chp2-单自由度系统的振动-2-学生版

机械工程学院机械装备与控制工程系绪论单自由度线性系统的振动两自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动连续体振动工程振动及应用《振动理论及应用》讲授内容TheoryofVibrationwithApplications

第2章单自由度系统的振动

2.1振动系统模型及其简化

2.2无阻尼的自由振动2.3有阻尼的自由振动

2.4谐波激励下的强迫振动2.5周期激励下的强迫振动2.6任意激励下的强迫振动2.2无阻尼的自由振动第2章单自由度系统的振动2.2.1无阻尼自由振动的微分方程不考虑恒力和及由其引起的静变形，将坐标原点选在静平衡位置，可以得到无阻尼自由振动的一般微分方程：0mx静平衡位置弹簧原长位置0x静平衡位置弹簧原长位置m2.2无阻尼的自由振动第2章单自由度系统的振动2.2.1无阻尼自由振动的微分方程方程的通解：特征值为纯虚根：单位：弧度/秒（rad/s）固有圆频率周期单位：秒（s）频率单位：次/秒（1/s;Hz）2.2无阻尼的自由振动第2章单自由度系统的振动2.2.1无阻尼自由振动的微分方程振动位移：振动速度：初始条件振幅初相位角单位：米（m）单位：弧度（rad）则初始条件下系统的自由振动响应：2.2无阻尼的自由振动第2章单自由度系统的振动2.2.2固有频率的计算0mx静平衡位置弹簧原长位置在静平衡位置：则有：对于不易得到m和k

的系统，若能测出静变形，则用该式计算较为方便（静变形法）方法一：公式法2.2无阻尼的自由振动第2章单自由度系统的振动2.2.2固有频率的计算微幅摆动m30o说明：如果将m、k称为广义质量及广义刚度，则角振动与直线振动的数学描述完全相同。2.2无阻尼的自由振动第2章单自由度系统的振动2.2.2固有频率的计算例：如图示复摆，刚体质量m，重心C，对悬点的转动惯量为求：复摆在平衡位置附近做微振动时的微分方程和固有频率。

a0C解：由牛顿定律得运动微分方程为固有圆频率：实验确定复杂形状物体的转动惯量的一个方法工程中：由已测的固有频率求出绕转轴的转动惯量

再由移轴定理得出绕质心的转动惯量2.2无阻尼的自由振动第2章单自由度系统的振动2.2.2固有频率的计算方法二：能量法(保守系统)Lagrange函数：单自由度保守系统的运动微分方程：方法一：公式法能量法（Lagrange方程）也广泛用于确定系统的运动微分方程。2.2无阻尼的自由振动第2章单自由度系统的振动2.2.2固有频率的计算例题：如图所示是测量低频振幅用的传感器的无定向摆，摇杆质量不计，一端铰接，另一端装敏感质量m，并在摇杆上连接刚度为k的两弹簧以保持摆在垂直方向的稳定位置，求系统的固有圆频率。lmak/2k/22.2无阻尼的自由振动第2章单自由度系统的振动2.2.2固有频率的计算解：零势能位置lmakk广义坐标动能势能选取零势能位置。固有圆频率：思考：试写出运动微分方程？牛顿第二运动定律Lagrange方程2.2无阻尼的自由振动第2章单自由度系统的振动2.2.3无阻尼自由振动的运动特性无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后，其自由振动是以固有圆频率为振动圆频率的简谐振动，并且永无休止。因此，初始条件是外界能量输入的一种方式：初始位移即输入了势能初始速度即输入了动能2.2无阻尼的自由振动第2章单自由度系统的振动2.2.3无阻尼自由振动的运动特性初始条件：固有圆频率从左到右：时间位置2.2无阻尼的自由振动第2章单自由度系统的振动2.2.3无阻尼自由振动的运动特性自由振动的固有频率仅由系统本身的参数确定，与外界激励和初始条件无关；对于确定的系统，自由振动的振幅和初相位角由初始条件所决定；单自由度无阻尼系统的自由振动是等幅谐波振动；两种特殊的初始扰动形式：在平衡位置给初速度推离平衡位置，不给初速度2.2无阻尼的自由振动第2章单自由度系统的振动2.2.3无阻尼自由振动的运动特性例题：如图所示提升机系统重物重量重物以的速度均匀下降求：绳的上端突然被卡住时：重物的振动圆频率；钢丝绳中的最大张力。Wv钢丝绳的弹簧刚度2.2无阻尼的自由振动第2章单自由度系统的振动2.2.3无阻尼自由振动的运动特性解：W静平衡位置kxWv振动圆频率重物匀速下降时处于静平衡位置，若将坐标原点取在绳被卡住瞬时重物所在位置，即静平衡位置。

则t=0时，有：振动解：绳中的最大张力等于静张力与因振动引起的动张力之和：请思考：为了减少振动引起的动张力，应当采取什么措施？2.2无阻尼的自由振动第2章单自由度系统的振动2.2.3无阻尼自由振动的运动特性例题：mh0l/2l/2重物落下，与简支梁做完全非弹性碰撞，梁长l

，质量不计，抗弯刚度EI。求：1.梁的自由振动频率

2.梁的最大挠度。2.2无阻尼的自由振动第2章单自由度系统的振动2.2.3无阻尼自由振动的运动特性解：以梁承受重物时的静平衡位置为坐标原点建立坐标系mh0l/2l/2x静平衡位置计算静变形：固有圆频率为：撞击时刻为零时刻，t=0

时，有：则自由振动振幅为：梁的最大扰度：2.2无阻尼的自由振动第2章单自由度系统的振动2.2.1无阻尼自由振动的微分方程2.2.2固有频率的计算2.2.3无阻尼自由振动的运动特性建立系统的振动微分方程求得固有频率初始条件的确定求最大振幅或最大张力求响应函数2.2无阻尼的自由振动第2章单自由度系统的振动课后作业2-3：如图所示，定滑轮和鼓轮固结在一起，对O轴的转动惯量为I,其半径分别为r1和r2，质块的质量为m，弹簧的刚度为k，试建立系统的振动微分方程，并求系统的固有频率。2.2无阻尼的自由振动第2章单自由度系统的振动课后作业2-4：如图所示，一小车的质量为m，自高度h处沿着斜面滑下，与缓冲器相撞后，随同缓冲器一起做自由振动。设弹簧刚度为k，斜面倾角为α，小车与斜面之间的摩擦力忽略不计，求系统振动的周期和振幅，并写出振动运动函数。mThe