cht10 相关系数与Copula函数

相关系数与Copula函数Chapter10

,金融风险管理

张学功1CorrelationandCovarianceThecoefficientofcorrelationbetweentwovariablesV1andV2isdefinedasThecovarianceis

E(V1V2)−E(V1)E(V2)金融风险管理张学功2IndependenceV1andV2areindependentiftheknowledgeofonedoesnotaffecttheprobabilitydistributionfortheother wheref(.)denotestheprobabilitydensityfunction金融风险管理张学功3IndependenceisNottheSameasZeroCorrelationSupposeV1=–1,0,or+1(equallylikely)IfV1=-1orV1=+1thenV2

=1IfV1

=0thenV2=0 V2isclearlydependentonV1(andviceversa)butthecoefficientofcorrelationiszero金融风险管理张学功4TypesofDependence(Figure11.1,page235)

金融风险管理张学功5E(Y)XE(Y)E(Y)X(a)(b)(c)XMonitoringCorrelationBetweenTwoVariablesXandYDefinexi=(Xi−Xi-1)/Xi-1andyi=(Yi−Yi-1)/Yi-1Alsovarx,n:dailyvarianceofXcalculatedondayn-1vary,n:dailyvarianceofYcalculatedondayn-1covn:covariancecalculatedondayn-1Thecorrelationis金融风险管理张学功6CovarianceThecovarianceondaynisE(xnyn)−E(xn)E(yn)ItisusuallyapproximatedasE(xnyn)金融风险管理张学功7MonitoringCorrelationcontinued EWMA:

GARCH(1,1)金融风险管理张学功8金融风险管理张学功9假设λ=0.95，m变量X及Y在第n-1天的相关系数估计为0.6，同时我们又假设变量X及Y在第n-1天的技动率估计分别为1%及2%。由协方差及相关系数的关系式，在第n-1天的协方差估计为0.6x0.01x0.02=0.00012假定变量X及Y在第n-1天的百分比变化分别为0.5%及2.5%，在第n天的方差及协方差的估计分别为σ2X，n=0.95x0.012+0.05x0.005=0.00009625σ2Y，n

=0.95x0.02+0.05x0.0252=0.00041125COVn=0.95x0.00012+0.05x0.005x0.025=0.00012025变量X的最新波动率估计为;变量Y的最新波动率估计为，X及Y的最新相关系数为PositiveFiniteDefiniteCondition

Avariance-covariancematrix,W,isinternallyconsistentifthepositivesemi-definiteconditionwTWw≥0 holdsforallvectorsw金融风险管理张学功10Example Thevariancecovariancematrix isnotinternallyconsistent金融风险管理张学功11V1andV2BivariateNormalConditionalonthevalueofV1,V2isnormalwithmean

andstandarddeviationwherem1,,m2,s1,ands2aretheunconditionalmeansandSDsofV1andV2andristhecoefficientofcorrelationbetweenV1andV2金融风险管理张学功12N元联合正态分布的随机抽样生成n个相互独立，并且服从正态分布的随机抽样Zi

，则n元正态随机分布变量为：这个过程称为Cholesky分解方法，此过程产生的方差协方差矩阵需要满足一致性条件，矩阵必须为半正定矩阵。b金融风险管理张学功13因子模型WhenthereareNvariables,Vi(i=1,2,..N),inamultivariatenormaldistributionthereareN(N−1)/2correlationsWecanreducethenumberofcorrelationparametersthathavetobeestimatedwithafactormodel金融风险管理张学功14One-FactorModelcontinued

金融风险管理张学功15IfUihavestandardnormaldistributionswecanset

wherethecommonfactorFandtheidiosyncraticcomponentZi

haveindependentstandardnormaldistributionsCorrelationbetweenUi

andUj

isaiaj单一因子模型的优点是这一模型对于相关结构做了某种假设，在没有因子模型的前提下，我们必须对N个变量之间的相关性进行估计，这就造成我们需要估计N(N-l)/2个参数，而在因子模型的前提下，我们只需要估计等N个参数。资本资产定价模型是单一因子模型的特例，其中股票的回报与某单一市场变量及若干相互独立的特殊(idiosyncratic)非系统变量有关。单一因子模型可以被推广到M个因子模型，在M个因子模型中因子，服从标准正态分布，并且相互独立，因子Zi

之间相互独立，并且每一个Zi与所有的F因子也相互独立，这时的相关系数为金融风险管理张学功16GaussianCopulaModels假定已经对及的边际分布有所估计，那么如何确定变量之间的联合分布。当

及的边际分布均为正态分布时，一种方便的做法是假设及服从二元正态分布。但是对于两个不同的边际分布，并没有一个自然的方式来定义相关结构，这就是我们需要引人Copula函数的原因。金融风险管理张学功17GaussianCopulaModels:

CreatingacorrelationstructureforvariablesthatarenotnormallydistributedSupposewewishtodefineacorrelationstructurebetweentwovariableV1andV2thatdonothavenormaldistributionsWetransformthevariableV1toanewvariableU1thathasastandardnormaldistributionona“percentile-to-percentile”basis.WetransformthevariableV2toanewvariableU2thathasastandardnormaldistributionona“percentile-to-percentile”basis.U1andU2areassumedtohaveabivariatenormaldistribution金融风险管理张学功18TheCorrelationStructureBetweentheV’sisDefinedbythatBetweentheU’s

