CH3 IIR滤波器设计方法02

1第三章

无限长单位脉冲响应(IIR)

滤波器的设计方法

2根据模拟滤波器设计IIR滤波器

利用模拟滤波器设计数字滤波器，就是从已知的模拟滤波器传递函数Ha(s)设计数字滤波器传递函数H(z)，这归根到底是一个由S平面到Z平面的变换。这种映射变换应遵循两个基本原则：（1）H(z)的频响要能模仿Ha(s)的频响，即S平面的虚轴应映射到Z平面的单位圆上。（2）Ha(s)的因果稳定性映射成H(z)后保持不变，即S平面的左半平面Re{S}＜0应映射到Z平面的单位圆以内|Z|<1。脉冲响应不变法根据模拟滤波器设计IIR滤波器4脉冲响应不变法5脉冲响应不变法极点对应关系:6例题将一个具有如下系统函数的模拟滤波器数字化。解模拟滤波器的频率响应为:设s=σ+jΩ,z=rejω,

rejω=e

(σ+jΩ)T=eσT

ejΩT

r=eσT

ω=ΩT

分析脉冲响应不变法的性能jΩ0S平面3/T-3/T-/T/Ts=+jΩ(a)Im[z]Re[z]0|z|=r=1z=re

jωω(b)用脉冲响应不变法设计数字滤波器方法是：如果已知模拟滤波器的系统函数Ha(s)1.将Ha(s)部分分式展开，2.再按公式得到数字滤波器系统函数H(z)。如果已知数字滤波器的设计指标：ωp,Ap,ωr,Ar1、将数字滤波器性能指标变换为中间模拟滤波器的性能指标。采用:2、设计出符合要求的中间模拟滤波器的系统函数Ha(s)。3、将Ha(s)展成部分分式形式，利用公式求H(z)。10举例1112

这样就看到，脉冲响应不变法将模拟滤波器变换为数字滤波器时，首先对Ha(s)做周期延拓，然后再经过z=esT的映射关系，完成s平面到z平面的映射。即根据理想采样序列拉氏变换与模拟信号拉氏变换的关系13

这时数字滤波器的频率响应才能不失真地重现模拟滤波器的频响（存在于折叠频率Ωs/2以内）

如果模拟滤波器的频率响应是带限于折叠频率以内的即

但是，任何一个实际的模拟滤波器的频率响应都不可能真正是带限的，这就不可避免地存在频谱的混淆失真，因而模拟滤波器的频率响应在折叠频率以上处衰减越大，这个失真就越小。1415因此，此法只适用于带限或高频衰减大的频响特性的模拟滤波器，如衰减特性很好的带通或低通。Fs越大，则相邻周期间重复的频谱相隔越远，混叠也就越小。而高通和带阻滤波器，频率特性在fs/2频率部分不衰减，因此完全混叠在低频响应中。所以脉冲响应不变法不能用来设计带阻或高通滤波器，否则要加保护滤波器①如果Ha(s)是稳定的，即其极点全部都在s左半平面内，由映射关系可知，对应的H(z)的极点也全部都在单位圆内，所以H(z)也是稳定的。总之，考察脉冲响应不变法，可以得到以下结论：②H(s)的虚轴均映射H(z)的单位圆上，在此范围内ω与Ω之间呈现线性的对应关系，即ω=ΩT。因而使数字滤波器的频率特性基本与模拟滤波器的相同。③由于频率混叠效应，所以脉冲响应不变法只适用于带限的模拟滤波器。例如低通滤波器和带通滤波器。高通和带阻滤波器不宜采用脉冲响应不变法。17

