电路分析基础教案(第6章)

第六章一阶电路

第二篇动态电路的时域分析1第六章一阶电路

在上章基础上，本章和下章讨论动态电路的响应，只限一阶和二阶电路。只含一个独立的动态元件的线性、时不变电路，是用线性、常系数一阶常微分方程来描述的。用一阶微分方程来描述的电路称为一阶电路。当电路中含有二个或n个动态元件，建立的方程为二阶或n阶微分方程，其电路称为二阶或n阶电路。注意复习高等数学微分方程求解部分！！！2第六章一阶电路

§1分析动态电路的基本原理§2动态电路的叠加原理

§3三要素法§4

瞬态和稳态

关键概念3第一节分解方法在动态电路分析中的运用第六章一阶电路

4

§6-1分解方法在动态电路分析中的运用含电容的一阶电路0.5A2Ω0.25F2Ω+2t-i(t)+u(t)-如何求解含有电容的一阶电路的电流和电压？??5

§6-1分解方法在动态电路分析中的运用含源一阶电路含源电阻电路含源电阻电路1、一阶电路的分解

一阶电路可以采用§4-1中的分解方法进行分析。这样，电路可看成由两个单口网络组成，如图所示。其一，静态电路：含有所有的电源及电阻元件；其二，动态电路：只含有一个动态元件。6

§6-1分解方法在动态电路分析中的运用含源电阻电路含源电阻电路

根据电源等效原理可以化简为如下图所示电路，即可求解。戴维南等效电路。诺顿等效电路。7

§6-1分解方法在动态电路分析中的运用1、单一电容元件电路，如图所示。uc(t)++++++------i(t)C含源电阻网络

含源电阻网络部分用戴维南定理简化后，电路如下图所示。首先求得单口网络的端口电压，亦即状态变量：电容电压uc。又如何求？如何求？8

§6-1分解方法在动态电路分析中的运用设为关联参考方向，由KVL可得回路电压方程：uRO(t)+uC(t)=uOC(t)，由元件VCR可得：uR0(t)=R0i(t)，i(t)=C（duC(t)/dt），代入回路电压方程，可得：R0C（duC(t)/dt）+uC(t)=uOC(t)，求解条件？给定初始条件uC(t0)以及t≥t0时的uOC(t)，便可解出t≥t0时的uC(t)。9

§6-1分解方法在动态电路分析中的运用iSC(t)iC(t)C++++++------uC(t)G0化简

类似地，对含源电阻网络部分用诺顿定理简化后，电路如图所示。首先求得单口网络的端口电压，亦即状态变量：电容电压uc。10

§6-1分解方法在动态电路分析中的运用iSC(t)iC(t)C++++++------uC(t)G0代入上式，可得：C（duC(t)/dt）+G0uC(t)=iSC(t)，同样，给定初始条件uC(t0)以及t≥t0时的iSC(t)，便可解出t≥t0时的uC(t)。设为关联参考方向，由KCL可得：iC(t)+iGO(t)=iSC(t)，由元件VCR可得：iC(t)=C（duC(t)/dt，iG0(t)=GOuGO(t)=GOuC(t)，11

§6-1分解方法在动态电路分析中的运用uc(t)++++++------i(t)c含源电阻网络

可根据置换定理以电压源uC(t)去置换电容，使原电路变换成为一个电阻电路，如图所示。然后，运用电阻电路的分析方法就可求出t≥t0时所有的支路电流和电压。

采用戴维南或诺顿定理求得uC(t)后，如何求解其他支路的电流和电压？？？12

§6-1分解方法在动态电路分析中的运用2、单一电感元件电路，如图所示。uL(t)++++++------i(t)L含源电阻网络分割含电感的一阶电路L如何求？13

§6-1分解方法在动态电路分析中的运用uocui(t)L------(t)++++++++++++------uL(t)R0化简L

含源电阻网络部分用戴维南定理简化后，电路如图所示。首先求得单口网络的端口电流，亦即状态变量：电感电流iL。又如何求？然后呢？14

§6-1分解方法在动态电路分析中的运用设为关联参考方向，由KVL可得:uR0(t)+uL(t)=uOC(t)，由元件VCR可得:uR0(t)=R0iL(t)，uL(t)=L（diL(t)/dt），代入上式，可得：R0iL(t)+L（diL(t)/dt）=uOC(t)，求解条件？uocui(t)L------(t)++++++++++++------uL(t)R0L给定初始条件iL(t0)以及t≥t0时的uOC(t)，便可解出t≥t0时的iL(t)。15

§6-1分解方法在动态电路分析中的运用scii(t)L(t)++++++------uL(t)G0L

类似地，对含源电阻网络部分用诺顿定理简化后。进而求得单口网络的端口电流，亦即电感电流iL。设为关联参考方向，由KCL及元件的VCR可得：G0L（diL(t)/dt）+iL(t)=iSC(t)，同样，给定初始条件iL(t0)以及t≥t0时的iSC(t)，便可解出t≥t0时的iL(t)。16

§6-1分解方法在动态电路分析中的运用iL(t)++++++------u(t)含源电阻网络置换

运用电导（阻）电路的分析方法就可求出t≥t0时所有的支路电流和电压。uL(t)++++++------i(t)L含源电阻网络L

同样，采用戴维南或诺顿定理求得iL(t)，便可根据置换定理以电流源iL(t)去置换电感，使原电路变换成为一个电导（阻）电路。17

§6-1分解方法在动态电路分析中的运用3、动态电路的求解第一步：首先分解一阶动态电路；uL(t)++++++------i(t)L含源电阻网络分割含电感的一阶电路L18

§6-1分解方法在动态电路分析中的运用uocui(t)L------(t)++++++++++++------uL(t)R0化简L第二步：求含源电阻网络的戴维南或诺顿等效电路；iSC(t)iC(t)C++++++------uC(t)G0化简scii(t)L(t)++++++------uL(t)G0L19

