第一讲数学建模

第一讲什么是数学建模玩具、照片、飞机、火箭模型……~实物模型水箱中的舰艇、风洞中的飞机……~物理模型地图、电路图、分子结构图……~符号模型模型是为了一定目的，对客观事物的一部分进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征1.1

从现实对象到数学模型我们常见的模型你碰到过的数学模型——“航行问题”用x

表示船速，y表示水速，列出方程：答：船速每小时20千米/小时.甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需30小时，从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速度是多少?x=20y=5求解航行问题建立数学模型的基本步骤

作出简化假设（船速、水速为常数）；

用符号表示有关量（x,y表示船速和水速）；

用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以时间）列出数学式子（二元一次方程）；

求解得到数学解答（x=20,y=5）；

回答原问题（船速每小时20千米/小时）。数学模型(MathematicalModel)和数学建模（MathematicalModeling)对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其内在规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。建立数学模型的全过程（包括表述、求解、解释、检验等）数学模型数学建模1.2

数学建模的重要意义

电子计算机的出现及飞速发展；

数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步，越来越受到人们的重视。

在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地；

在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具；

数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地。数学建模的具体应用

分析与设计

预报与决策

控制与优化

规划与管理数学建模计算机技术知识经济如虎添翼女孩子都爱美，你知道你穿鞋跟多高的鞋子看起来最美吗？1.3.1

高跟鞋问题1.3

数学建模示例穿高跟鞋是为了身高在视觉上得到增加，但是身高越高看起来越美吗？理解问题合理化假设由黄金分割原理，我们不妨假定，当人的下肢和身高的比为0.618时，看起来最美。设某人身高为h厘米，下肢长l厘米，高跟鞋的鞋跟为x厘米。转化为数学问题穿上高跟鞋后，身高为h+x厘米，下肢长l+x厘米。得到一个关于x的一次方程：问题的求解解该一次方程，得：问题的检验以身高168CM，下肢长为102CM的人为例，其所穿鞋的鞋跟高度与好看程度的关系可由下表说明：原比(l/h)身高(cm)鞋跟高度(cm)新比值０.６０７１０.６０７１０.６０７１０.６０７１１６８１６８１６８１６８２.５３.５５４.５４.７７４８０.６１２９０.６１５１０.６１７３０.６１８问题的检验又如，按照上述模型，身高153CM，下肢长为92CM的女士，应穿鞋跟高为6.6CM的高跟鞋显得比较美。评价和应用由此看来，女孩们爱穿高跟鞋是有科学依据的，也使人联想到为什么人们观看芭蕾舞的时候有一种美的感受，可当你看踩高翘表演时就没有这种感觉。这下女生知道应该如何选择合适的高跟鞋了吧！1.3.2

乌鸦能喝到水吗？小学课文：一只乌鸦口渴了，到处找水喝。乌鸦看见一个瓶子，瓶子里有水。可是瓶子里水不多，瓶口又小，乌鸦喝不着水，怎么办呢？乌鸦看见旁边有许多小石子，想出办法来了。乌鸦把小石子一个一个地放进瓶子里。瓶子里的水渐渐升高，乌鸦就喝着水了。可是，乌鸦真的能喝到水吗？理解问题不难想象，当乌鸦把各种各样的小石子扔到瓶子里时，石子之间是不可能没有空隙的。如果石子之间的空隙较大，而瓶子里的水又较少，那么乌鸦即使将瓶子填满也无法喝到水。那么瓶子里到底应当有多少水，乌鸦才能喝到水呢？显然水的体积大于空隙的体积，乌鸦才能喝到水。因此我们可以从几何体积计算的角度，重新认识乌鸦喝水问题。合理化假设

显然该问题与瓶子和石子的形状及其排列方式有关，为简单起见我们假设：瓶子是正方体的且不考虑瓶口的体积。乌鸦投进的石子是大小相同的球体。瓶子中摆放的方法如图1所示图1瓶子的边长是石子直径的整数倍，不妨设为n倍（显然，如果不是整数倍的话，那石子间的空隙会更大，不利于乌鸦喝到水）石头内部渗进的水忽略不计。转化为数学问题一个边长为n*a的正方体中放入n3个边长为a的球，求其空隙部分的体积占总体积的比例。问题的求解下面我们首先证明球体的大小与球体占据正方体空间的总和无关，为此我们设瓶中仅放入一个最大的球体（假如能放入的话）如图2所示。

