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文档简介
2023年高考数学模拟试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知P是双曲线渐近线上一点,,是双曲线的左、右焦点,,记,PO,的斜率为,k,,若,-2k,成等差数列,则此双曲线的离心率为()A. B. C. D.2.已知函数,为的零点,为图象的对称轴,且在区间上单调,则的最大值是()A. B. C. D.3.已知双曲线的左、右焦点分别为,,P是双曲线E上的一点,且.若直线与双曲线E的渐近线交于点M,且M为的中点,则双曲线E的渐近线方程为()A. B. C. D.4.数列{an}是等差数列,a1=1,公差d∈[1,2],且a4+λa10+a16=15,则实数λ的最大值为()A. B. C. D.5.某工厂只生产口罩、抽纸和棉签,如图是该工厂年至年各产量的百分比堆积图(例如:年该工厂口罩、抽纸、棉签产量分别占、、),根据该图,以下结论一定正确的是()A.年该工厂的棉签产量最少B.这三年中每年抽纸的产量相差不明显C.三年累计下来产量最多的是口罩D.口罩的产量逐年增加6.已知正四棱锥的侧棱长与底面边长都相等,是的中点,则所成的角的余弦值为()A. B. C. D.7.已知函数,若,则的最小值为()参考数据:A. B. C. D.8.已知,则的值等于()A. B. C. D.9.复数的共轭复数对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限10.已知,,,则()A. B.C. D.11.设等差数列的前n项和为,且,,则()A.9 B.12 C. D.12.已知函数,关于x的方程f(x)=a存在四个不同实数根,则实数a的取值范围是()A.(0,1)∪(1,e) B.C. D.(0,1)二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知命题:,,那么是__________.14.某商场一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示,下列说法中正确的是______.①2至3月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率相同;②支出最高值与支出最低值的比是6:1;③第三季度平均收入为50万元;④利润最高的月份是2月份.15.已知是函数的极大值点,则的取值范围是____________.16.在中,角,,的对边分别为,,,若,且,则面积的最大值为________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)在平面直角坐标系中,已知抛物线C:()的焦点F在直线上,平行于x轴的两条直线,分别交抛物线C于A,B两点,交该抛物线的准线于D,E两点.(1)求抛物线C的方程;(2)若F在线段上,P是的中点,证明:.18.(12分)某商场以分期付款方式销售某种商品,根据以往资料统计,顾客购买该商品选择分期付款的期数的分布列为:2340.4其中,(Ⅰ)求购买该商品的3位顾客中,恰有2位选择分2期付款的概率;(Ⅱ)商场销售一件该商品,若顾客选择分2期付款,则商场获得利润l00元,若顾客选择分3期付款,则商场获得利润150元,若顾客选择分4期付款,则商场获得利润200元.商场销售两件该商品所获的利润记为(单位:元)(ⅰ)求的分布列;(ⅱ)若,求的数学期望的最大值.19.(12分)已知椭圆的左、右焦点分别为、,点在椭圆上,且.(Ⅰ)求椭圆的标准方程;(Ⅱ)设直线与椭圆相交于、两点,与圆相交于、两点,求的取值范围.20.(12分)已知,均为正数,且.证明:(1);(2).21.(12分)已知函数.(1)若,且,求证:;(2)若时,恒有,求的最大值.22.(10分)已知函数.(1)求的极值;(2)若,且,证明:.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】
求得双曲线的一条渐近线方程,设出的坐标,由题意求得,运用直线的斜率公式可得,,,再由等差数列中项性质和离心率公式,计算可得所求值.【详解】设双曲线的一条渐近线方程为,且,由,可得以为圆心,为半径的圆与渐近线交于,可得,可取,则,设,,则,,,由,,成等差数列,可得,化为,即,可得,故选:.【点睛】本题考查双曲线的方程和性质,主要是渐近线方程和离心率,考查方程思想和运算能力,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2、B【解析】
