2023届北京市西城区高三(最后冲刺)数学试卷含解析_第1页
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文档简介

2023年高考数学模拟试卷注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.若命题p:从有2件正品和2件次品的产品中任选2件得到都是正品的概率为三分之一;命题q:在边长为4的正方形ABCD内任取一点M,则∠AMB>90°的概率为π8A.p∧qB.(¬p)∧qC.p∧(¬q)D.¬q2.要排出高三某班一天中,语文、数学、英语各节,自习课节的功课表,其中上午节,下午节,若要求节语文课必须相邻且节数学课也必须相邻(注意:上午第五节和下午第一节不算相邻),则不同的排法种数是()A. B. C. D.3.已知函数满足,且,则不等式的解集为()A. B. C. D.4.设是虚数单位,若复数,则()A. B. C. D.5.已知复数,则()A. B. C. D.26.设函数定义域为全体实数,令.有以下6个论断:①是奇函数时,是奇函数;②是偶函数时,是奇函数;③是偶函数时,是偶函数;④是奇函数时,是偶函数⑤是偶函数;⑥对任意的实数,.那么正确论断的编号是()A.③④ B.①②⑥ C.③④⑥ D.③④⑤7.已知,则的大小关系是()A. B. C. D.8.关于圆周率,数学发展史上出现过许多很有创意的求法,如著名的蒲丰实验和查理斯实验.受其启发,某同学通过下面的随机模拟方法来估计的值:先用计算机产生个数对,其中,都是区间上的均匀随机数,再统计,能与构成锐角三角形三边长的数对的个数﹔最后根据统计数来估计的值.若,则的估计值为()A. B. C. D.9.设α,β为两个平面,则α∥β的充要条件是A.α内有无数条直线与β平行B.α内有两条相交直线与β平行C.α,β平行于同一条直线D.α,β垂直于同一平面10.已知集合,定义集合,则等于()A. B.C. D.11.方程在区间内的所有解之和等于()A.4 B.6 C.8 D.1012.已知函数(,是常数,其中且)的大致图象如图所示,下列关于,的表述正确的是()A., B.,C., D.,二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知函数是定义在上的奇函数,且周期为,当时,,则的值为___________________.14.在一次医疗救助活动中,需要从A医院某科室的6名男医生、4名女医生中分别抽调3名男医生、2名女医生,且男医生中唯一的主任医师必须参加,则不同的选派案共有________种.(用数字作答)15.已知函数为奇函数,则______.16.若实数满足不等式组,则的最小值是___三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知数列,其前项和为,若对于任意,,且,都有.(1)求证:数列是等差数列(2)若数列满足,且等差数列的公差为,存在正整数,使得,求的最小值.18.(12分)已知椭圆的离心率为是椭圆的一个焦点,点,直线的斜率为1.(1)求椭圆的方程;(1)若过点的直线与椭圆交于两点,线段的中点为,是否存在直线使得?若存在,求出的方程;若不存在,请说明理由.19.(12分)为了检测某种零件的一条生产线的生产过程,从生产线上随机抽取一批零件,根据其尺寸的数据得到如图所示的频率分布直方图,若尺寸落在区间之外,则认为该零件属“不合格”的零件,其中,s分别为样本平均数和样本标准差,计算可得(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).(1)求样本平均数的大小;(2)若一个零件的尺寸是100cm,试判断该零件是否属于“不合格”的零件.20.(12分)已知函数()的图象在处的切线为(为自然对数的底数)(1)求的值;(2)若,且对任意恒成立,求的最大值.21.(12分)一种游戏的规则为抛掷一枚硬币,每次正面向上得2分,反面向上得1分.(1)设抛掷4次的得分为,求变量的分布列和数学期望.(2)当游戏得分为时,游戏停止,记得分的概率和为.①求;②当时,记,证明:数列为常数列,数列为等比数列.22.(10分)已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程;(2)若对任意的,当时,都有恒成立,求最大的整数.(参考数据:)

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】因为从有2件正品和2件次品的产品中任选2件得到都是正品的概率为P1=1C42=16,即命题p是错误,则¬p是正确的;在边长为4的正方形ABCD内任取一点M点睛:本题将古典型概率公式、几何型概率公式与命题的真假(含或、且、非等连接词)的命题构成的复合命题的真假的判定有机地整合在一起,旨在考查命题真假的判定及古典概型的特征与计算公式的运用、几何概型的特征与计算公式的运用等知识与方法的综合运用,以及分析问题解决问题的能力。2、C【解析】

