CAD技术-第二章-2-图形变换

第二章材料加工CAD技术基础2.1CAD系统的组成与分类2.2计算机图形处理技术2.3CAD系统的三维造型技术2.4CAD系统的数据信息交换2.5CAD系统的智能化技术与优化分析技术学习目标：

了解CAD系统的组成及分类。掌握图形变换、CAD系统的三维造型技术，CAD系统的数据信息交换。了解CAD系统的智能化和优化技术。学习重点：图形变换、CAD系统的三维造型技术，CAD系统的数据信息交换。2.2计算机图形处理技术图形变换基础坐标系窗口和视区裁剪坐标系1、世界坐标系(WCS，WorldCoordinateSystem)

世界坐标系一般是三维右手直角坐标系，它的单位根据所描述的实际对象的大小来确定,通常使用实数,取值范围并无限制。它是一般用户绘图时所取的坐标系，有时也称为用户坐标系或物体坐标系。通常表示为图2.1(a),可以是二维的,表示为图2.1(b)。

图2.1世界坐标系(WCS)(a)3D右手直角坐标系；(b)2D右手直角坐标系2、设备坐标系(DCS，DeviceCoordinateSystem)图形显示器或绘图机自身有一个坐标系，称它为设备坐标系或物理坐标系。它的单位根据输出设备的实际大小来确定,一般使用整数。窗口—视区变换

基本概念在计算机图形学中,把在用户坐标系中需要进行观察和处理的一个坐标区域称为窗口（Window），如图2.2所示。把从窗口取得的那一部分物理世界（图形）映射到显示屏上的某一区域，这个区域称为视区（Viewport）。图2.2窗口与视区示意图

如图所示,设在用户坐标系中,取窗口为边与坐标轴平行的矩形,它的左下顶点和右上顶点坐标分别为(Wxl,Wyb)、(Wxr,Wyt)，度量单位由用户定义，相应的视区也取成边与坐标轴平行的矩形,它的左下顶点和右上顶点坐标分别为(Vxl,Vyb)、(Vxr,Vyt),度量单位为像素单位。窗口-视区变换公式图2.3窗口-视区变换示意图在窗口中点(xw,yw)到左边线的距离和窗口在x方向的长度之比,与在视区中相应点(xv,yv)到左边线的距离和视区在x方向的长度之比,应该是相等的。同样,在y方向也保持这种比例关系。即裁剪

位于窗口之外的的那一部分属于不可见部分，应该删去。点的裁剪直线段裁剪多边形裁剪图形变换

变换基本原理齐次坐标

所谓齐次坐标,就是将一个原本是n维的向量用一个n+1维向量来表示。例如，向量（x1,x2,…,xn）的齐次坐标表示为（Hx1,Hx2,…,Hxn,H），其中H是一个不为0的实数。

由点或向量的齐次坐标(Hx1,Hx2,…,Hxn,H)求它的规范化齐次坐标，可根据如下公式求得:（x1,x2,…,xn,1）图2.4齐次坐标的几何意义齐次坐标提供了用矩阵运算把二维、三维甚至高维空间中的一个点集(图形)从一个坐标空间变换到另一个坐标空间的有效而统一的方法。二维图形齐次坐标变换矩阵的一般形式是：

三维图形齐次坐标变换矩阵的一般形式是：二维图形的几何变换基本变换平移变换、比例变换、等比例变换、旋转变换、错切变换、对称变换复合变换［x*y*1］=［x

y1］·T2D（1）平移变换平面图形的平移变换是将平面图形从一个位置平移到另一位置,形状没有任何改变。如图2.5所示。

平移变换的矩阵为：图2.5三角形的平移变换示意图（2）比例变换平面图形的比例变换是将图形放大、缩小(压缩),如图2.6所示。比例变换的矩阵为：其中，A、D＞0。（3）等比例变换等比例变换的矩阵为：当s>1时，图形被放大；当s<1时，图形缩小；当s=1时，图形大小不变。

图2.6比例变换(4)

旋转变换平面图形的基本旋转变换是指图形绕坐标原点旋转任意角θ,并且规定逆时针方向旋转时,θ取正值,顺时针方向旋转时,θ取负值,如图2.7(a)所示。

图2.72D图形的旋转变换示意图

(a)点的旋转;(b)三角形的旋转（5）错切变换平面图形的错切变换是指变换前后的平面图形沿x轴方向或y轴方向错切。如图2.8、2.9。错切变换的变换矩阵为：

图2.82D图形的错切变换示意图

(a)沿x方向错切；(b)沿y方向错切y*P1P1*P2P2OOxyP4P3*P4*P3P4*P4P1*P1P2*P2P3*P3(a)(b)x图2.9x、y方向同时错切的变换（6）对称变换平面图形的对称变换是指变换前后的平面图形对称于x轴,y轴或某个特定轴。如图2.10所示。对称变换的矩阵为：