由题意可得,且,故有①,再根据,求得②,由①②可得的最大值,检验的这个值满足条件.【详解】解:函数,,为的零点,为图象的对称轴,,且,、,,即为奇数①.在,单调,,②.由①②可得的最大值为1.当时,由为图象的对称轴,可得,,故有,,满足为的零点,同时也满足满足在上单调,故为的最大值,故选:B.【点睛】本题主要考查正弦函数的图象的特征,正弦函数的周期性以及它的图象的对称性,属于中档题.3、C【解析】
由双曲线定义得,,OM是的中位线,可得,在中,利用余弦定理即可建立关系,从而得到渐近线的斜率.【详解】根据题意,点P一定在左支上.由及,得,,再结合M为的中点,得,又因为OM是的中位线,又,且,从而直线与双曲线的左支只有一个交点.在中.——①由,得.——②由①②,解得,即,则渐近线方程为.故选:C.【点睛】本题考查求双曲线渐近线方程,涉及到双曲线的定义、焦点三角形等知识,是一道中档题.4、D【解析】
利用等差数列通项公式推导出λ,由d∈[1,2],能求出实数λ取最大值.【详解】∵数列{an}是等差数列,a1=1,公差d∈[1,2],且a4+λa10+a16=15,∴1+3d+λ(1+9d)+1+15d=15,解得λ,∵d∈[1,2],λ2是减函数,∴d=1时,实数λ取最大值为λ.故选D.【点睛】本题考查实数值的最大值的求法,考查等差数列的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.5、C【解析】
根据该厂每年产量未知可判断A、B、D选项的正误,根据每年口罩在该厂的产量中所占的比重最大可判断C选项的正误.综合可得出结论.【详解】由于该工厂年至年的产量未知,所以,从年至年棉签产量、抽纸产量以及口罩产量的变化无法比较,故A、B、D选项错误;由堆积图可知,从年至年,该工厂生产的口罩占该工厂的总产量的比重是最大的,则三年累计下来产量最多的是口罩,C选项正确.故选:C.【点睛】本题考查堆积图的应用,考查数据处理能力,属于基础题.6、C【解析】试题分析:设的交点为,连接,则为所成的角或其补角;设正四棱锥的棱长为,则,所以,故C为正确答案.考点:异面直线所成的角.7、A【解析】
首先的单调性,由此判断出,由求得的关系式.利用导数求得的最小值,由此求得的最小值.【详解】由于函数,所以在上递减,在上递增.由于,,令,解得,所以,且,化简得,所以,构造函数,.构造函数,,所以在区间上递减,而,,所以存在,使.所以在上大于零,在上小于零.所以在区间上递增,在区间上递减.而,所以在区间上的最小值为,也即的最小值为,所以的最小值为.故选:A【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的最值,考查分段函数的图像与性质,考查化归与转化的数学思想方法,属于难题.8、A【解析】
由余弦公式的二倍角可得,,再由诱导公式有,所以【详解】∵∴由余弦公式的二倍角展开式有又∵∴故选:A【点睛】本题考查了学生对二倍角公式的应用,要求学生熟练掌握三角函数中的诱导公式,属于简单题9、A【解析】
试题分析:由题意可得:.共轭复数为,故选A.考点:1.复数的除法运算;2.以及复平面上的点与复数的关系10、C【解析】
利用二倍角公式,和同角三角函数的商数关系式,化简可得,即可求得结果.【详解】,所以,即.故选:C.【点睛】本题考查三角恒等变换中二倍角公式的应用和弦化切化简三角函数,难度较易.11、A【解析】
由,可得以及,而,代入即可得到答案.【详解】设公差为d,则解得,所以.故选:A.【点睛】本题考查等差数列基本量的计算,考查学生运算求解能力,是一道基础题.12、D【解析】
原问题转化为有四个不同的实根,换元处理令t,对g(t)进行零点个数讨论.【详解】由题意,a>2,令t,则f(x)=a⇔⇔⇔⇔.记g(t).当t<2时,g(t)=2ln(﹣t)(t)单调递减,且g(﹣2)=2,又g(2)=2,∴只需g(t)=2在(2,+∞)上有两个不等于2的不等根.则⇔,记h(t)(t>2且t≠2),则h′(t).令φ(t),则φ′(t)2.∵φ(2)=2,∴φ(t)在(2,2)大于2,在(2,+∞)上小于2.∴h′(t)在(2,2)上大于2,在(2,+∞)上小于2,则h(t)在(2,2)上单调递增,在(2,+∞)上单调递减.由,可得,即a<2.∴实数a的取值范围是(2,2).故选:D.【点睛】此题考查方程的根与函数零点问题,关键在于等价转化,将问题转化为通过导函数讨论函数单调性解决问题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、真命题【解析】
由幂函数的单调性进行判断即可.【详解】已知命题:,,因为在上单调递增,则,所以是真命题,故答案为:真命题【点睛】本题主要考查了判断全称命题的真假,属于基础题.14、①②③【解析】
