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第三节协方差及相关系数协方差相关系数课堂练习

前面我们介绍了随机变量的数学期望和方差，对于二维随机变量（X，Y），我们除了讨论X与Y的数学期望和方差以外，还要讨论描述X和Y之间关系的数字特征，这就是本讲要讨论的协方差和相关系数

量E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}称为随机变量X和Y的协方差,记为Cov(X,Y)，即

一、协方差2.简单性质Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}1.定义(1)Cov(X,C)=0,C为常数；(2)Cov(X,X)=D(X)(3)Cov(X,Y)=Cov(Y,X)(6)Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)(5)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)a,b是常数(7)D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2Cov(X,Y)(4)Cov(aX+b,Y)=aCov(X,Y)a,b是常数

Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)

可见，若X与Y独立，则Cov(X,Y)=0.3.计算协方差的一个简单公式由协方差的定义及期望的性质，可得Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}=E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y)=E(XY)-E(X)E(Y)即

协方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互间的关系，但它还受X与Y本身度量单位的影响.例如：Cov(kX,kY)=k2Cov(X,Y)

为了克服这一缺点，对协方差进行标准化，这就引入了相关系数

.二、相关系数为随机变量X和Y的相关系数

.定义:

设D(X)>0,D(Y)>0,称在不致引起混淆时，记

为

.相关系数的性质：证:由方差的性质和协方差的定义知,对任意实数b,有0≤D(Y-bX)=b2D(X)+D(Y)-2b

Cov(X,Y)令，则上式为

D(Y-bX)=

由于方差D(Y)是正的,故必有1-≥0,所以||≤1。存在常数a,b(b≠0），使P{Y=a+bX}=1，即X和Y以概率1线性相关.3.X和Y独立时，

=0，但其逆不真.由于当X和Y独立时，Cov(X,Y)=0.故=0但由并不一定能推出X和Y独立.例1

设X~N(0,1),Y=X2,求X和Y的相关系数。4.若，称X和Y不相关。定理：若随机变量X与Y的方差都存在，且均不为零；则下列四个命题等价。（1）；（2）cov(X,Y)=0；（3）E(XY)=E(X)E(Y)；（4）D(X±Y)=D(X)+D(Y)。但可以证明对下述情形，独立与不相关等价若(X,Y)服从二维正态分布，则X与Y独立X与Y不相关前面，我们已经看到：若X与Y独立，则X与Y不相关，但由X与Y不相关，不一定能推出X与Y独立.三、例题讲解1、2、1、解2、解解3备用例题四、小结

这一节我们介绍了协方差、相关系数

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