§6-1分解方法在动态电路分析中的运用R0C（duC(t)/dt）+uC(t)=uOC(t)，C（duC(t)/dt）+G0uC(t)=iSC(t)，戴维南等效电路：诺顿等效电路：iSC(t)i(t)C++++++------uC(t)G0化简第三步：列写一阶常微分方程，求出电阻单口网络与动态元件相连处的状态变量（uC、iL）；对电容一阶电路采用电源等效原理进行化简。20

§6-1分解方法在动态电路分析中的运用R0iL(t)+L（diL(t)/dt）=uOC(t)，G0L（diL(t)/dt）+iL(t)=iSC(t)。对电感一阶电路采用电源等效原理进行化简。戴维南等效电路：诺顿等效电路：-oci(t)L-----(t)++++++++++++------uL(t)R0化简Luscii(t)L(t)++++++------uL(t)G0L21

§6-1分解方法在动态电路分析中的运用第四步：利用置换定理置换动态元件；iL(t)++++++------u(t)含源电阻网络置换第五步：利用电阻电路分析方法即可求出电路中其他任一变量。对电容一阶电路采用电压源置换。对电感一阶电路采用电流源置换。22

§6-1分解方法在动态电路分析中的运用

综上所述，从分解方法观点上看，处理一阶电路最关键的步骤是：求得：uC(t)或iL(t)，即：电路的状态变量。23

§6-1分解方法在动态电路分析中的运用本节要点：（1）分解在一阶动态电路中的应用，（2）求解一阶电路的步骤。24第二节零状态响应第六章一阶电路

251、一些概念

稳态和暂态、零状态、零输入、全响应。

在第一篇（第一章~第四章）中，对于静态电路的分析，其状态恒定不变，所以属于电路的稳态分析。

§6-2零状态响应含源一阶电路含源电阻电路含源电阻电路26稳态所谓稳态是指电路在直流或正弦激励下，其状态恒定不变或按正弦规律周期变化，即其响应保持为常数或为同频率的正弦量。

§6-2零状态响应含源一阶电路含源电阻电路含源电阻电路27

在稳态电路中，包括直流电路及采用相量分析的正弦电路，所有元件的约束关系（VCR）均为代数方程。

计算这类电路的电压和电流时，根据KL定律及元件本身的VCR所得到的方程也是代数方程。

§6-2零状态响应含源一阶电路含源电阻电路含源电阻电路28瞬态

对于含有动态元件的动态电路，在达到一种稳定状态之前，一般要经过一个过渡过程。通常这个过程很短暂，故称为瞬变过程或暂态过程。

§6-2零状态响应一阶电路电阻电路电阻电路29

§6-2零状态响应零状态电路

是指初始状态为零的电路。零状态响应

就是电路在零初始状态下，即动态元件初始储能为零，由外加激励引起的响应。含源一阶电路含源电阻电路含源电阻电路uC(t0)=0iL(t0)=030

§6-2零状态响应零输入电路

是指初始状态不为零的电路。零输入响应

是电路在没有外加激励时，而仅由初始状态产生的响应。无源一阶电路无源电阻电路无源电阻电路uC(t0)≠0iL(t0)≠031

§6-2零状态响应全响应所有响应的和，即：全响应=零状态响应+零输入响应。含源一阶电路含源电阻电路含源电阻电路uC(t0)≠0iL(t0)≠032

§6-2零状态响应

本节主要讨论R-C和R-L电路的零状态响应。

动态分析的任务就是求解动态电路的过渡过程或暂态过程，找出这时电路中的电压和电流随时间变化的规律。含源一阶电路含源电阻电路含源电阻电路uC(t0)=0iL(t0)=033

§6-2零状态响应概念回顾。上章提到的关键概念：电容电压、电感电流的连续性，即：其它电流、电压，特别是：不一定是连续的。34

§6-2零状态响应(b)工作状态，§7(a)因果关系，§2

两个着眼点全响应=零状态响应+零输入响应。全响应=稳态响应+暂态响应。2、动态电路的叠加原理

叠加原理在动态电路的（全响应）分析中起着非常重要的作用，本章从两个方面来讨论。35

§6-2零状态响应（1）从激励和响应的因果关系分析RC串联等效电路的全响应，如图所示。

设在t=t0时，图中电容电压为uC(t0)。则根据电容等效电路，可将单一电容元件电路在t≥t0时等效为：36

§6-2零状态响应

从物理意义上说，uC(t0)是t<t0时电流对电容的充电的结果，如果关心的只是t≥t0电路的表现，知道t=t0时uC(t0)的值就足够了。37

§6-2零状态响应

同时，在该等效电路中，也只需要知道uS(t)，t≥t0即可。需要注意：尽管us在t=t0时可能是不连续的，但uC(t0-)=uC(t0+)，即电容电压在t=t0时却是连续的。38

§6-2零状态响应（2）叠加原理的运用

等效电路中存在两个独立电压源。

根据叠加定理，该电路中任一电压、电流，如uC(t)是两个电源分别单独作用时产生的两个分量的代数和。39

§6-2零状态响应

把在零初始状态下，仅由电路的输入uS(t)所引起的响应称为零状态响应；40

§6-2零状态响应

把在零输入状态下，仅由非零初始状态uC(0)所引起的响应称为零输入响应；这两个响应分别与自己的激励成比例。uC"(t)=初始电压源单独作用时的响应41

§6-2零状态响应

两种响应之和称为全响应，即当外加激励和初始状态都不为零时一阶电路的响应称为全响应。全响应=零状态响应+零输入响应，

上述三种响应是电路分析中都会遇到的，本章将分别予以讨论。42

§6-2零状态响应2、RC一阶电路零状态响应uC(t)

