广东省2016中考数学第一部分教材梳理第六章图形与变换第3节锐角三角函数及其应用复习课件新人教版

第一部分教材梳理第3节锐角三角函数及其应用第六章图形与变换知识要点梳理概念定理

1.锐角三角函数的定义

假设在Rt△ABC中，∠C=90°，则有：

（1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA.

即

（2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA.

即（3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA.

（4）锐角三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数.

2.解直角三角形的应用的有关概念（1）坡度：坡面的垂直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1∶m的形式.（2）坡角：把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为i==tanα.（3）仰角和俯角：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角.主要公式

1.同角三角函数关系

（1）平方关系：sin2A+cos2A=1；

（2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即tanA=

或sinA=tanA·cosA.

2.两角互余的三角函数关系

在Rt△ABC中，∠A+∠B=90°时，正余弦之间的关系为：

（1）一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sinA=cos（90°-∠A）.

（2）一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即cosA=sin（90°-∠A）.

也可以理解成若∠A+∠B=90°，那么sinA=cosB或sinB=cosA.

3.特殊角的三角函数值方法规律

1.通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问题，如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，解此类问题关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度.

2.解直角三角形的一般过程

（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）.

（2）根据题目的已知条件选用适当的锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案.

3.解直角三角形要用到的关系（1）锐角直角的关系：∠A+∠B=90°.（2）三边之间的关系：a2+b2=c2.（3）边角之间的关系：sinA=，cosA=，tanA=.（a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边）中考考点精讲精练考点1锐角三角函数考点精讲【例1】（2013广东）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，则sinA=

.

思路点拨：首先由勾股定理求得斜边AC=5，然后由锐角三角函数的定义知sinA=

，将相关线段的长度代入计算即可.

答案：

解题指导：解此类题的关键是画出图形，利用锐角三角函数的定义进行计算.

解此类题要注意以下要点：

锐角三角函数的基本概念，包括正弦、余弦、正切的定义等.考题再现

1.（2014汕尾）在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=

，则cosB的值是 （）

2.图6-3-1（2014广州）如图6-3-1，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanA等于 （）BD

3.图6-3-2（2015广州）如图6-3-2，△ABC中，DE是BC的垂直平分线，DE交AC于点E，连接BE.若BE=9，BC=12，则cosC=

.考题预测

4.如图6-3-3，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cosα的值，错误的是 （）C

5.如图6-3-4，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是 （）D

6.如图6-3-5，在锐角△ABC中，AB=15，BC=14，S△ABC=84，求：（1）tanC的值；（2）sinA的值.解：（1）如答图6-3-1，过点A作AD⊥BC于点D.∵S△ABC=BC·AD=84,∴×14×AD=84∴AD=12.又∵AB=15，∴CD=14-9=5.（2）如答图6-3-1，过点B作BE⊥AC于点E.在Rt△ADC中，AC==13.∵S△ABC=AC·EB=84，∴BE=.∴sin∠BAC=考点2解直角三角形的应用考点精讲【例2】（2014广东）如图6-3-6，某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度，他们先在点A处测得树顶C的仰角为30°，然后沿AD方向前行10m，到达B点，在B处测得树顶C的仰角高度为60°（A，B，D三点在同一直线上）.请你根据他们的测量数据计算这棵树CD的高度（结果精确到0.1m）.（参考数据：

≈1.414，

≈1.732）

思路点拨：首先利用三角形的外角的性质求得∠ABC的度数，得到BC的长度，然后在直角△BDC中，利用三角函数即可求解.

解：∵∠CBD=∠A+∠ACB，

∴∠ACB=∠CBD-∠A=60°-30°=30°.

∴∠A=∠ACB.

∴BC=AB=10（m）.

在直角△BCD中，CD=BC·sin∠CBD=10×

=

≈5×1.732=8.7（m）.

答：这棵树CD的高度为8.7米.

