CG-7 几何造型技术

第7章几何造型技术主要内容：7.0三维图形学的基本问题7.1三维模型7.2实体造型技术7.3分形几何法11、如何在二维屏幕上显示三维物体显示器屏幕、图纸等是二维的显示对象是三维的解决方法投影7.0三维图形学的基本问题2二、如何反映遮挡关系物体之间或物体的不同部分之间存在相互遮挡关系遮挡关系是空间位置关系的重要组成部分解决方法消除隐藏面与隐藏线7.0三维图形学的基本问题3三、如何产生真实感图形人们观察现实世界产生的真实感来源于空间位置关系近大远小的透视关系和遮挡关系物体表面颜色光线传播引起的物体表面颜色的自然分布解决方法建立光照明模型、开发真实感图形绘制方法7.0三维图形学的基本问题4三维图形学的基本研究内容用二维来表示三维（投影）消除隐藏面与隐藏线（消隐处理）建立光照明模型、真实感图形绘制方法（真实感图形设计）7.0三维图形学的基本问题57.1三维模型模型分类6一、数据模型完全以数据来描述用8个顶点表示的立方体A1(0,0,0)A2(0,0,1)…A8(1,1,1)以中心点和半径表示的球O（0，0，0）R＝707.1三维模型71、线框模型线框模型将形体表示成一组轮廓线的集合与形体之间不存在一一对应关系是真实物体的高度抽象表示简单、处理速度快7.1三维模型8顶点坐标值1

0,0,12

1,0,13

1,1,14

0,1,05

0,0,06

1,0,07

1,1,08

0,1,0棱边顶点号

1 1,22 2,33 3,44 4,15 5,66 6,77 7,88 8,59 1,57 2,611 3,712 4,87.1三维模型线框模型的数据结构

9线框模型的特点线框模型不表示面的信息对线框模型描述的实体可能有不同的理解线框模型不能表示出物体的完整信息三维线框模型可能表示不出实体的轮廓线7.1三维模型102、表面模型表面模型将形体表示成一组表面的集合形体与其表面一一对应，适合于真实感显示7.1三维模型11表面模型的数据结构在线框模型的基础上附加一个反映有关面的信息表表面棱边表

11,2,3,425,6,7,831,7,5,942,11,6,753,12,7,1164,9,8,127.1三维模型123、实体模型用来描述实体，主要用于CAD/CAM包含了描述一个实体所需的较多信息，如几何信息、拓扑信息7.1三维模型13数据建模的特点优点：数据建模方法历史最久，建立在牢固的数学基础上在需要精确描述的场合中（如CAD）,有其它方法无法替代的作用缺点：如果场景复杂，建模困难绘制速度慢7.1三维模型14二、过程模型(基于分形建模)对于自然景物的模拟非常逼真尤其在生态环境的模拟方面，是当前最有效的方法精确性不高分形描述的是具有自相似性的物体，所以它无法达到几何模型的精确性算法比较复杂分形中由于细节的无限性，在绘制时，相交检测、可视点的测定等算法比较复杂7.1三维模型157.2实体造型技术实体造型技术7.2.1实体造型7.2.2实体的正则性7.2.3实体造型技术167.2.1实体造型造型技术研究如何在计算机中建立适当的模型，来表示真实世界的物体三维欧氏几何实体描述基本三维几何实体由点、线、面构成复杂三维几何实体由简单的基本三维几何实体组合构成17正则实体指三维几何实体中不包含独立存在的低维部分，如二维的面、一维的线、零维的点。也就是通常所说的悬面、悬边或孤点7.2.2实体的正则性18几何元素正则形体面边点是形体表面一部分只有两个邻面至少和三个面（或三条边）邻接7.2.2实体的正则性正则实体的要求19集合运算集合运算（并、交、差）是构造形体的基本方法正则形体经过集合运算后，可能会产生悬边、悬面二个二维图形的交产生一个退化的结果7.2.2实体的正则性20正则化处理正则化处理是保证集合运算的结果仍是一个正则形体，即丢弃悬边、悬面等7.2.2实体的正则性21欧拉公式简单多面体（即三维实体上没有孔）顶点（v）－边数（e）＋面数（f）＝27.2.2实体的正则性22任意的正则形体引入形体的其它几个参数：实体所有面上的内孔（内环）数(r)实体的通孔数(h)实体个数(s)则形体满足公式：顶点－边数＋面数－环数＋2通孔数－2实体数=0即：v-e+f-r+2h-2s=07.2.2实体的正则性23欧拉公式：v-e+f-r+2h-2s=0如图a中，v=8、e=12、f=6、r=0、h=0、s=1满足欧拉公式如图b中，v=14、e=21、f=9、r=2、h=1、s=1满足欧拉公式7.2.2实体的正则性24257.2.3实体造型技术实体造型技术分类：（一）实体分解表示（二）实体构造表示（三）实体边界表示26表示原理将形体按某种规则分解为小的易于描述的部分每一小部分又可分为更小的部分直至每一小部分都能够直接描述为止表示方法1、空间位置枚举2、八叉树法3、单元分解（一）实体分解表示271、空间位置枚举法选择一个立方体空间，将它均匀划分（一）

实体分解表示28空间位置枚举表示用三维数组C[i][j][k]表示物体，数组中的元素与单位小立方体一一对应当C[i][j][k]=1时，表示对应的小立方体被物体占据当C[i][j][k]=0时，表示对应的小立方体没有被物体占据（一）