由此建立s平面与z平面一一对应的单值关系，消除多值性，也就消除了混淆现象。18

这里c是待定常数，一般取c=2/T,不同的c

，可使模拟滤波器的频率特性与数字滤波器的频率特性在不同频率点有对应关系。

为了将s平面的jΩ轴压缩到平面jΩ1轴上的

-π/T到π/T

一段上，可通过以下的正切变换实现：192、变换关系TsTsTsTsTsTseeceeeecTscssss~~2/~2/~2/~2/~11)2~(tan

,~

)1(----+-=+-==®

s

存在下列关系设®~202~为边界的水平窄区内平面内以平面映射成即将sssW±\2、变换关系2~

,2~

,22

,时时当ssTTTW=®W+¥®WW-=-®W\®-W-¥®Wppp~21由s到z为一一对应，且单值对应2、变换关系双线性变换法的转换性能 可以求出

将s和z看成s平面和z平面的一般复变量

s=σ+jΩ,z=rejω

σ=0时，r=1，s平面的虚轴映射为z平面的单位圆；σ＜0时,r＜1,s平面的左半映射为z平面的单位圆内；σ＞0时，r＞1，s平面的右半映射为z平面的单位圆外。所以如果模拟滤波器因果稳定，则用双线性变换法将模拟滤波器Ha(s)转换成数字滤波器H(z)后仍然因果稳定。24(1)无混叠误差(2)频率产生失真由于频率间的非线性关系所产生的数字滤波器的频率响应相对于原模拟滤波器的幅频响应会有畸变。25考虑图双线性变换的频率非线性关系

264、频率预畸

利用关系式：

将所要设计的数字滤波器临界频率点，变换成对应的模拟域频率，利用此设计模拟滤波器，再通过双线性变换，即可得到所需的数字滤波器，如图所示。T可以随便选取，代入转换表达式会约掉

若只关心滤波器的幅频特性，为了补偿频率的畸变，让变换后的位置不产生变化。对特定频率(Ωp，Ωr，Ωc)先进行预畸。27双线性变换时频率的预畸变28294218.01433.1)1(674.022+-+zzz30如果已知数字滤波器的设计指标ωp,Ap,ωr,Ar1、将数字滤波器性能指标变换为中间模拟滤波器的性能指标。采用:2、求模拟滤波器的系统函数Ha(s)3、将Ha(s)按公式得到数字滤波器系统函数H(z)（T可以随便选取,所以为了计算方便，一般取T=2，这样c＝1）预畸变用双线性变换法设计数字滤波器方法是：如果已知模拟滤波器的系统函数Ha(s)将Ha(s)按公式得到数字滤波器系统函数H(z)总结利用模拟滤波器设计IIR数字低通滤波器的步骤。（1）确定数字低通滤波器的技术指标ωp、Ap、ωr、A

r（2）将数字低通滤波器的技术指标转换成相应的模拟低通滤波器的技术指标。这里主要是边界频率ωp和ωr的转换，Ap和Ar指标不变。（3）按照模拟低通滤波器的技术指标设计过渡模拟低通滤波器（4）用所选的转换方法，将模拟滤波器Ha(s)转换成数字低通滤波器系统函数H(z)。例2

设采样周期T=250μs(fs=4kHz)，设计一个三阶巴特沃思LP滤波器,其3dB截止频率fc=1kHz。分别用脉冲响应不变法和双线性变换法求解。解：a.脉冲响应不变法由于脉冲响应不变法的频率关系是线性的，所以可直接按Ωc=2πfc设计Ha(s)。以截止频率Ωc归一化的三阶巴特沃思滤波器的传递函数为以s/Ωc

代替其归一化频率，得：

为进行脉冲响应不变法变换,计算Ha(s)分母多项式的根,将上式写成部分分式结构：对照前面学过的脉冲响应不变法中的部分分式形式。有36将上式部分系数代入数字滤波器的传递函数：并将Ωc=ωc

/T代入，得：合并上式后两项，并将ωc=2πfcT=0.5π代入，计算得：37

b.双线性变换法

(一)首先确定数字域临界频率ωc=2πfcT=0.5π(二)根据频率的非线性关系，确定预畸的模拟滤波器临界频率(三)以s/Ωc

代入归一化的三阶巴特沃模拟器传递函数并将Ωc=2/T

代入上式。(四)将双线性变换关系代入，求H(z)。3