通过图片信息直接观察,计算,找出答案即可.【详解】对于①,2至月份的收入的变化率为20,11至12月份的变化率为20,故相同,正确.对于②,支出最高值是2月份60万元,支出最低值是5月份的10万元,故支出最高值与支出最低值的比是6:1,正确.对于③,第三季度的7,8,9月每个月的收入分别为40万元,50万元,60万元,故第三季度的平均收入为50万元,正确.对于④,利润最高的月份是3月份和10月份都是30万元,高于2月份的利润是80﹣60=20万元,错误.故答案为①②③.【点睛】本题考查利用图象信息,分析归纳得出正确结论,属于基础题目.15、【解析】
方法一:令,则,,当,时,,单调递减,∴时,,,且,∴在上单调递增,时,,,且,∴在上单调递减,∴是函数的极大值点,∴满足题意;当时,存在使得,即,又在上单调递减,∴时,,,所以,这与是函数的极大值点矛盾.综上,.方法二:依据极值的定义,要使是函数的极大值点,由知须在的左侧附近,,即;在的右侧附近,,即.易知,时,与相切于原点,所以根据与的图象关系,可得.16、【解析】
利用正弦定理将角化边得到,再由余弦定理得到,根据同角三角函数的基本关系表示出,最后利用面积公式得到,由基本不等式求出的取值范围,即可得到面积的最值;【详解】解:∵在中,,∴,∴,∴,∴.∵,即,当且仅当时等号成立,∴,∴面积的最大值为.故答案为:【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形,三角形面积公式的应用,以及基本不等式的应用,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2)见解析【解析】
(1)根据抛物线的焦点在直线上,可求得的值,从而求得抛物线的方程;(2)法一:设直线,的方程分别为和且,,,可得,,,的坐标,进而可得直线的方程,根据在直线上,可得,再分别求得,,即可得证;法二:设,,则,根据直线的斜率不为0,设出直线的方程为,联立直线和抛物线的方程,结合韦达定理,分别求出,,化简,即可得证.【详解】(1)抛物线C的焦点坐标为,且该点在直线上,所以,解得,故所求抛物线C的方程为(2)法一:由点F在线段上,可设直线,的方程分别为和且,,,则,,,.∴直线的方程为,即.又点在线段上,∴.∵P是的中点,∴∴,.由于,不重合,所以法二:设,,则当直线的斜率为0时,不符合题意,故可设直线的方程为联立直线和抛物线的方程,得又,为该方程两根,所以,,,.,由于,不重合,所以【点睛】本题考查抛物线的标准方程,考查抛物线的定义,考查直线与抛物线的位置关系,属于中档题.18、(Ⅰ)0.288(Ⅱ)(ⅰ)见解析(ⅱ)数学期望的最大值为280【解析】
(Ⅰ)根据题意,设购买该商品的3位顾客中,选择分2期付款的人数为,由独立重复事件的特点得出,利用二项分布的概率公式,即可求出结果;(Ⅱ)(ⅰ)依题意,的取值为200,250,300,350,400,根据离散型分布求出概率和的分布列;(ⅱ)由题意知,,解得,根据的分布列,得出的数学期望,结合,即可算出的最大值.【详解】解:(Ⅰ)设购买该商品的3位顾客中,选择分2期付款的人数为,则,则,故购买该商品的3位顾客中,恰有2位选择分2期付款的概率为0.288.(Ⅱ)(ⅰ)依题意,的取值为200,250,300,350,400,,,,,的分布列为:2002503003504000.16(ⅱ),由题意知,,,,,又,即,解得,,,当时,的最大值为280,所以的数学期望的最大值为280.【点睛】本题考查独立重复事件和二项分布的应用,以及离散型分布列和数学期望,考查计算能力.19、(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)利用勾股定理结合条件求得和,利用椭圆的定义求得的值,进而可得出,则椭圆的标准方程可求;(Ⅱ)设点、,将直线的方程与椭圆的方程联立,利用韦达定理与弦长公式求出,利用几何法求得直线截圆所得弦长,可得出关于的函数表达式,利用不等式的性质可求得的取值范围.【详解】(Ⅰ)在椭圆上,,,,,,,又,,,,椭圆的标准方程为;(Ⅱ)设点、,联立消去,得,,则,,设圆的圆心到直线的距离为,则.,,,,的取值范围为.【点睛】本题考查椭圆方程的求解,同时也考查了椭圆中弦长之积的取值范围的求解,涉及韦达定理与弦长公式的应用,考查计算能力,属于中等题.20、(1)见解析(2)见解析【解析】
(1)由进行变换,得到,两边开方并化简,证得不等式成立.(2)将化为,然后利用基本不等式,证得不等式成立.【详解】(1),两边加上得,即,当且仅当时取等号,∴.(2).当且仅当时取等号.【点睛】本小题主要考查利用基本不等式证明不等式成立,考查化归与转化的数学思想方法,属于中档题.21、(1)见解析;(2).【解析】
(1)利用导数分析函数的单调性,并设,则,,将不等式等价转化为证明,构造函数,利用导数分析函数在区间上的单调性
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