根据题意,分两种情况进行讨论:①语文和数学都安排在上午;②语文和数学一个安排在上午,一个安排在下午.分别求出每一种情况的安排方法数目,由分类加法计数原理可得答案.【详解】根据题意,分两种情况进行讨论:①语文和数学都安排在上午,要求节语文课必须相邻且节数学课也必须相邻,将节语文课和节数学课分别捆绑,然后在剩余节课中选节到上午,由于节英语课不加以区分,此时,排法种数为种;②语文和数学都一个安排在上午,一个安排在下午.语文和数学一个安排在上午,一个安排在下午,但节语文课不加以区分,节数学课不加以区分,节英语课也不加以区分,此时,排法种数为种.综上所述,共有种不同的排法.故选:C.【点睛】本题考查排列、组合的应用,涉及分类计数原理的应用,属于中等题.3、B【解析】

构造函数,利用导数研究函数的单调性,即可得到结论.【详解】设,则函数的导数,,,即函数为减函数,,,则不等式等价为,则不等式的解集为,即的解为,,由得或,解得或,故不等式的解集为.故选:.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数单调性,根据函数的单调性解不等式,考查学生分析问题解决问题的能力,是难题.4、A【解析】

结合复数的除法运算和模长公式求解即可【详解】∵复数,∴,,则,故选:A.【点睛】本题考查复数的除法、模长、平方运算,属于基础题5、C【解析】

根据复数模的性质即可求解.【详解】,,故选:C【点睛】本题主要考查了复数模的性质,属于容易题.6、A【解析】

根据函数奇偶性的定义即可判断函数的奇偶性并证明.【详解】当是偶函数,则,所以,所以是偶函数;当是奇函数时,则,所以,所以是偶函数;当为非奇非偶函数时,例如:,则,,此时,故⑥错误;故③④正确.故选:A【点睛】本题考查了函数的奇偶性定义,掌握奇偶性定义是解题的关键,属于基础题.7、B【解析】

利用函数与函数互为反函数,可得,再利用对数运算性质比较a,c进而可得结论.【详解】依题意,函数与函数关于直线对称,则,即,又,所以,.故选:B.【点睛】本题主要考查对数、指数的大小比较,属于基础题.8、B【解析】

先利用几何概型的概率计算公式算出,能与构成锐角三角形三边长的概率,然后再利用随机模拟方法得到,能与构成锐角三角形三边长的概率,二者概率相等即可估计出.【详解】因为,都是区间上的均匀随机数,所以有,,若,能与构成锐角三角形三边长,则,由几何概型的概率计算公式知,所以.故选:B.【点睛】本题考查几何概型的概率计算公式及运用随机数模拟法估计概率,考查学生的基本计算能力,是一个中档题.9、B【解析】

本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件,渗透直观想象、逻辑推理素养,利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断.【详解】由面面平行的判定定理知:内两条相交直线都与平行是的充分条件,由面面平行性质定理知,若,则内任意一条直线都与平行,所以内两条相交直线都与平行是的必要条件,故选B.【点睛】面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理,最容易犯的错误为定理记不住,凭主观臆断,如:“若,则”此类的错误.10、C【解析】

根据定义,求出,即可求出结论.【详解】因为集合,所以,则,所以.故选:C.【点睛】本题考查集合的新定义运算,理解新定义是解题的关键,属于基础题.11、C【解析】

画出函数和的图像,和均关于点中心对称,计算得到答案.【详解】,验证知不成立,故,画出函数和的图像,易知:和均关于点中心对称,图像共有8个交点,故所有解之和等于.故选:.【点睛】本题考查了方程解的问题,意在考查学生的计算能力和应用能力,确定函数关于点中心对称是解题的关键.12、D【解析】

根据指数函数的图象和特征以及图象的平移可得正确的选项.【详解】从题设中提供的图像可以看出,故得,故选:D.【点睛】本题考查图象的平移以及指数函数的图象和特征,本题属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】

由题意可得:,周期为,可得,可求出,最后再求的值即可.【详解】解:函数是定义在上的奇函数,.由周期为,可知,,..故答案为:.【点睛】本题主要考查函数的基本性质,属于基础题.14、【解析】