对于RC电路，t≥0时的零状态响应是指：在uC(0)=0的条件下，由t≥0时的输入uS(t)所产生的响应。43

§6-2零状态响应

可以用t=0时开关的闭合即“换路”来表明uS(t)=US、t≥0。tusUs0

设：已知t≥0时输入为图示的阶跃信号，其值为US。44

§6-2零状态响应求解状态变量uc(t)？由两类约束得：

初始电压为零可能意味着：可能是电容从未充过电；也可能是被充过电，但此时所充电压已消失殆尽。t≥0

加上初始条件：)()(+-=0u0uCC便可解出uc(t)。

所以初始条件可更为准确地表示为：45

§6-2零状态响应（1）uC(t)变化趋势

由于电容电压不能跃变，开关闭合前一瞬间uC(0-)既然为零，那么在闭合一瞬间uC(0+)也必须为零，尽管此时US已经接通。

因此，在t=0-时电压US全部加在电阻两端，充电电流iC(0+)=US/R，开始对电容充电。SCURCdtdu=+0ciC=+(0)此时电容电压的变化率应为：46

§6-2零状态响应

一旦电容电压开始增长，导致电阻电压的减少，充电电流必随之减小，直至趋于零，电容如同开路，充电停止。

因此，uC的变化趋势是：起先增长很快，随着uC的增长，增长越来越慢，直至趋于US，电容充电完毕。

当直流电路中电压和电流都不随着时间变化时，称电路进入了直流稳态。

此时：uC(t)=US，或uC(∞)=US。47

§6-2零状态响应（2）零状态响应uC(t)的求解t≥0

t≥0

解上述RC一阶电路微分方程可用直接积分法：48

§6-2零状态响应由初始条件uC(0)=0，可得：k=－lnUS；代入后可得：

这一响应是由零值开始按指数规律上升趋向于稳态值的。49

§6-2零状态响应uC(t)按指数律增长，趋于其直流稳态值US。反映了储能由零增长至的过程—充电过程。（3）零状态响应uC(t)的波形图①②uCt500

§6-2零状态响应（4）变化规律的核心部分

变化规律的核心部分②是指数函数：

此处K=US。其中RC乘积的量纲为时间，令τ=RC，称为时间常数。τ决定uC等变化的快慢。②51

§6-2零状态响应切距：在t=0+处，切线的斜率为-K/τ，即得切线与横轴的焦点（切距）为τ。0次切距：指数曲线上任意一点的次切距也等于τ。这说明，曲线上任意一点，如果以该点的斜率为固定变化率衰减，经过τ时间后为零值。52

§6-2零状态响应（5）时间常数τ的物理意义53

§6-2零状态响应（a）t=5τ时，f(t)已为K的0.674%，趋近零。工程上取t=(4-5)τ作为衰减到零的时刻。054

§6-2零状态响应（b）τ越大则衰减到零所需的时间越长，即变化慢。0即uC(t)到达US值所需时间越长。55

§6-2零状态响应（c）τ=RC，C越大则表示可储存的容量越大，而R越大则表示充电电流越小，则表示uC(t)到达US值所需时间越长。注意：充电快慢与US大小无关!56

§6-2零状态响应

根据已求出的uC(t)，可求得iC(t)为：（6）零状态响应iC(t)的求解t≥0

)(0+CSCiURdtdu=Ci=C-etRC=-etτ(t)tiCUs/R0τ2τ3τ4τt=0+时，iC(0+)=US/R，波形如图所示。57

§6-2零状态响应注意：t=0-时，uC、iC均为零，而t=0+时，uC仍保持为零，即：uC(0-)=uC(0+)=0，而iC则跃变为US/R，即：iC(0-)iC(0+)=US/R。因此，在t=0时，uC是连续的，而iC则是不连续的。uCtiCUs/R0τ2τ3τ4τ58

§6-2零状态响应（7）电源总能量

若输入为直流电压US，uC最终将达US值。uC的零状态响应反映电容的储能从无到有的增长过程，最终达到US值。电容的储能为：这能量与R的大小无关。

在充电过程中，电阻消耗的总能量W为：òo∞iC2(t)Rdt=òo∞US2Re2tRCdt=US2Re2tRCRC2()0∞解出：W=59

§6-2零状态响应

由此可见，在充电过程中电阻所消耗的总能量与电容最后所储存的能量相等，充电效率为50%。

电源提供的总能量为：2SCU+=60

§6-2零状态响应3、RL一阶电路的零状态响应iL(t)

对于RL电路，t≥0时的零状态响应是指：在iL(0)=0的条件下，由t≥0时的输入uS(t)所产生的响应。suL------(t)++++++iL(t)Rt≥０61

§6-2零状态响应

与RC电路类似，也可以用t=0时开关的闭合来表明uS(t)=US、t≥0。tusUs0

设t≥0时输入为图示的阶跃信号，其值为US。L------t=０++++++RiL(t)UsL+-RuS(t)t≥0iL(t)62

§6-2零状态响应求解状态变量iL(t)：关联参考方向时，由两类约束得：

初始电流为零：可能是电感从未充过电；也可能是被充过电，但此时所充电流已消失殆尽。)()(+-=0i0iLL便可解出iL(t)。L------t=０++++++RiL(t)Usdtt≥0

SLLURidiL=+加上初始条件：0)0(=Li

所以初始条件可更为准确地表示为：63

§6-2零状态响应（1）iL(t)变化趋势

由于电感电流不能跃变，开关闭合前一瞬间iL(0-)既然为零，那么在闭合一瞬间iL(0+)也必须为零，电阻的电流也为零，尽管此时US已经接通。

因此，在t=0-时电压US全部加在电感两端，充电电压uL(0+)=US，开始对电感充电。SLULdtdi=+0即SLUdtdi=+0L

此时电感电流的变化率应为：L------t=０++++++RiL(t)Us64

§6-2零状态响应

一旦电感电流开始增长，导致电阻电压的增加，电感电压必随之减小，直至趋于零，电感如同短路。

因此，iL的变化趋势是：起先增长很快，随着iL的增长，增长越来越慢，直至电感电压趋于0。

这时，全部电源电压都加在了电阻两端。电路中电流不再变化，电路进入了直流稳态。此时有：iL（t）=US/R，或iL（∞）=US/R。L------t=０++++++RiL(t)Us65

