ZDLX2 振动的运动学

第二章振动的运动学第二章振动的运动学更一般的说，从几何方面研究而不涉及物理原因。

运动学—描述质点或系统的运动形态（位移、速度、加速度、相位等）随时间变化规律的学科，不涉及受力情况。前边说的第二类分类方法就是从运动学角度把系统的运动分为简谐振动、一般周期振动等等。第二章振动的运动学§2—1简谐振动参量

§2—2谐振动的矢量表示法及复数表示法§2—3简谐振动的合成§2—4拍（beat）§2—5本章习题第二章振动的运动学§2—1简谐振动参量

简谐振动是最简单的周期振动，其位移方程可以用正弦或余弦函数描述x=Asinωt

。TA0xt第二章振动的运动学其中振动参量有：

x—任一瞬时的振动位移（线位移或角位移），单位毫米或弧度。t—时间，单位秒（time）。A—振幅（最大振动位移）amplitude。T—振动周期，振动一次（一周）所需的时间，单位：秒。ω—圆周率（又称角频率），表示振动快慢，单位：弧度/秒（或1/秒）。另外，还有一种自然频率（又称频率）。

f—每秒振动的次数，单位周/秒（赫兹、次/秒）。TA0xt第二章振动的运动学由上式可以看到:速度：也是简谐函数

（其中Aω——速度幅）单位毫米/秒

加速度：（其中Aω2——加速度幅）单位毫米/秒2

第二章振动的运动学下面介绍两个同频率不同相位的简谐振动

φ——初相位（t＝0时的相位）

x2比x1超前φ相位，即x2比x1提前φ/ω秒达到位移最大值。

注意：只有频率相同，相位差φ才保持不变。

0A2A1xωtx2(t)x1(t)φíìî+=)sin(22jwtAx=sin11wtAx第二章振动的运动学§2—2简谐振动的矢量表示法及复数表示法描述简谐振动的数学表示方法有三种：用三角函数的代数表示法矢量表示方法复数表示第二章振动的运动学1、用三角函数的代数表示法如前所述，但研究两个同频率简谐振动合成时，物理概念不清晰，不直观。例如：

第二章振动的运动学2、矢量表示方法

用矢量的逆时针旋转表示简谐振动是很方便的。以矢量的水平位置为起点t＝0，矢量的模A——振幅，旋转角速度ω——振动的圆频率到t瞬时，矢量与水平轴的夹角ωt即相位角，旋转矢量在垂直轴的投影Asinωt或在水平轴的投影Acosωt都可以代表简谐振动。自然频率f就是每秒转的周数，单位周/秒。显然

用矢量表示方法可以很清楚地看出位移、速度、加速度旋转矢量的相对位置关系（即相位关系）。

第二章振动的运动学设简谐位移方程（代数表示）

x＝Asinωt

用矢量表示方法可以很清楚地看出位移、速度、加速度旋转矢量的相对位置关系（即相位关系），则：超前于位移

超前位移π矢量表示见图ωtAωAωAω2t=0第二章振动的运动学3、复数表示我们知道，一个复数z=a+bi可以表示复平面的一个矢量。矢量的长度称为z的模，即矢量与实轴的夹角θ称为幅角，记为argz，即我们又知道，复数z的实部和虚部分别是：

Re(z)＝a＝Acosθ；Im(z)＝b＝Asinθ〔注：arg—argument,Re—real,Im—imaginary〕θaAb实(Re)虚(Im)第二章振动的运动学了解上述概念之后，我们用旋转的复数矢量可以表示简谐振动。用复数的模表示振幅，仍用A；幅角θ此时代之以相位角ωt，这时幅角将随时间t变化。就是说，该复数矢量按逆时针方向以ω为角速度旋转。该旋转矢量在实轴及虚轴上的投影：

Re(z)＝Acosωt；

Im(z)=Asinωt都可以表示简谐振动。ωtA(Re)(Im)ω第二章振动的运动学复数可以合成指数形式:z＝Acosωt＋iAsinωt＝Aeiωt。我们约定，用复数旋转矢量在虚轴的投影表示简谐振动：x＝Asinωt＝Im(z)＝Im〔Aeiωt〕简单写成x＝Aeiωt〔注意：不要理解成振动是复数〕简谐振动就是指他的虚部（虚部本身是个实数；例如:Im(z)=Asinωt）

注意：振动现象本身是实际存在的，用复数表示简谐振动指的是用其中的实部或虚部（我们这里用虚部）来表示振动。

第二章振动的运动学

用复数表示振动时，其速度和加速度为：

可以看到，每求一次导数，就在前边乘上一个iω，而每乘一个i（按复数乘法可知）就是把这复数矢量逆时针转，这在求导数运算中带来了方便。x＝Aeiωt第二章振动的运动学4、小结

