ch6点的合成运动

第六章点的合成运动理论力学

§6–1点的合成运动的概念

§6–2点的速度合成定理

§6–3点的加速度合成定理习题课第六章点的合成运动前章中我们研究点和刚体的运动，一般都是以地面为参考体的。然而在实际问题中，还常常要在相对于地面运动着的参考系上观察和研究物体的运动。例如，从行驶的汽车上观看飞机的运动等，坐在行驶的火车内看雨点的运动等。在不同的坐标系或参考体上观察物体的同一运动会有不同的结果。引言§6-1点的合成运动的概念一．坐标系

1.静(坐标)系：把固结于地面上的坐标系。二．动点所研究的点（运动着的点）。

2.动(坐标)系：把固结于相对于地面运动物体上的坐标系。三．三种运动、三种速度、三种加速度

１．绝对运动：动点相对于静系的运动。

２．相对运动：动点相对于动系的运动。

３．牵连运动：动系相对于静系的运动牵连点：在任意瞬时，动系上与动点相重合的点。点的运动

（直线或曲线运动）刚体的运动绝对运动中,动点的速度与加速度称为绝对速度与绝对加速度相对运动中,动点的速度和加速度称为相对速度与相对加速度牵连运动中,牵连点的速度和加速度称为牵连速度与牵连加速度注意：牵连点是动系上不动的点，但它随动系一起运动；不同瞬时牵连点不同。（平动、转动或其它运动）举例说明以上各概念：动点：动系：静系：AB杆上A点固结于凸轮Ｏ'上固结在地面上动点、动系选择的原则：

动点不能选在动系上，动点对动系有相对运动，且相对运动的轨迹要明确。相对运动：牵连运动：曲线（圆弧）直线平动绝对运动：直线绝对速度：相对速度：牵连速度：绝对加速度：相对加速度：牵连加速度：动点：A（在圆盘上)动系：O'A摆杆静系：机架绝对运动：曲线（圆周）相对运动：直线牵连运动：定轴转动动点：A1（在O'A1

摆杆上)动系：圆盘静系：机架绝对运动：曲线（圆弧）相对运动：曲线牵连运动：定轴转动（不合适）

若动点A在偏心轮上时动点：A(在AB杆上)

A（在偏心轮上）动系：偏心轮AB杆静系：地面地面绝对运动：直线圆周（红色虚线）相对运动：圆周（曲线）曲线（未知）牵连运动：定轴转动平动[注]要指明动点应在哪个物体上，但不能选在动系上。（不合适）§6-２点的速度合成定理速度合成定理将建立动点的绝对速度，相对速度和牵连速度之间的关系。

当t

t+△t

ABA'B'

MM'也可看成MM１

M´绝对轨迹绝对位移相对轨迹相对位移牵连轨迹牵连位移＝＋将上式两边同除以后，时的极限，得

va—动点的绝对速度；

vr—动点的相对速度；

ve—动点的牵连速度，是动系上一点(牵连点)的速度

动系作平动时，动系上各点速度都相等。

动系作转动时，ve必须是该瞬时动系上与 动点相重合点的速度。

速度合成定理：任一瞬时动点的绝对速度等于其牵连速度与相对速度的矢量和。速度合成定理是瞬时矢量式，共包括大小、方向六个元素，已知任意四个元素，就能求出其他两个。例：曲柄滑杆机构，曲柄OA=0.1m，ω=4t(rad/s)，滑杆上有圆心在套杆BC上、半径R=0.1m的圆弧形滑道。当t=1s时，曲柄与水平线夹角=30º。求此时滑杆BC的速度v。m/sm/s解：动点：滑块A，

动系：滑杆BC，

静系：大地速度分析如图。（）例:

曲柄摆杆机构。已知：OA=r,,OO1=l，图示瞬时OAOO1，求：摆杆O1B角速度1解：动点：OA杆上A点，动系：摆杆01B，

静系：大地速度分析如图例：

圆盘凸轮机构。已知：OC＝e,,＝常量，图示瞬时,OCCA

且

O、A、B三点共线。求：从动杆AB的速度。解：动点：AB杆上A点，动系：偏心轮C，

静系：大地速度分析如图。

例：汽车A以40km/h的速度沿直线道路行驶，汽车B以56.6km/h的速度沿另一叉道行驶。试求在汽车B上观察到的汽车A的速度。解：动点：汽车A

动系：汽车B

静系：地面。

（km/h）速度分析如图

分析：相接触的两个物体的接触点随时间而变化，因此两物体的接触点不宜选为动点，需选择特殊点为动点。例：已知:凸轮半径r,

杆OA靠在凸轮上。求：图示瞬时杆OA的角速度。解:

动点：凸轮上C点为,

动系：固结于OA杆上,

静系：固结于大地。（）速度分析如图：§4-3加速度合成定理

设有一动点M按一定规律沿着固连于动系O'x'y'z'的曲线AB运动,而曲线AB同时又随同动系O'x'y'z'相对静系Oxyz平动。一、牵连运动为平动时其中：动系作平动，其上各点的速度、加速度都相同 为动系坐标轴方向的单位矢量，因动系为平动，故它们的方向不变，是常矢量，—牵连运动为平动时点的加速度合成定理当牵连运动为平动时，动点的绝对加速度等于牵连加速度与相对加速度的矢量和。解：动点：杆上的A点，动系：凸轮（平动）静系：大地例：已知：凸轮半径求：j=60o时,顶杆AB的加速度。1）速度分析如图n2）加速度分析如图将上式投影到法线上，得整理得设一圆盘以匀角速度绕定轴Ｏ顺时针转动，盘上圆槽内有一点M以大小不变的速度vr

沿槽作圆周运动，那么M点相对于静系的绝对加速度应是多少呢？二、牵连运动为转动时选点M为动点，动系固结与圆盘上，则M点的牵连运动为匀速转动相对运动为匀速圆周运动，（方向如图）由速度合成定理可得出（方向如图）即绝对运动也为匀速圆周运动，所以方向指向圆心Ｏ点

可见，当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度并不只等于牵连加速度和相对加速度的矢量和，而是多出了一项aC＝2vr

。aC称为科氏加速度，是由于牵连运动和相对运动相互影响而产生的。vr=i′+j′k′ve=ωe×r

ar=i′+j′k′

公式推导分析相对导数设有一动点M沿空间曲线运动，动系O’x’y’z’绕静系Oxyz的z轴转动，角速度、角加速度分别为。根据点的速度合成定理：va

=ve+vr两边同对时间求导，得：动系以角速度矢ωe绕定轴转动,定轴为定系的z轴，定点O到动系原点及单位矢量k’的矢端A的矢径分别为rO’和rA

。k＇=rA–rO＇vA–vO＇vA=ωe×rA，vO＇=ωe×rO＇

ωe×rA

－ωe×rO＇=ωe×(rA

－rO＇)=×k＇下面先来分析动系坐标轴方向单位矢量对时间的一阶导数。ωe×i′ωe×j′ωe×k′i′+j′

i′+j′k′=ar

（ωe×i′）（ωe×j′）（ωe×k′）

=ar

i′j′k′）=ar+ωe×vr

aa

=ae+ar+2ωe×vr

ac=2ωe×vr

ac称为科氏加速度，它等于动系角速度矢与动点相对速度矢的矢积的两倍，是由于牵连运动与相对运动相互影响而产生的。

aa

=ae+ar+ac当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度等于它的牵连加速度，相对加速度和科氏加速度三者的矢量和。方向：按右手法则确定。关于科氏加速度ac=2ωe×vr将vr的方向顺的转向转过即为的方向。在自然界中可以观察到科氏加速度所表现出的现象。由于地球绕地轴转动，因此只要地球上物体相对地球运动的方向不与地轴平行，该物体就有科氏加速度。在北半球，河水向北流动时，有向左的加速度，河水必然受右岸对水的向左作用力。根据作用与反作用定律，河水必对右岸有反作用力。北半球向北流动的江河，其右岸均受到较明显的冲刷，这也是地理学中的一项规律。由于地球自转角速度很小，所以一般工程问题都忽略其自转的影响，只有在某些特殊情形下才加以考虑。DABC解：点M1的科氏加速度

垂直板面向里。例：矩形板ABCD以匀角速度绕固定轴z转动，点M1和点M2分别沿板的对角线BD和边线CD运动，在图示位置时相对于板的速度分别为v1和v2

，计算点M1、

M2的科氏加速度大小,并图示方向。点M2的科氏加速度解：方向：与相同。例:曲柄摆杆机构。已知：O1A＝r,,,1;取O1A杆上A点为动点，动系固结O2A上，试计算动点A的科氏加速度。速度分析如图解：动点：小环M