§6-2零状态响应（2）零状态响应iL(t)的求解0)(R³-=-teUtitLSLR0)1(R³--teUtLSR=USR

这一响应是由零值开始按指数规律上升趋向于稳态值US/R的。

类似前面RC电路零状态响应的求解步骤，可求得：66

§6-2零状态响应iL(t)按指数律增长，趋于其直流稳态值US/R。反映了储能由零增至的过程—充电过程。（3）零状态响应iL(t)的波形图

)(R-=-eUtitLSLRUSR①②iL()tLiL221US/RiL(t)iL-Rt/LeUSR67)(R-=-eUtitLSLRUSR

§6-2零状态响应（4）变化规律的核心部分

此处K=US/R。其中L/R的量纲为时间，令τ=L/R，称为时间常数。τ决定iL等变化的快慢。

变化规律的核心部分②是指数函数：

LtKetf-=)(R0②68

§6-2零状态响应（5）时间常数τ的物理意义69

§6-2零状态响应（a）t=5τ时，f(t)已为K的0.674%，趋近零。工程上取t=(4-5)τ作为由零增长到US/R的时刻。。070

§6-2零状态响应（b）τ越大则由零增长到US/R所需的时间越长，即变化慢。0)(R-=-eUtitLSLRUSR即iL(t)到达US/R值所需时间越长。71L------t=０++++++RiL(t)Us

§6-2零状态响应注意：充电快慢与US大小无关!（c）τ=L/R，L越大则表示可储存的容量越大，而R越小则表示UR增长越慢，充电电流增长也越慢，则表示iL(t)到达US/R值所需时间越长。)(R-=-eUtitLSLRUSR72

§6-2零状态响应根据已求出的iL(t)，可求得uL(t)为：（6）零状态响应uL(t)的求解t≥0

)(0+LSLuUdtdi=Lu=L-eRtL=-etτ(t)tuLUs0τ2τ3τ4τi=0+时，uL(o+)=US，波形如图所示。73

§6-2零状态响应注意：t=0-时，uL、iL均为零；而t=0+时，iL仍保持为零，即iL(0-)=iL(0+)=0；而uL则跃变为US，即uL(0-)uL(0+)=US。因此，在t=0时，iL是连续的而uL则是不连续的。tuLUs0τ2τ3τ4τiLiL(t)t0L------t=０++++++RiL(t)Us74

§6-2零状态响应（7）电源总能量

若输入为直流电压US，iL最终将达US/R值。iL的零状态响应反映电感的储能从无到有的增长过程，最终达到US/R值。电感的储能为：这能量与R的大小有关。?在充电过程值，电阻消耗的总能量为：òo∞uL2(t)/Rdt=òo∞US2Re2tRCdt=US2Re2RtLL2R()0∞解出：W=2SL21UR()2SL21UR()75

§6-2零状态响应

由此可见，在充电过程中电阻所消耗的总能量与电感最后所储存的能量相等，充电效率为50%。电源提供的总能量W为：+=2SL21UR()2SL21UR()2SLUR()76

§6-2零状态响应例题：已知iL(0)=0，求iL(t)、i(t)，t≥0。解（1）先求iL(t)：t≥0时原电路可化简为戴维南等效电路。其中：77

§6-2零状态响应从而直接求得：τ=L/R=2s)(R-=-eUtitLSLRUSR由前述结论：得：78

§6-2零状态响应解（2）再求i(t)：

原电路中电感用电流源iL(t)置换。用网孔法可求得i(t)，t≥0。网孔电流按i(t)和iL(t)设定。7.2i(t)+1.2iL(t)=18，iL(t)已解出。代入iL(t)可直接解出：i(t)=(2+0.5e-t/2)(A)。（解毕）提问：若电源电压为9V，iL(t)、i(t)为多少？79

§6-2零状态响应注意：i(t)不是按指数规律增长的，而是按指数规律衰减的。不要以为零状态响应都是按指数规律增长的；在RL电路中，只有iL(t)才如此，其它i、u未必如此；在RC电路中，只有uC(t)才如此，其它i、u未必如此。80

§6-2零状态响应4、一阶电路电容电压、电感电流零状态响应的一般公式

以上讨论了在恒定电源的作用下，电路在t≥0时的零状态响应。

其实质上是电路中动态元件的储能从无到有逐渐增长的过程。81

§6-2零状态响应

前面给出的一阶RC电路和一阶RL电路的零状态响应，都是在图示电路的结构中给出的。SCURdtdu=Ci=C-etRC(t)t≥0W=对于如图所示的一阶RC电路：82

§6-2零状态响应注意，如果电路结构变化了，公式会有所不同。

试想，若有源电阻网络采用诺顿等效结构或其他结构形式。L------t=０++++++RiL(t)Us)(tiL0)1(R³--teUtLSR=SLUdtdi=Lu=L-eRtL(t)t≥02SL21UR()W=对于如图所示的一阶RL电路：83

§6-2零状态响应

电容电压或电感电流都是从零值开始按指数规律上升到它的稳态值的，不是即时的，而是需要经历一段时间的，其时间常数τ分别为RC或L/R.