金融风险管理张学功19-0.200.20.40.60.811.2-0.200.20.40.60.811.2V1V2-6-4-20246-6-4-20246U1U2One-to-onemappingsCorrelationAssumptionV1V2-6-4-20246-6-4-20246U1U2One-to-onemappingsCorrelationAssumptionExample(page241)金融风险管理张学功20V1V2V1MappingtoU1金融风险管理张学功21V1PercentileU10.220-0.840.4550.130.6800.840.8951.64V2MappingtoU2金融风险管理张学功22V2PercentileU20.28−1.410.432−0.470.6680.470.8921.41金融风险管理张学功23假定U1及U2服从正态分布，他们的联合分布为二元正态分布，由此可以推导出V1及V2的联合分布以及相关结构。其相关性，我们将出V1及V2映射到状态较好(well-behaved)的分布上。假定U1及U2的相关系统为0.5，10-3显示出U1及U2的联合分布。为了说明计算过程，我们首先考虑如何计算V1<0.1及V2

<0.1的概率，从表10-1及表10-2出发，我们知道这一概率同U1<-1.64及U2<-2.05的概率相同，通过两元正态分布，我们可以得出在ρ=0.5的情形下这一概率数值为0.006(=0的情形下，这一概率仅仅为0.02x0.05=0.001)。ExampleofCalculationofJointCumulativeDistributionProbabilitythatV1andV2arebothlessthan0.2istheprobabilitythatU1<−0.84andU2<−1.41Whencopulacorrelationis0.5thisis M(−0.84,−1.41,0.5)=0.043

where

Misthecumulativedistributionfunctionforthebivariatenormaldistribution金融风险管理张学功24金融风险管理张学功25U1及U2的相关系数被定义为Copula相关系数，这一相关系数与通常意义V1及V2的相关系数不同，因为U1及U2服从二元正态分布，U1的条件期望值与U2有线性关系，U2的条件标准差为常数，但是对于V1及V2却没有类似的结论。10.4.1Copula函数的代数表达形式金融风险管理张学功26假定G1及G2

分别为V1及V2的累积边际概率分布函数，我们将V1=v1映射到U1=u1，V2=v2映射到U2=u2映射方式如下：G1(v1)=N(u1)及G2(v2)=N(u2)其中N代表累积正态分布函数，这意味着u1=N-1[G(v1)]，u2=N-1[G(v2)]v1=G-1[N(u1)]，v2=G-1[N(u2)]变量U1及U2被假设为服从二元正态分布，Copula函数的主要特征就是在定义其相关结构时，V1及V2的边际分布没有任何改变(不管边际分布是何种形式)。OtherCopulasInsteadofabivariatenormaldistributionforU1andU2wecanassumeanyotherjointdistributionOnepossibilityisthebivariateStudenttdistributionEviews8：genrt=@rtdist(10)matlab：

R=trnd(V)

R=trnd(V,m)

R=trnd(V,m,n)金融风险管理张学功275000RandomSamplesfromtheBivariateNormal

mvnrnd（mu,sigma,cases,t)matlab金融风险管理张学功2810.4.3尾部相关性5000RandomSamplesfromtheBivariateStudenttR=MVTRND(C,DF,CASES)

CisacorrelationmatrixandDFisthedegreesoffreedom.

CASESisthenumberofrowsinR.T=mvtrnd([1-0.9;-0.91],nu,n);

生成两个相关系数为0.9，自由度nu，数据个数为n的分布金融风险管理张学功29MultivariateGaussianCopulaWecansimilarlydefineacorrelationstructurebetweenV1,V2,…VnWetransformeachvariableVi

toanewvariableUithathasastandardnormaldistributionona“percentile-to-percentile”basis.TheU’sareassumedtohaveamultivariatenormaldistribution金融风险管理张学功30

10.4.5因子Copula模型在多元Copula模型中，常常假定变量Ui之间的相关性由某种因子来决定。F及Zi分别服从标准正态分布，Zi之间相互独立，Zi与F之间也相互独立。其他形式的因子Copula模型在选择因子时也通常要保证F及Zi的期望值为0、标准差为1的条件，但F及Zi的分布可以是其他形式。例如，Zi为正态分布，F为学生t-分布，Ui之间服从多元学生t-分布，选择不同的分布会影响变量之间的相关性。金融风险管理张学功31CreditDefaultCorrelation假定在一个贷款组合中涉及N个公司，定义Ti（1≤i≤N）为公司i的违约时间。定义Qi为Ti的累积概率分布。i为了应用一元高斯Copula模型来描述Ti之间的相关结构，我们将变量Ti的分位数与Ui的分位数之间进行一-对应的映射，我们假定Ui满足式(10-8)，F及Zi分别服从标准正态分布，Zi之间相互独立，Zi与F之间也相互独立。从而有：Prob(Ui<U)=Prob(Ti<T)，U

=N-1[Qi(T)]金融风险管理张学功32在因子F的条件下，Ui<U的条件概率为ToanalyzethemodelweCalculatetheprobabilitythat,conditionalonthevalueofF,UiislessthansomevalueUThisisthesameastheprobabilitythatTiislessthatTwhereTandUarethesamepercentilesoftheirdistributionsThisleadsto金融风险管理张学功33金融风险管理张学功34我们假定对于所有不同i，违约时间的分布Qi均等于Q，意味着所有公司之间的Copula相关系数均等同，此量被记为，因为公司i与公司j之间Copula相关系数为，因此对于所有的i，我们有，式(10-11)变化为对于一个较大的贷款组合，以上表达式是对贷款组合违约比率的很好的估计，我们将以上表达式定义为违约率(defaultrate)。当F减小时，违约率会增加，那么违约率的最坏状况是怎样的呢?因为F服从标准正态分布，F<N-1(y)的概率为y，违约率大于的概率是Y。TheModelcontinued定义WCDR(T，X)为有X%把握，违约率没有被超过所对应的数量。TheX%worstcasevalueofFisN-1(X)Thewor