首先选派男医生中唯一的主任医师,由题意利用排列组合公式即可确定不同的选派案方法种数.【详解】首先选派男医生中唯一的主任医师,然后从名男医生、名女医生中分别抽调2名男医生、名女医生,故选派的方法为:.故答案为.【点睛】解排列组合问题要遵循两个原则:一是按元素(或位置)的性质进行分类;二是按事情发生的过程进行分步.具体地说,解排列组合问题常以元素(或位置)为主体,即先满足特殊元素(或位置),再考虑其他元素(或位置).15、【解析】

利用奇函数的定义得出,结合对数的运算性质可求得实数的值.【详解】由于函数为奇函数,则,即,,整理得,解得.当时,真数,不合乎题意;当时,,解不等式,解得或,此时函数的定义域为,定义域关于原点对称,合乎题意.综上所述,.故答案为:.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求参数,考查了函数奇偶性的定义和对数运算性质的应用,考查计算能力,属于中等题.16、-1【解析】作出可行域,如图:由得,由图可知当直线经过A点时目标函数取得最小值,A(1,0)所以-1故答案为-1三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)证明见解析;(2).【解析】

(1)用数学归纳法证明即可;(2)根据条件可得,然后将用,,表示出来,根据是一个整数,可得结果.【详解】解:(1)令,,则即∴,∴成等差数列,下面用数学归纳法证明数列是等差数列,假设成等差数列,其中,公差为,令,,∴,∴,即,∴成等差数列,∴数列是等差数列;(2),,若存在正整数,使得是整数,则,设,,∴是一个整数,∴,从而又当时,有,综上,的最小值为.【点睛】本题主要考查由递推关系得通项公式和等差数列的性质,关键是利用数学归纳法证明数列是等差数列,属于难题.18、(1)(1)不存在,理由见解析【解析】

(1)利用离心率和过点,列出等式,即得解(1)设的方程为,与椭圆联立,利用韦达定理表示中点N的坐标,用点坐标表示,利用韦达关系代入,得到关于k的等式,即可得解.【详解】(1)由题意,可得解得则,故椭圆的方程为.(1)当直线的斜率不存在时,,不符合题意.当的斜率存在时,设的方程为,联立得,设,则,,,即.设,则,,,则,即,整理得,此方程无解,故的方程不存在.综上所述,不存在直线使得.【点睛】本题考查了直线和椭圆综合,考查了弦长和中点问题,考查了学生综合分析,转化划归,数学运算的能力,属于较难题.19、(1)66.5(2)属于【解析】

(1)利用频率分布直方图的平均数公式求解;(2)求出,即可判断得解.【详解】(1)(2)所以该零件属于“不合格”的零件【点睛】本题主要考查频率分布图中平均数的计算和应用,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20、(1)a=-1,b=1;(2)-1.【解析】(1)对求导得,根据函数的图象在处的切线为,列出方程组,即可求出的值;(2)由(1)可得,根据对任意恒成立,等价于对任意恒成立,构造,求出的单调性,由,,,,可得存在唯一的零点,使得,利用单调性可求出,即可求出的最大值.(1),.由题意知.(2)由(1)知:,∴对任意恒成立对任意恒成立对任意恒成立.令,则.由于,所以在上单调递增.又,,,,所以存在唯一的,使得,且当时,,时,.即在单调递减,在上单调递增.所以.又,即,∴.∴.∵,∴.又因为对任意恒成立,又,∴.点睛:利用导数研究不等式恒成立或存在型问题,首先要构造函数,利用导数研究函数的单调性,求出最值,进而得出相应的含参不等式,从而求出参数的取值范围;也可分离变量,构造函数,直接把问题转化为函数的最值问题.21、(1)分布列见解析,数学期望为6;(2)①;②证明见解析【解析】

(1)变量的所有可能取值为4,5,6,7,8,分别求出对应的概率,进而可求出变量的分布列和数学期望;(2)①得2分只需要抛掷一次正面向上或两次反面向上,分别求出两种情况的概率,进而可求得;②得分分两种情况,第一种为得分后抛掷一次正面向上,第二种为得分后抛掷一次反面向上,可知当且时,,结合,可推出,从而可证明数列为常数列;结合,可推出,进而可证明数列为等

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