动系：直角形杆OBC（转动）

静系；直杆OA（大地）。

1．速度分析如图（m/s）

（m/s）

（m/s）

例:直角形曲柄OBC绕垂直于图面的轴O在一定范围内以匀角速度转动，带动套在固定直杆OA上的小环M沿直杆滑动。已知：OB=0.1m，

rad/s。试求当时，小环M的速度和加速度。将各加速度矢量投影到x’轴上（m/s2）

（m/s2）

（m/s2）

2．加速度分析如图解:

动点:顶杆上A点动系:凸轮(转动）

静系:地面例:

已知：凸轮机构以匀

绕O轴转动，图示瞬时OA=r

，A点曲率半径,已知。求：该瞬时顶杆AB的速度和加速度。1．速度分析如图2．加速度分析如图向n轴投影：解：动点:凸轮的中心C点动系：连于顶杆AB（平动）

静系：连于地面。

例:平底顶杆凸轮机构。偏心凸轮以等角速度转动，O轴位于顶杆的轴线上，工作时顶杆的平底始终接触凸轮表面。设凸轮半径为R，偏心距OC=e，OC与水平线的夹角为，试求当时，顶杆AB的速度和加速度。1．速度分析如图2．加速度分析如图习题课一．概念及公式

1.一点、二系、三运动点的绝对运动为点的相对运动与牵连运动的合成．

2.

速度合成定理

3.加速度合成定理牵连运动为平动时牵连运动为转动时二．解题步骤

1.选择动点、动系、静系。

2.分析三种运动：绝对运动、相对运动和牵连运动。

3.作速度分析,画出速度平行四边形,求出有关未知量(速度,角速度）。

4.作加速度分析，画出加速度矢量图，求出有关未知量(加速度、角加速度）。

三．解题技巧

1.恰当地选择动点、动系和静系,应满足选择原则。具体地有：

a.

两个不相关的动点，求二者的相对速度。根据题意,选择其中之一为动点,动系为固结于另一点的平动坐标系。

b.

运动刚体上有一动点，点作复杂运动。该点取为动点，动系固结于运动刚体上。

c.

机构传动,传动特点是在一个刚体上存在一个不变的接触点,相对于另一个刚体运动。导杆滑块机构：典型方法是动系固结于导杆，取滑块为动点。凸轮挺杆机构：典型方法是动系固结与凸轮，取挺杆上与凸轮接触点为动点。

d.

特殊问题,特点是相接触两个物体的接触点位置都随时间而变化.此时,这两个物体的接触点都不宜选为动点，应选择满足前述的选择原则的非接触点为动点。2.速度问题,

一般采用几何法求解简便,即作出速度平行四边形；加速度问题,

往往超过三个矢量,一般采用解析（投影）法求解，投影轴的选取依解题简便的要求而定。

四．注意问题

1.牵连速度及牵连加速度是牵连点相对于静系的速度及加速度。

2.牵连运动为转动时作加速度分析不要漏掉，正确分析和计算。

3.加速度矢量方程的投影是等式两端的投影，与静力平衡方程的投影式不同。

4.圆周运动时，非圆周运动时，(为曲率半径)r已知:OA＝l,=45o

时，w,;

求：图示瞬时小车的速度与加速度．解：动点：OA杆上A点;动系：固结在滑杆上（平动);静系：固结在机架上。一、曲柄滑杆机构1．速度分析如图小车的速度：方向：水平向右。，方向如图示小车的加速度：2．加速度分析如图投影至x轴：，方向如图示方向：水平向右。二、摇杆滑道机构解：动点:销子D(BC上)

动系:固结于OA(转动）

静系:固结于机架。

（）已知

求:该瞬时OA杆的

,。1．速度分析如图投至轴：（）2．加速度分析如图三、曲柄滑块机构动点：O1A上A点动系：固结于BCD（平动）静系：固结于机架上

已知：

h;

图示瞬时;

求:该瞬时杆的w2。解：速度分析如图动点：BCD上F点动系：固结于O2E上（转动）静系：固结于机架上）（速度分析如图（注意：两次选择动点、动系）解:动点：凸轮上C点动系：固结于OA杆上（转动）静系：固结于地面上

已知：凸轮半径为R，图示瞬时O、C在一条铅直线上;