实体分解表示29空间位置枚举法的优点可以表示任何物体容易实现物体间的集合运算容易计算物体的整体特征，如体积等空间位置枚举法的缺点占用大量的存储空间，如1024*1024*1024=1Gb没有边界信息，不适于图形显示对物体进行几何变换困难，如非90度的旋转变换是物体的非精确表示（一）

实体分解表示302、八叉树法对空间位置枚举表示的空间分割方法作了改进均匀分割自适应分割建立过程八叉树的根节点对应整个物体空间；如果它完全被占据，将该节点标记为F，算法结束；如果它内部为空，将该节点标记为E，算法结束；如果它被物体部分占据，将该节点标记为P,并将它分割成8个子立方体对每一个子立方体进行上述同样的处理（一）

实体分解表示31

（一）

实体分解表示32八叉树法的优点可以表示任何物体容易实现物体间的集合运算容易计算物体的整体性质，如体积等八叉树法的缺点没有边界信息，不适于图形显示对物体进行几何变换困难是物体的非精确表示（一）

实体分解表示33（一）

实体分解表示3、单元分解表示对空间位置枚举表示的空间分割方法作了改进单一体素多种体素34（一）

实体分解表示单元分解表示的优点表示简单容易实现几何变换基本体素可以按需选择，表示范围较广可以精确表示物体单元分解表示的缺点物体的表示不唯一物体的有效性难以保证35（一）

实体分解表示三种空间分割方法的比较空间位置枚举表示同样大小立方体粘合在一起表示物体八叉树表示不同大小的立方体粘合在一起表示物体单元分解表示不同形状的几何体粘合在一起表示物体36（二）实体构造表示表示原理按照实体生成过程来定义形体的方法表示方法1、扫描表示2、构造实体几何(CSG)表示3、特征表示371、扫描法扫描表示一个基体（一般是一个封闭的平面轮廓）沿某一路径运动而产生形体扫描表示的两个分量一个是被运动的基体，另一个是基体运动的路径运动方式：平移、旋转、对称等基体的形状可以不变，也可以变化如果变化，还要给出变化的规律（二）

实体构造表示38平移扫描将一个二维区域沿着一个矢量方向推移（二）

实体构造表示39旋转扫描将一个二维区域绕旋转轴旋转一周（二）

实体构造表示40（二）

实体构造表示将物体A沿着轨迹P推移得到物体B，称B为sweep体41扫描法的应用三维几何实体的绘制拉伸、旋转三维几何实体的编辑拉伸面、着色面曲面的绘制拉伸、旋转（二）

实体构造表示42（二）

实体构造表示2、构造实体几何(CSG)表示CSG（ConstructiveSolidGeometry）表示方法将简单的基本几何实体通过集合的交、并、差运算产生复杂的几何实体常用的基本几何实体长方体、球体、圆柱体、圆锥体、圆环体等复杂几何实体可由基本几何实体经集合运算生成生成过程可以用二叉树（CSG树）来描述43二叉树（CSG树）（二）

实体构造表示44CSG树构造法的优点表示简单、直观可做为图形输入手段容易计算物体的整体性质CSG树构造法的缺点表示不唯一不能直接用于显示求交计算麻烦（二）实体构造表示453、特征表示用一组特征参数表示一族类似的物体特征包括形状特征、材料特征等适用于工业上标准件的表示（二）

实体构造表示46边界表示的原理物体的边界与物体一一对应，确定了物体的边界也就确定了物体本身。按照体－面－环－边－点的层次，详细记录构成形体的所有几何元素的几何信息及其拓扑关系边界表示（BoundaryRepresentation）是几何造型中最成熟、无二义的表示法（三）实体边界表示47（三）实体边界表示48边界表示的优点精确表示物体表示能力强几何变换容易适于显示处理边界表示的缺点表示复杂有效性难以保证集合运算复杂（三）实体边界表示49分解表示扫描表示特征表示边界表示构造实体几何表示精确性表示域唯一性封闭性简洁性输入输出近似精确有条件精确有条件精确有条件精确有限有限任何实体任何实体有条件有限唯一不唯一封闭封闭不封闭不能进行集合运算有条件复杂简洁简洁简洁介于两者之间面向用户面向用户面向用户支持加工支持计算几种方法的比较507.3分形几何方法分形几何方法欧氏几何主要描述的是直线、平滑的曲线平面及边界整齐的平滑曲面对于复杂的自然景象，难以表示诸如山、树、草、火、云、波浪等，因为从欧氏几何来看，它们是极端无规则的为了解决复杂图形生成问题，可采用分形造型方法51分形造型对模型的基本要求：能“逼真”地“再现”自然景象“逼真”是指从视觉效果上逼真“再现”即不要求完全一致⒉模型不依赖于观察距离距离远时可给出大致轮廓和一般细节距离近时能给出更丰富细节3.模型应便于交互地修改4.图形生成的效率要高5.模型适用范围应尽可能地广7.3分形几何方法52例1：Koch雪花曲线将一个等边三角形的三边都三等分，在中间的那一段再凸起一个小三角形，这样一直下去。

Koch曲线的形状类似于雪花，因此也称为雪花曲线7.3分形几何方法537.3分形几何方法54Vonkochsnowflake55例2:测量海岸线长度用一个1000m的尺子,可以得到一个长度为L1测量会漏掉许多小于1000m的小湾，因而结果不精确如果尺子缩到1m，得到一个新的结果L2，显然L2>L1一般来说，如果用长度为r的尺子来量，将会得到一个与r有关的数值L(r)与Koch的雪花一样r→0，L(r)→∞海岸线长度是不确定的，它与测量用的尺子长度有关7.3分形几何方法56Koch雪花和海岸线长度的共同特点：无限细节任意小的局部范围内都有无限的细节，