图2由于图1中有n3个小正方体，而每个小正方体与图2的情况相同，每个小球都内切于一个小正方体。

设大立方体的体积为V，其内切球体积为V球，小立方体的体积为Vi，小球的体积为Vi球，显然：

由等比定理得：

由此可知球的大小与所占空间总和无关，于是容易计算出球体所占空间体积与瓶子体积比为：即空隙部分的体积与瓶子体积比约为48%。这表明，按上述条件，当瓶中的水不足瓶子容积的48%时，乌鸦将难以喝到水。评价和应用假如乌鸦聪明得很，能使石子彼此之间挨得更紧密些，那么空隙部分也得占瓶子1/3左右（只是计算麻烦些，读者可举一实例验证之）上述计算仅对特殊情况的一种粗略计算，但这也实在难为乌鸦了，不过这不能不使我们考虑这样一个事实，在日常生活中，应当怎样地充分利用空间，减少浪费，获得更高的效益，这正是数学所需要解决的问题。

数学建模的基本方法机理分析测试分析根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律将对象看作“黑箱”,通过对量测数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型机理分析没有统一的方法，主要通过实例研究(CaseStudies)来学习。以下建模主要指机理分析。二者结合用机理分析建立模型结构,用测试分析确定模型参数1.4

数学建模的方法和步骤

数学建模的一般步骤模型准备模型假设模型构成模型求解模型分析模型检验模型应用模型准备了解实际背景明确建模目的搜集有关信息掌握对象特征形成一个比较清晰的‘问题’模型假设针对问题特点和建模目的作出合理的、简化的假设在合理与简化之间作出折中模型构成用数学的语言、符号描述问题发挥想像力使用类比法尽量采用简单的数学工具

数学建模的一般步骤模型求解各种数学方法、软件和计算机技术如结果的误差分析、统计分析、模型对数据的稳定性分析模型分析模型检验与实际现象、数据比较，检验模型的合理性、适用性模型应用

数学建模的一般步骤数学建模的全过程现实对象的信息数学模型现实对象的解答数学模型的解答表述求解解释验证(归纳)(演绎)表述求解解释验证根据建模目的和信息将实际问题“翻译”成数学问题选择适当的数学方法求得数学模型的解答将数学语言表述的解答“翻译”回实际对象用现实对象的信息检验得到的解答实践现实世界数学世界理论实践1.5

数学模型的特点和分类模型的逼真性和可行性模型的渐进性模型的强健性模型的可转移性模型的非预制性模型的条理性模型的技艺性模型的局限性

数学模型的特点数学模型的分类应用领域人口、交通、经济、生态……数学方法初等数学、微分方程、规划、统计……表现特性描述、优化、预报、决策……建模目的了解程度白箱灰箱黑箱确定和随机静态和动态线性和非线性离散和连续数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术技术大致有章可循艺术无法归纳成普遍适用的准则想像力洞察力判断力

学习、分析、评价、改进别人作过的模型

亲自动手，认真作几个实际题目1.6怎样学习数学建模

1985年美国出现了一种叫MCM(MathematicalContestinModeling)的一年一度的大学生数学建模竞赛。考题由工业或政府部门工作的数学家提出，从中选择没有固定范围的实际问题。比赛时间3天，要求在3天的持续时间内参赛队要以有清楚定义的格式写出解法论文。参赛队可以使用包括计算机、软件包、书、杂志等一切外部资源。我国大学生1989年开始参加美国大学生数学建模竞赛；我校2011年开始参加美国大学生数学建模竞赛。1.7

大学生数学建模竞赛竞赛每年九月举行，在指定网站公布竞赛题，参赛选手届时通过网络下载并完成题目。三人一组报名参加，72小时合作完成一个题目。共四题，本科A、B中选1题，专科C,D中选1题。解答过程写成论文提交。一般要用计算机软件编写程序计算出结果。可以查阅图书及网络等资料，但要保证自己的独创性，不能与他人雷同。

我国高校于1990年在上海举办上海市大学生数学模型竞赛；西安1992年4月举办西安市第一届大学生数学建模竞赛；1992年11月举行全国大学生数学建模竞赛；以后每年举办一次。我校从1994年开始参加全国大学生数学建模竞赛。

这三人中必须一人数学基础较好；一个应用数学软件（如Matlab,londo,maple等）和编程（如C，Matlab等）的能力较强；一个科技论文写作的水平较好；科技论文的写作要求整篇论文的结构严谨，语言要有逻辑性，用词要准确；三人之间要能够配合默契。三人之间配合不好，会降低效率，导致整个建模的失败。根据数学建模竞赛章程，三人组成一队1.摘要2.问题的叙述，问题的分析，背景的分析等，

3.模型的假设，符号说明（表）4.模型的建立（问题分析，公式推导，基本模型，最终或简化模型

等）

5.模型的求解6.模型检验:结果表示、分析与检验，误差分析，……7.模型评价:特点，优缺点，改进方法，推广…….8.参考文献9.附录：计算框图、详细图表……1.8撰写数学建模论文1、某甲早8时从山下旅店出发沿一路径上山，下午5时到达山顶并留宿。次日早8时沿同一路径下山，下午5时回到旅店。某乙说，甲必在两天中的同一时刻经过路径中的同一地点，为什么？看谁答得快2、某人家住T市在他乡工作，每天下班后乘火车于6时抵