电路达到稳态时，电容相当于开路，电感相当于短路，由此可确定电容或电感的稳态值。84

§6-2零状态响应

一般一阶零状态电路的状态变量电容电压uC(t)或电感电流iL(t)的一般表达式为：uC(t)=uC(∞)(1-e-t/τ)，t≥0，iL(t)=iL(∞)(1-e-t/τ)，t≥0，)(tiL0)1(R³--teUtLSR=L------t=０++++++RiL(t)Us85

§6-2零状态响应其中τ为电路的时间常数，R为动态元件所接电阻网络戴维南等效电路的等效电阻。)(tiL0)1(R³--teUtLSR=L------t=０++++++RiL(t)UsuC(t)=uC(∞)(1-e-t/τ)，t≥0，iL(t)=iL(∞)(1-e-t/τ)，t≥0，式中uC(∞)、iL(∞)为稳态值，86

§6-2零状态响应

由此可见，零状态响应是由电容或电感的稳态值和时间常数所确定的，有状态变量的一般表达式：状态变量：y(t)=y(∞)(1-e-t/τ)

因此，只要确定了稳态值和时间常数，求解时无须列写和求解电路的微分方程，就可直接写出其状态变量响应表达式uC(t)、iL(t)。

然后根据置换定理就可求出其他各个电压和电流。注意：上述一般表达式只是适用于状态变量。87

§6-2零状态响应5、零状态响应的性质

在零状态电路中，若外施激励增大m倍，则零状态响应也增大m倍，称为零状态响应比例性或齐次性。

若零状态电路有多个激励，则还存在零状态叠加性，其响应是每个激励分别作用时产生响应的代数和，称为零状态响应可加性或叠加性。综上所诉，零状态响应是输入的线性函数，简称零状态响应线性（包含比例性或齐次性和可加性或叠加性）。88

§6-2零状态响应例题：如图所示电路已处于稳态，t=0时开关闭合，试求t≥0时的iL(t)。Kt=0+15V-6Ω6Ω3Ω2HiL+15V-6Ω6Ω3Ω2HiL解：方法一。

可以先化简为戴维南等效电路来求解，如图所示。uOC=7.5V，RO=6Ω，τ=L/RO=1/3s，iL=(uOC/RO)(1-e-t/τ)=1.25（1-e-3t）,t≥0。（解毕）+7.5V-6Ω89

§6-2零状态响应+15V-6Ω6Ω3ΩiL(∞)解：方法二。

直接利用一般公式求解，稳态时的电路如图所示。

由分流公式得：iL(∞)=1.25A；

电感所接电阻为：R=6Ω，τ=L/R=1/3s，iL=iL（∞）(1-e-t/τ)=1.25（1-e-3t）,t≥0。（解毕）6Ω6Ω3ΩR90

§6-2零状态响应

再次强调，以上得出的结论和公式，都是在特定条件下得出的：特定电路结构（串联）；特定电源类型（恒定电压源）；特定参数（如t0=0）；图示特定参考方向。若条件发生变化，其结论和公式也要跟着变化。但求解的基本思想和方法仍然是求微分方程。91

§6-2零状态响应例题(lhs)：如图所示电路，两电源均在t=0开始作用于电路。已知电容的初始电压u(0)=0，试求电压源电流i(t)，t≥0。解：注意本题的电压源电压为2t，不是直流电压，所以前述的公式不适用，需要求解微分方程。0.5A2Ω0.25F2Ω+2t-i(t)+u(t)-92

§6-2零状态响应先求状态变量u(t)

利用电源等效原理将原电路化简为如图所示电路。在关联参考方向时，根据KCL定理可得节点电流方程：0.25du/dt+u=0.5+t，t≥0

可解得（略）：u(t)=0.25(1-e-4t)+t（V），t≥0（0.5+t）A0.25F1Ω+u(t)-0.5A2Ω0.25F2Ω+2t-i(t)+u(t)-93

§6-2零状态响应再求非状态变量i(t)

设想电容用电压为u(t)的电压源替代，如图所示。显然，由KVL解此电阻电路可得：i(t)=(2t-u(t))/2=0.5t-0.125(1-e-4t)(A),t≥0。（解毕）0.5A2Ω0.25F2Ω+2t-i(t)+u(t)-94

§6-2零状态响应本节要点：（1）动态电路的叠加原理，（2）RC一阶电路的零状态响应，（3）RL一阶电路的零状态响应，（4）一阶电路零状态响应的一般公式。95第三节阶跃响应冲激响应第六章一阶电路

96

§6-3阶跃响应冲激响应

两类重要的零状态响应：单位阶跃函数；单位冲激函数。

对于全电容与理想电压源或全电感和理想电流源组成的电路，可能会发生某些特殊的情况：

如电容电压或电感电流不再是连续函数，即uC（t）或iL（t）会出现跳变。

本节讨论对这类问题的分析。C--t=０++iC(t)Us97

§6-3阶跃响应冲激响应定义：（1）单位阶跃函数的定义ε(t）t011、单位阶跃函数ε(t)

在动态电路分析中，广泛应用阶跃函数来描述电路的激励和响应。其波形如图所示。

在跃变点t=0处不连续，函数值未定义。98

§6-3阶跃响应冲激响应可记为：例如：5ε(t)

因此，除用开关外，也可以用单位阶跃函数ε(t)方便地表示各种信号uS(t)、t≥0。

不必再标示开关和t≥0，表达更为简便。99

§6-3阶跃响应冲激响应（2）延时(delayed)单位阶跃函数ε(t-t0)定义：ε(t-t0)t01t0其波形如图所示。

在跃变点t=t0处不连续，函数值未定义。100

§6-3阶跃响应冲激响应u(t)tt001ε(t)t01-ε(t-t0)t0t0-1

不必再分三段标示。可见，用阶跃信号来表示信号，表达更为简便。u(t)=0，t＜0；u(t)=1,0≤t≤t0；u(t)=1，t0≤t。

ε(t-t0)连同ε(t)，可以用数学形式表明分段常量信号、如矩形脉冲施加于电路的情况。

图示为分段常量信号要分三段表示。

可表示为一系列阶跃信号之和。即：u(t)=ε(t)-ε(t-t0)101

§6-3阶跃响应冲激响应ε(t）t01（3）阶跃信号的性质

ε(t)或ε(t-t0)是奇异函数：在t=0或t=t0时函数值不连续，发生跳变，无意义。在t=0或t=t0时函数值可取0或1，ε(0-)=0，ε(0+)=1。

阶跃信号本身没有量纲，当用它表示电压或电流时，量纲分别为伏特或安培，并统称为单位阶跃信号。102

§6-3阶跃响应冲激响应动态电路ε(t-t0)A动态电路ε(t)V+-（4）阶跃信号的应用（a)描述开关动作

阶跃函数可以作为开关的数学模型。例如，用单位阶跃电压源作激励，则相当于t=0时接入1V的电压源或t=t0时接入1A的电流源，如图所示。动态电路1V+-Kt=0R动态电路1AKt=t0R103

