).x2+mx2x223令f′(x)=0,得x2=512.所以x=64.当0<x<64时,f′(x)<0,f(x)在区间(0,64)内为减函数;当64<x<640时,f′(x)>0,f(x)在区间(64,640)内为增函数.所以f(x)在x=64处取得最小值.此时n=m-1=640-1=9.64需新建9个桥墩才能使y最小.【变式训练2】(2019上海质检)如图所示,为了制作一个圆柱形灯笼,先要制作4个全等的矩形骨架,总计耗用9.6米铁丝,骨架把圆柱底面8等份,再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面).当圆柱底面半径r取何值时,S取得最大值?并求出该最大值(结果精确到0.01平方米).【解析】设圆柱底面半径为r,高为h,则由已知可得4(4r+2h)=9.6,所以2r+h=1.2.S=2.4πr-3πr2,h=1.2-2r>0,所以r<0.6.所以S=2.4πr-3πr2(0<r<0.6).f(r)=2.4πr-3πr2,则f′(r)=2.4π-6πr.f′(r)=0得r=0.4.所以当0<r<0.4,f′(r)>0;当0.4<r<0.6,f′(r)<0.所以r=0.4时S最大,Smax=1.51.题型三导数与函数零点问题【例3】设函数f(x)=13x3-mx2+(m2-4)x,x∈R.当m=3时,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;(2)已知函数f(x)有三个互不相同的零点0,α,β,且α<β若.对任意的x∈[α,β],都有f(x)≥f(1)恒成立,求实数m的取值范围.1-3x2+5x,f′(x)=x2-6x+5.【解析】(1)当m=3时,f(x)=x33223,因为f(2)=,f′(2)=-3,所以切点坐标为(2,),切线的斜率为-33则所求的切线方程为y-23=-3(x-2),即9x+3y-20=0.(2)f′=(x)x2-2mx+(m2-4).f′(x)=0,得x=m-2或x=m+2.x∈(-∞,m-2)时,f′(x)>0,f(x)在(-∞,m-2)上是增函数;x∈(m-2,m+2)时,f′(x)<0,f(x)在(m-2,m+2)上是减函数;x∈(m+2,+∞)时,f′(x)>0,f(x)在(m+2,+∞)上是增函数.2/31因为函数f(x)有三个互不相同的零点0,α,β,且f(x)=3x[x2-3mx+3(m2-4)],(3m)212(m24)0,2所以3(m4)0.解得m∈(-4,-2)∪(-2,2)∪(2,4).m∈(-4,-2)时,m-2<m+2<0,所以α<m-2<β<m+2<0.此时f(α)=0,f(1)>f(0)=0,与题意不合,故舍去.m∈(-2,2)时,m-2<0<m+2,所以α<m-2<0<m+2<β.因为对任意的x∈[α,β],都有f(x)≥f(1)恒成立,所以α<1<β.所以f(1)为函数f(x)在[α,β]上的最小值.因为当x=m+2时,函数f(x)在[α,β]上取最小值,所以m+2=1,即m=-1.m∈(2,4)时,0<m-2<m+2,所以0<m-2<α<m+2<β.因为对任意的x∈[α,β],都有f(x)≥f(1)恒成立,所以α<1<β.所以f(1)为函数f(x)在[α,β]上的最小值.因为当x=m+2时,函数f(x)在[α,β]上取最小值,所以m+2=1,即m=-1(舍去).综上可知,m的取值范围是{-1}.【变式训练3】已知f(x)=ax2(a∈R),g(x)=2lnx.(1)讨论函数F(x)=f(x)-g(x)的单调性;(2)若方程f(x)=g(x)在区间[2,e]上有两个不等解,求a的取值范围.【解析】(1)当a>0时,F(x)的递增区间为
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