简谐振动有三种表示方法，其中代数方法x＝Asinωt比较符合我们的习惯。但在表示同频率简谐振动合成时，矢量表示方法有着物理概念清晰、直观的优点。复数表示方法在求导运算中带来了方便。这里再重复一遍，用矢量表示简谐振动，说的是当矢量逆时针旋转时，它在垂直轴（或水平轴）上的投影的变化可以代表简谐振动；用复数表示简谐振动，说的是当复数矢量逆时针旋转时，它在虚轴（或实轴）上投影，即虚部（或实部）的变化可以代表简谐振动。振动的运动学第二章振动的运动学如果一质点的振动包含两个频率相同而有相位差φ的简谐振动：§2—3简谐振动的合成

我们来求它的合成运动，用代数方法虽然可求，但很烦琐，用矢量相加方法求这个合成运动很方便。第二章振动的运动学合成后的位移矢量为：

矢量的模即合成后的振幅可由余弦定理求得：第二章振动的运动学结论：两个具有相同频率但不同相位的简谐振动合成后仍是简谐振动，其振幅及初相位公式如上。但是，两个频率不同的简谐振动合成后不再是简谐振动。合成后振动矢量比超前φ角显然，合成后的振动就是矢量在垂直轴上的投影x＝Asin（ωt＋φ）第二章振动的运动学〔特例〕，两个简谐振动具有相同频率，但相位差90º，即两旋转矢量互相垂直。合成振动仍写成这里就是说—这种情况以后经常用到。ïîïíì=+==tbtbxtaxwpwwcos)2sin(sin21第二章振动的运动学两个具有不同频率的简谐振动的合成运动不再是简谐振动。我们研究下面两个简谐振动的合成问题。

其中ω1≠ω2但相差很小，这时合成运动就是一种特殊的振动—拍

。§2—4拍（beat）第二章振动的运动学令ω2＝ω1＋∆ω则：x=x1+x2=asinω1t+bsin(ω1+Δω)t=asinω1+b(sinω1tcos∆ωt+cosω1tsin∆ωt)=(a+bcosΔωt)sinω1t+bsin∆ωt·cosω1t=A1(t)sinω1t+A2(t)conω1t；

这里îíìD=D+=tbA(t)tbatAwwsincos)(21第二章振动的运动学合成运动可写成x＝A（t）sin(ω1t+φ)其中:

用旋转矢量加法，但要注意，这里矢量的模随时间变化，于是合成矢量的模也随时间变化。tabbawD++=cos222tbtbawwD+D+=)sin()cos(22A2A2t+=)(A21第二章振动的运动学这就是说，合成运动是这样一种振动：其振动频率是ω1但振幅本身又随着时间变化。变化的频率是∆ω（＝ω1－ω2）。我们把这种振动现象叫做拍。因∆ω比ω1小得多，故振幅变化速度是缓慢的。我们研究一下运动规律：∆ω=2a=6b=5ω=12第二章振动的运动学当∆ωt＝0时Amax＝a+b；当∆ωt＝π时，Amin＝a－b

赫兹，拍的园频率，频率及周期分别用ωb，fb，Tb表示，则：

ωb＝∆ω＝ω1－ω2弧度/秒，秒第二章振动的运动学

拍——两个频率有微小差别的简谐振动合成时，其合成振幅时而加强时而减弱的现象叫做拍。

拍的周期——合成振动的振幅由加强到减弱再到加强所经过的时间叫拍的周期。

拍频——合振动在单位时间内加强或减弱的次数称为拍频（fb）。第二章振动的运动学

例：一质点同时做两个振动x1=3sin40t，x2=4sin41t，求合成运动的最大、最小振幅及拍的频率？x=A(t)sin(40+ψ)

弧度/秒，Amax=3+4=7cm，Amin=4-3=1cm，ωb=41-40=1弧度/秒,秒。

注：可以看到，合成最大本身的园频率是40弧度/秒，而拍（即振幅变化）的园频率是1弧度/秒，慢多了。解：第二章振动的运动学本章小结这一章题目是“振动的运动学”，研究振动的形态（位移、速度、加速度等）随时间变化的规律，而不涉及产生振动的物理原因。我们着重研究了简谐振动x=Asin(ωt+φ)

。定义简谐振动的参量〔位移x、时间t、振幅A、园频率ω、频率f=ω/(2π)、周期T=1/f等等〕。第二章振动的运动学简谐振动的三种表示方法：代数表示法；矢量表示法；复数表示法。简谐振动的合成，其中特别是x=asinωt+bcosωt

这种情况。值得注意的是：同频率简谐振动合成后仍是简谐振动，不同频率简谐振动合成后不再是简谐振动。对于后一种情况，我们研究了一个特例——拍。第二章振动的运动学

习题2-1有一作简谐振动的物体，它通过距离平衡位置为时的速度分别为

求其振动周期、振幅和最大速度。解：设物体振动规律为

§2—5本章习题.p)2sin()cos(jwwjww++=+=tAtAx&第二章振动的运动学（1）（2）第二章振动的运动学由（1），（2）解得最大速度振幅所以，振动周期最大速度第二章振动的运动学

习题2-2一个机器内某零件的振动规律为

，x的单位是cm。这个振动是否简谐振动？求出它的振幅、最大速度及最大加速度，并用旋转矢量表示这三者见的关系。解：

同频率振动，合成为简谐振动

第二章振动的运动学振幅：

最大速度：最大加速度：第二章振动的运动学

习题2-3已知