§6-3阶跃响应冲激响应但要注意：图示两个电压源或电流源是不等效的，它们只是对外接动态电路等效。

所以，阶跃信号也称为开关信号。动态电路ε(t-t0)A动态电路ε(t)V+-动态电路1V+-Kt=0R动态电路1AKt=t0R104

§6-3阶跃响应冲激响应f(t)tt00f(t)tt002t03t04t05t0f(t)tt002t0f(t)tt002t03t0(b)表示分段常量信号或阶梯信号

图中所示是电子技术中常见的分段常量信号，其中图（a）、（b）常称为单个矩形脉冲和脉冲串。

图示波形可以用若干个阶跃信号的代数和表示。105

§6-3阶跃响应冲激响应f(t)tt00f(t)tt002t03t04t05t0u(t)=ε(t)-ε(t-t0)+ε(t-2t0)-ε(t-3t0)+…+ε(t-2kt0)-ε(t-(2k+1)t0)=∑k=0∞ε(t-2kt0)-ε(t-(2k+1)t0)；以单个方波脉冲为例，如图所示。

可以表示为：u(t)=ε(t)-ε(t-t0)；以多个方波脉冲串为例，如图所示。

可以表示为：106

§6-3阶跃响应冲激响应(c)表示其它任意具有起始点的信号的区间。f(t)ε(t)t01f(t)ε(t-t0)t0t0t01f(t)ε(t)

综上所述，凡函数值突然跃变时，就相当于在突变处出现一个阶跃函数。107

§6-3阶跃响应冲激响应（5）单位阶跃信号输入的零状态响应——单位阶跃响应

单位阶跃输入的零状态响应称为单位阶跃响应，记作s(t)，响应可以是电压，也可以是电流。

当电路的激励为单位阶跃信号ε(t)时，相当于将电路在t=0时，接通1V的电压源或1A的电流源，因此，单位阶跃响应应与直流激励响应相同。108

§6-3阶跃响应冲激响应单位阶跃响应的时不变性

对于时不变电路，若单位阶跃信号作用下的响应为s(t)，则延时单位阶跃信号作用下响应为s(t-t0)，这一性质称为时不变性。单位阶跃响应的比例性

如果电路的输入是幅度为A的阶跃信号，则根据零状态响应比例性可知As(t)即为该电路的阶跃响应。单位阶跃响应的叠加原理

多个阶跃信号输入作用下的零状态响应可由叠加原理求得。

109

§6-3阶跃响应冲激响应

因此，在将这类信号分解为阶跃信号后，即可按直流一阶电路处理，运用齐次性和叠加性可求得其零状态响应。

当激励为由阶跃成分构成的常量信号或阶梯信号时，用阶跃响应分析十分方便。

设s(t)为ε(t)的响应，激励由N个阶跃信号ε(t)组成：x(t)=∑AKε(t-t0)，则响应：y(t)=∑AKs(t-t0)。110

§6-3阶跃响应冲激响应输入可视为由-3V和4ε(t)V两部分组成。解：-3V单独作用下，可得：u'(t)=-2V;4ε(t)V单独作用下，可得：u"(t)=(8/3)(1-e-4t)ε(t)V，由叠加原理：u(t)=u'(t)+u"(t)，对所有t，得：u(t)=-2+(8/3)(1-e-4t)ε(t)(V)。(解毕)例题111

§6-3阶跃响应冲激响应解：由叠加原理得：i(t)=i'(t)+i"(t)=A(1-e-t)ε(t)-A(1-e-(t-t0))ε(t-t0)。例题试求图示零状态RL电路的i(t)、uL(t)。i(t)1H1Ω+u(t)-tu(t)t00A脉冲电压u(t)可分解为两个阶跃信号之和：u(t)=Aε(t)-Aε(t-t0)Aε(t)作用下的零状态响应为：i'(t)=A(1-e-t)ε(t);-Aε(t-t0)作用下的零状态响应为：i"(t)=-A(1-e-(t-to))ε(t-t0);uL(t)=L(diL/dt)???待续112

§6-3阶跃响应冲激响应dtdε(t)Ci=2、单位冲激函数δ(t)，又称狄拉克函数

引用单位阶跃函数ε(t)后，在电路分析中会遇到对ε(t)求导的问题，如图中电路求i(t)的问题。113

§6-3阶跃响应冲激响应ε(t）t01当t＞0或t＜0时，有：dε(t)/dt=0；当t=0时，ε(t)不连续，其斜率是无界的，即：dε(t)/dt=∞；

把ε(t)的导数记为δ(t)，称为单位冲激函数，即：δ(t)=dε(t)/dt。

相应地要求δ(t)对t的积分为ε(t)，即：ε(t)=∫δ(ξ)dξ。114

§6-3阶跃响应冲激响应（1）δ(t）的定义

单位冲击函数即强度为1单位的冲击函数。例如冲激电流i(t)=5δ(t)A，其强度为5C(库仑)。(1)式为冲激函数强度的定义。(1)、(2)为δ(t)的定义。则：

如令：115

§6-3阶跃响应冲激响应δ(t)也是奇异函数：在t≠0时为零；在t=0时不连续，发生跳变，有高度为1的跳跃，强度为1，其斜率是无界的。无意义。函数值为∞。t01δ(t)