图2.102D图形的对称变换三角形对称于x轴；(b)三角形对称于y轴；(c)三角形对称于坐标原点平面图形复合变换举例设△P1P2P3的三个顶点分别为P1(10,20),P2(20,20),P3(15,30),它绕点Q(5,25)逆时针方向旋转30°,它的复合变换为：复合变换矩阵的求解顺序不能任意变动图2.11三角形的复合变换示意图

(a)先平移；(b)旋转后再平移基本变换

三维空间立体图形的基本变换与二维平面图形的基本变换，同样可以利用矩阵处理方法。通常用规范化的四维齐次坐标(x,y,z,1)来表示三维空间点(x,y,z)。因此,三维空间点的变换的一般公式为：［x*y*z*1］=［x

y

z1］·T3D三维图形的几何变换式(2-1)

式中,T3D是三维图形的变换矩阵,它是一个4×4阶方阵,即式(2-2)（1）三维平移变换

平移变换是指三维立体沿x、y、z三个方向分别移动L,M,N到一个新的空间位置。平移变换后,立体的大小和形状保持不变。三维平移变换的矩阵为：图2.12三棱锥的平移变换示意图（2）三维比例变换

1.比例变换比例变换是指三维立体在x、y、z三个方向以原点为中心,分别放大或缩小A,E,J倍,得到一个新的三维立体。比例变换后,三维立体的大小和形状可能发生改变。比例变换的变换矩阵为：图2.13正方体的等比例变换示意图图2.14三棱锥的不等比例变换示意图

2.全比例变换在式(2-2)中,变换矩阵主对角线上的元素S能使三维立体在空间各方向等比例放大或缩小。全比例变换矩阵为：（3）三维对称变换

1.对xOy坐标平面的对称变换把给定图形对于xOy坐标平面作对称变换时,变换前后相应点的x、y坐标保持不变,z坐标互为相反数,所以仅需将单位矩阵中z坐标的元素值取为-1。因此,对称变换的矩阵为：

图2.15对称变换示意图对xOy面的对称；(b)对yOz面的对称;(c)对xOz面的对称2.对yOz坐标平面的对称把给定图形对于yOz坐标平面作对称变换时,仅需将单位矩阵中x坐标的元素值取为-1,因此,对称变换矩阵为：3.对xOz坐标平面的对称把给定图形对于xOz坐标平面作对称变换时,仅需将单位矩阵中y坐标的元素值取为-1,因此,对称变换矩阵为：（4）三维错切变换三维错切变换是指三维立体在空间沿x、y、z三个方向实现错切变形,三维错切是二维错切变换的一个扩充。三维错切变换矩阵为：图2.16错切变换示意图（5）三维旋转变换三维立体的旋转变换是指给定的三维立体绕三维空间某个指定的坐标轴旋转θ角度。旋转后,立体的空间位置将发生变化,但形状不变。θ角的正负按右手规则确定,右手大姆指指向旋转轴的正向,其余四个手指指向旋转角的正向,如图2.17(a)所示。逆时针为正，顺时针为负。下面主要讨论三维立体分别绕三个坐标轴旋转的旋转变换,如图2.17所示。

图2.17旋转变换示意图绕z轴正向旋转；(b)绕x轴正旋转；

(c)绕y轴正向旋转

1.绕x轴正向旋转角θx

三维空间立体绕x轴旋转时,立体上各顶点的y,z坐标改变,而x坐标不变,因此,变换矩阵在第一行和第一列中,除去主对角线上元素为1以外,所有元素均为0,而y,z坐标可由二维点绕原点旋转公式得到,因此可得：x*=xy*=ycosθx－zsinθxz*=ysinθx

+zcosθx

将上式改写成矩阵形式，则绕x轴旋转的旋转变换矩阵为：

2.绕y轴正向旋转角θy

三维空间立体绕y轴正向旋转时,立体上各顶点的x,z坐标改变,而y坐标不变,因此,变换矩阵在第二行和第二列中,除去主对角线上元素为1以外,所有元素均为0,而x,z坐标可由二维点绕原点旋转公式得到,因此可得：

x*=xcosθy

+zsinθyy*=yz*=-xsinθy+zcosθy

将上式改写成矩阵形式,则绕y轴旋转的旋转变换矩阵为：

3.绕z轴正向旋转角θz

三维空间立体绕z轴正向旋转时,立体上各顶点的x,y坐标改变,而z坐标不变,因此,变换矩阵在第三行和第三列中,除去主对角线上元素为1以外,所有元素均为0,而x,y坐标可由二维点绕原点旋转公式得到,因此可得：

x*=xcosθz

-ysinθzy*=xsinθz

+ycosθzz*=z

将上式改写成