解题指导：解此类题的关键是借助仰角构造直角三角形并解直角三角形.

解此类题要注意以下要点：

解直角三角形的应用问题的一般过程：

（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）；

（2）根据题目已知条件的特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案.考题再现

1.（2012广东）如图6-3-7，小山岗的斜坡AC的坡度是tanα=，在与山脚C距离200m的D处，测得山顶A的仰角为26.6°，求小山岗的高AB.（结果取整数，参考数据：sin26.6°=0.45，cos26.6°=0.89，tan26.6°=0.50）解：∵在直角三角形ABC中，=tanα=，∴BC=在直角三角形ADB中，=tan26.6°=0.50,即BD=2AB.∵BD-BC=CD=200,∴2AB-AB=200.解得AB=300（m）.答：小山岗的高AB为300米.

2.（2015茂名）如图6-3-8，一条输电线路从A地到B地需要经过C地，图中AC=20km，∠CAB=30°，∠CBA=45°，因线路整改需要，将从A地到B地之间铺设一条笔直的输电线路.（1）求新铺设的输电线路AB的长度；（结果保留根号）（2）问整改后从A地到B地的输电线路比原来缩短了多少千米.（结果保留根号）解：（1）如答图6-3-2，过点C作CD⊥AB，交AB于点D.在Rt△ACD中，CD=AC·sin∠CAD=20×=10（km），AD=AC·cos∠CAD=20×（km）.在Rt△BCD中，BD==10（km）.∴AB=AD+DB=+10=10（+1）（km）.答：新铺设的输电线路AB的长度为10（+1）千米.（2）在Rt△BCD中，根据勾股定理得：BC=（km），∴AC+CB-AB=20+（km）.答：整改后从A地到B地的输电线路比原来缩短了千米.

3.（2014珠海）如图6-3-9，一艘渔船从A处沿正南方向航行一段距离后，到达位于小岛南偏东60°方向的B处.（1）求渔船从A到B的航行过程中与小岛M之间的最小距离（结果用根号表示）；（2）若渔船以20海里/小时的速度从B沿BM方向行驶，求渔船从B到达小岛M的航行时间（结果精确到0.1小时）.（参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）解：（1）如答图6-3-3，过点M作MD⊥AB于点D.∵∠AME=45°，∴∠AMD=∠MAD=45°.∵AM=180海里，∴MD=AM·cos45°=（海里）.答：渔船从A到B的航行过程中与小岛M间的最小距离是

海里.（2）在Rt△DMB中，∵∠BMF=60°，∴∠DMB=30°.∵MD=海里，∴MB=∴÷20==3×2.45=7.35≈7.4（小时）.答：渔船从B到达小岛M的航行时间约为7.4小时.考题预测

4.如图6-3-10，为安全起见，小明拟加长滑梯，将其倾斜角由45°降至30°.已知滑梯AB的长为3m，点D，B，C在同一水平地面上，那么加长后的滑梯AD的长是 （）C

5.笔直的公路AB一侧有加油站C，已知从西面入口点A到C的距离为60米，西东两个入口A,B与加油站C之间的方位角如图6-3-11所示，则A,B两个入口间的距离为 （）C

6.如图6-3-12，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB的坡度i=1∶1.5，则坝底AD的长度为 （）

A.26米 B.28米 C.30米 D.46米D

7.某处山坡上有一棵与水平面垂直的大树，狂风过后，大树被刮得倾斜后折断，倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面（如图6-3-13所示）.已知山坡的坡角∠AEF=23°，量得树干的倾斜角∠BAC=38°，大树被折断部分和坡面所成的角∠ADC=60°，AD=4m.（1）求∠DAC的度数；（2）这棵大树折断前高约多少米？（结果精确到个位，参考数据：≈1.4，≈1.7，≈2.4）解：（1）如答图6-3-4，延长BA交EF于点G.在Rt△AGE中，∠E=23°，∴∠GAE=67°.又∵∠BAC=38°，