冲激函数的波形如图所示，箭头旁边标有“1”，并不表示幅度，只是表示“强度”。116

§6-3阶跃响应冲激响应一个脉冲函数的波形如图所示，

它的高度为1/Δ，宽度为Δ，在保持矩形面积恒为1的情况下，它的宽度越窄，其高度越高。tp(t)0Δ1/Δ117

§6-3阶跃响应冲激响应当Δ→0时，脉冲高度1/Δ→∞，在此极限情况下，可以得到一个宽度趋于零，幅度趋于无穷大，而面积仍为1的脉冲，这就是单位冲激函数，可记为：limp(t)=δ(t)Δ→0tδ(t)01tp(t)0Δ1/Δ118

§6-3阶跃响应冲激响应

与阶跃函数一样，对单位延时函数δ(t-t0)，有：)2(t00)(δ)1(1)(δ¹==ò∞-tt-t0d∞对所有xx-t0

同样，对于强度为K的冲激函数，可表示为：Kδ(t-t0)。119

§6-3阶跃响应冲激响应ε(t))(δ=ò∞-dtxxdttdεtδ)()(=（2）单位冲激函数δ(t)性质（a)单位冲激函数δ(t)对时间的积分等于单位阶跃函数ε(t)，即：

反之，阶跃函数ε(t)对时间的导数等于冲激函数δ(t)，即：120

§6-3阶跃响应冲激响应（b)单位冲激函数的抽样性质由于当t0时，δ(t)=0，所以对任意在t=0时连续的函数f(t)，将有:f(t)δ(t)=f(0)δ(t)，因此：f(0)f(t)δ(t)dt=ò∞-∞δ(t)dt=ò∞-∞f(0)f(t0)f(t)δ(t-t0)dt=ò∞-∞δ(t-t0)dt=ò∞-∞f(0)类似，f(t)δ(t-t0)=f(t0)δ(t-t0)，因此：由此可见，冲激函数具有把一个函数在某一时刻的值“抽取”出来的性质，也称为抽样函数。模拟信号到数字信号的变换。121

§6-3阶跃响应冲激响应

当把一个单位冲激电流δi(t)加到初始电压为零、且C=1F的电容上。（3）单位冲激函数作用下的零状态响应——单位冲激响应h(t)δi(t)122

§6-3阶跃响应冲激响应

这相当于单位冲激电流瞬间把电荷转移到电容上，使电容电压从零跃变到1V。

与电容电压不能跃变矛盾？uC=δi(t)dt=ò0-0+C1C1=1V电容电压uC为：δi(t)123

§6-3阶跃响应冲激响应

当把一个单位冲激电压δu(t)加到初始电流为零、且L=1H的电感上。δi(t)L124

§6-3阶跃响应冲激响应电感电流iL为：iL=δu(t)dt=ò0-0+L1L1=1A

这相当于单位冲激电压瞬间在电感上建立了1A的电流，即电感电流从零跃变到1A。

与电感电流不能跃变矛盾？δi(t)L125

§6-3阶跃响应冲激响应

当冲激函数作用于零状态的一阶RC或RL电路，在t=0-到0+的区间内，它使电容电压或电感电流发生跃变。

t≥0+时，冲激函数为零，但uC(0+)或iL(0+)不为零，电路中将产生相当于初始状态引起的零输入响应。

所以，一般电路冲激响应的求解，关键在于计算在冲激函数作用下的uC(0+)或iL(0+)的值。126

§6-3阶跃响应冲激响应

单位冲激输入的零状态响应称为单位冲激响应，记作h(t)。

如前所述，冲激函数等于阶跃函数的导数，

因此线性电路中阶跃响应与冲激响应之间也具有一个重要关系。

如果以s(t)表示某一电路的阶跃响应，而h(t)为同一电路的冲激响应，则有：s(t)

=h(t)dtòdttdεtδ)()(=ε(t)

=δ(t)dtò127

§6-3阶跃响应冲激响应证明：按冲激函数的定义，有：ε(t))(δ=ò∞-dtxxdttdεtδ)()(=

根据一个线性时不变电路的一个重要性质：对于线性电路，描述电路性状的微分方程为线性常系数方程。如设激励x(t)的响应为y(t)，则当所施加激励换为x(t)的导数或积分时，所得响应必相应地为y(t)的导数或积分。

冲激函数是阶跃函数的一阶导数，因此冲激响应可以按阶跃响应的导数求得。（证毕）128

§6-3阶跃响应冲激响应另一种证明：单位脉冲函数p(t)可看作是两个阶跃函数之差，即：tp(t)0Δ1/Δp(t)=1Δ[ε(t)-ε(t-Δ)]于是，可知该单位脉冲p(t)的零状态响应为：h(t)=lim1Δ[s(t)-s(t-Δ)]=Δ→0ds(t)dt1Δ[s(t)-s(t-Δ)]因此，可知该单位冲激响应为：129

§6-3阶跃响应冲激响应

由此可见，上式提供了求h(t)的一条途径，即：单位阶跃响应对时间的导数即为单位冲激响应；反之，单位冲激响应对时间的积分即为单位阶跃响应。ε(t))(δ=ò∞-dtxxdttdεtδ)()(=dttdsth)()(=S(t))(h=ò∞-dtxx130

§6-3阶跃响应冲激响应例（略）：接续前题，求uL(t)。解：前题已求出：i(t)=A(1-e-t)ε(t)-A(1-e-(t-t0))ε(t-t0),i(t)1H1Ω+u(t)-tu(t)t00A131

§6-3阶跃响应冲激响应

因为，uL(t)=Ldi/dt=di/dt，代入得：uL(t)=di/dt=Ae-tε(t)+A(1-e-t)δ(t)-Ae-(t-t0)ε(t-t0)-A(1-e-(t-t0))δ(t-t0)，

根据取样性质：f(t)δ(t)=f(0)δ(t)，f(t)δ(t-t0)=f(t0)δ(t-t0)，有:e-tδ(t)=e0δ(t)，e-(t-t0)δ(t-t0)=e0δ(t-t0)代入得，uL(t)=Ae-tε(t)-Ae-(t-t0)ε(t-t0)。(解毕)132

§6-3阶跃响应冲激响应例（略）：求图示电路的单位冲激响应u(t)。+h(t)-CR+δ电压源(t)-解：由等效规律可将原电路转化为由图所示电路。则有：δ电压源(t)=δ电流源(t)R；将δ电压源(t)换为ε(t)=(1A)R，+s(t)-CR+ε(t)-则可得阶跃信号的响应为：133

§6-3阶跃响应冲激响应δ(t)t=0-时，u=h=0；t=0+时，u=h=1/C。因此t=0时在冲激电流作用下电容电压u由0跃变为1/C（V）。（解毕）电流δ是无界的！！！134

§6-3阶跃响应冲激响应本节要点：（1）阶跃信号及响应；（2）冲激信号及响应；（3）两者的关系。135第四节零输入响应第六章一阶电路

136§6-4零输入响应1、零输入概念

在动态电路中，电路的响应不仅与外加激励有关，而且与动态元件的初始储能有关。

电路在没有外加激励时的响应称为零输入响应，它反映了电路本身的特性。

因此，零输入响应仅仅是由于非零初始状态引起的，即，是由初始时刻电容或电感的储能所引起的。137§6-4零输入响应2、RC电路的零输入响应RC串联等效电路的全响应，如图所示。

设在t=0时，图中电容电压为uC(0)。则根据电容等效电路，可将单一电容元件电路在t≥0时等效为：138§6-4零输入响应

在实际的电路分析中，零输入响应可以独立存在，不一定是全响应的一个分量，可以用uC(t)来表示电容电压的零输入响应。

需要注意：在电容等效电路中，电容C的初始电压设为零，即：u1(0)=0；而实际的初始电压uC(0)是以电压源的形式与之串联的。

在输入为零的条件下，由初始电压uC(0)所产生的响应。如图所示。139§6-4零输入响应

u1(t)只存在于等效电路中，在上图中它却是独立电压源uC(0)作用下的零状态响应。

由上节可知：

其中，负号的出现是由于参考方向设定上的差别。

(a)求状态变量uC(t)

所求电容电压uC(t)在等效电路中是：uC(t)=u1(t)+uC(0)1400t234uC(t)0.01830.368uC(0)ττττuC(0)uC(0)∴0)0()0()()(1³=+=-teuutututCCCt§6-4零输入响应

代入可求得零输入响应为：

由此可见，uC(t)是一个由uC(0)开始随时间衰减的指数函数，如图所示为uC(t)的放电曲线。ttuC(0)etuC-=)(141§6-4零输入响应(b)求iC(t)dtdu1iC(t)C==RU0-ett其中，负号表示放电电流与图中所设方向相反。由前式可知：

设uC(0)=U0，可得：142§6-4零输入响应

如图所示为iC(t)的放电曲线，在t=0时，电流由零跃变为-U0/R，表现出不连续性。

因此在放电过程中，uC和iC都随时间衰减，当t=(4~5)τ时可以认为放电结束，uC和iC均已趋于零。时间常数τ越小，则过程进行越快。tiC(t)0-U0/RdtduCiC(t)C==RU0-ett也可直接由uC求得：143§6-4零输入响应（c)特性

从物理意义上看，RC的零输入响应反映电容储能从有到无的衰减过程—放电过程。对比RC的零状态响应，反映电容储能从无到有的增长过程—充电过程。零输入响应：放电过程零状态响应：充电过程144§6-4零输入响应

由上所知，iC(t)、uC(t)也都是随时间衰减的指数曲线。

但在t=0时刻，uC保持其连续性，而iC则发生了跃变。

时间常数τ反映出一阶动态电路本身所固有的这一性质，它是一个与外加激励无关的常数。dtdu1iC(t)C==RU0-ett∴0)0()0()()(1³=+=-teuutututCCCt145§6-4零输入响应

在放电过程中，电容不断释放能量并为电阻所消耗，直到原来储存在电容中的电场能量全部为电阻所吸收而转换成热能。即：WR=∫0∞i2(t)Rdt

=∫0∞(U0e-t/τ/R)2Rdt

=(U02/R)∫0∞e-2t/τdt=CU02/2。146§6-4零输入响应----++++uL(t)iL(t)RL----++++uL(t)iL(t)RLiL(0)i1(t)3、RL电路的零输入响应（a)求状态变量iL(t)

iL(t)是在输入为零的条件下，由初始电流iL(0)所产生的响应。

等效电路如图所示。

因此有：iL(t)=i1(t)+iL(0)147§6-4零输入响应

i1(t)只存在于等效电路中，在上图中它却是独立电流源iL(0)作用下的零状态响应，由上节可知：

0)1)(0()(1³--=-teititLt∴0)0()0()()(1³=+=-teiitititLLLt代入可求得零输入响应为：

其中，负号的出现是由于参考方向设定上的差别。

----++++uL(t)iL(t)RLiL(0)i1(t)148§6-4零输入响应

由此可见，iL(t)是一个由iL(0)开始随时间衰减的指数函数，如图所示为iL(t)的放电曲线。ttiL(0)etiL-=)(0t234iL(t)0.01830.368iL(0)ττττiL(0)iL(0)

这一结论和以上对RC电路分析所的结论相同，只是时间常数τ不同而已。

∴0)0()0()()(1³=+=-teiitititLLLt149§6-4零输入响应(b)求uL(t)dtdi1uL(t)L==RI0-ett其中，负号表示放电电压与图中所设方向相反。----++++uL(t)iL(t)RLiL(0)i1(t)由前式可知：

设iL(0)=I0，可得：0)1)(0()(1³--=-teititLt150§6-4零输入响应

如图所示为uL(t)的放电曲线，在t=0时，电压uL由零跃变为-I0R，表现出不连续性。

因此在放电过程中，