机械振动学习题解答(二)

《机械振动学》习题(xítí)解答（二）2013-04-19精品资料4－1如图所示，质量为m的油缸与刚度为k的弹簧相连，通过阻尼系数为c的黏性阻尼器以运动规律y=Asinωt的活塞给予激励，求油缸运动的振幅(zhènfú)以及它相对于活塞的相位。解：设油缸位移为x，活塞位移为y，对油缸建立方程即方程的解为

x的振幅

而活塞的运动(yùndòng)为所以x相对于y的相位差ycmkx相位精品资料4－2如图所示，质量可忽略的直角刚性杆可绕铰链(jiǎoliàn)O自由转动，弹簧一端有简谐位移扰动Acosωt。试导出系统的振动微分方程，并求系统的稳态响应。解：设刚性杆向顺时针方向转动(zhuàndòng)θ角，则图中B点的位移和速度分别为

对刚性杆用动量矩定理cmkAcos

ωtmgaLθ由化简得微分方程B精品资料微分方程(wēifēnfānɡchénɡ)稳态响应(xiǎngyìng)其中或其中精品资料4－3求弹簧-质量系统在库仑阻尼(zǔní)和简谐激励力F0sinωt作用下的振幅。在什么条件下运动能继续？解：库仑(kùlún)阻尼的等效阻尼系数

振幅上式可化简为要使运动能继续，X不能为虚数，所以精品资料4－5带结构阻尼的单自由度系统，若刚度和阻尼的作用可用复数形式表示，系统的等效质量为m，求系统在简谐激励(jīlì)下的响应。解：系统(xìtǒng)的微分方程为设系统(xìtǒng)的稳态响应，代入上式得解得所以其中精品资料4－7弹性支承(zhīchénɡ)的车辆沿高低不平的道路运行可用图示单自由度系统模拟。若每经过距离为L的路程，路面的高低按简谐规律变化一次，试求出车辆振幅与运行速度v之间的关系，并确定最不利的运行速度。解：将路面看成(kànchénɡ)简谐激励，其周期，则角频率系统方程为稳态响应振幅系统发生共振时为最不利的情况精品资料4－8图示系统中，集中质量m=20kg，弹簧刚度k=3.5kN/m，阻尼器的黏性阻尼系数为c=0.2kN·s/m，凸轮的转速为60r/min，行程(xíngchéng)为0.01m。试求系统的稳态响应。解：设凸轮的行程(xíngchéng)为a，则凸轮的位移可表示为，并由题意知：a=0.01m，周期τ=1s。将x0(t)展开为Fourier级数其中

所以奇函数的Fourier级数只有正弦项，偶函数只有余弦项。精品资料系统(xìtǒng)的微分方程为即

于是稳态响应静载荷(zàihè)多个简谐激励其中精品资料4－9一个弹簧-质量系统从倾斜角为30°的光滑斜面下滑。求弹簧从开始接触挡板(dǎnɡbǎn)到脱开挡板(dǎnɡbǎn)的时间。解：设弹簧接触挡板的时刻为t=0，此后质量

块做无阻尼自由振动，以弹簧平衡位置为原

点，其运动方程为t=0时的初速度初始(chūshǐ)位移（即弹簧自由长度与静平衡长度的差值）

质量块的运动规律为

求出运动规律后，要求弹簧从开始接触挡板到脱开挡板的时间，有两种办法。mkS精品资料解法二：将此简谐运动写作式中

由图可见(kějiàn)，弹簧从接触挡板到脱离的时间为解法一：

设弹簧运行至最低点时t=τ，则弹簧脱离挡板(dǎnɡbǎn)的时刻应为t=2τ。令，可得

弹簧从接触挡板(dǎnɡbǎn)到脱离的时间为。τ2τ0x0精品资料5－5机器质量为453.4kg，安装时使支承(zhīchénɡ)弹簧产生的静变形为5.08mm，若机器的旋转失衡为0.2308kg·m，求：①在1200r/min时传给地面的力；②在同一速度下的动振幅。解：旋转失衡(shīhénɡ)的微分方程为②振幅其中所以

①传给地面的力精品资料5－6如果题5-5的机器安装在质量为1136kg的大混凝土基础上，增加基础下面(xiàmian)弹簧的刚度，使弹簧静变形为5.08mm，则动振幅将是多少？解：频率(pínlǜ)比振幅（与上题相同）（比上题小了）精品资料5－7质量为113kg的精密仪器通过橡皮衬垫装在基础上，基础受到频率为20Hz、幅值为15.24cm/s2的加速度激励，设橡皮衬垫有如下(rúxià)参数：k=2802N/cm，ζ=0.1，问：传给精密仪器的加速度是多少？解：微分方程(wēifēnfānɡchénɡ)位移传递率式中加速度传递率所以精品资料5－9机器重2500kN，弹簧刚度(ɡānɡdù)k=800kN/m，阻尼比ζ=0.1，干扰力频率与发动机转速相等。试问：①在多大转速下，传递给基础的力幅大于激振力幅；②传递力幅为激振力幅20%时的转速是多大？解：①力传递(chuándì)率

于是故最大转速为

②力传递率

于是转速精品资料5－10一仪器要与发动机的频率从1600到2200r/min范围实现(shíxiàn)振动隔离，若要隔离85%，仪器安装在隔振装置上时，隔振装置的静变形应为多少？解：根据(gēnjù)传递率与频率比的关系曲线，要在[r1,r2]的频率区间内使隔振达到85%，只要在r1时传递率Tr＜0.15即可。精品资料5－11悬挂系统的固有频率为0.5Hz，箱子(xiāngzi)从0.5m高处落下，求所需的振荡空间。解：设x为质量(zhìliàng)m的绝对位移，y为箱子的绝对位移，z为质量(zhìliàng)m相对于箱子的位移，当箱子做自由落体运动时，微分方程：即此系统受到阶跃激励，其响应为（课本p.110）此运动一直持续到箱子落地的时刻，设此时刻为t1，则将t1代入z(t)的表达式，可得此时的位移和速度，分别记为精品资料箱子落地(luòdì)后，相对速度瞬间增加了gt1，而相对位移不变，即此后，质量m做有阻尼自由振动，初始条件即为其响应为（课本p.54,式(3-53)）求此响应的最大幅值即为箱子所需的振荡(zhèndàng)空间。精品资料两大通用方法：

1Duhamel积分

2Laplace变换

特殊函数(hánshù)激励的响应（无阻尼系统）：1单位脉冲响应

2阶跃激励F(t)=F0的响应

3斜坡激励F(t)=at的响应单自由度系统(xìtǒng)瞬态激励下的响应精品资料解：t<t0时，系统受到阶跃激励，其响应(xiǎngyìng)为

t>t0时，系统响应(xiǎngyìng)有两种解法。解法一：将激励看成两个阶跃函数的叠加，其响应(xiǎngyìng)分别为4－11如图所示，一弹簧-质量系统，从t=0开始作用一不变的F0力，作用时间为t0。求系统在t<t0和t>t0两种情况下的响应，并找出t>t0时最大位移与t0/τ的关系。如果t0与系统自振周期τ相比很小，最大位移为多少？请与脉冲响应函数(hánshù)比较。=+于是精品资料解法二：t>t0时系统(xìtǒng)作自由振动，初始条件为于是(yúshì)为求t>t0时的最大位移，上式可用和差化积公式改写为最大值当时，t0很小的阶跃响应与脉冲响应类似，但由于阶跃激励的瞬时值是有限值，而脉冲激励的瞬时值是无穷大，故二者仍有区别：t0很小的阶跃响应最大值趋近于0，而脉冲响应不是。精品资料4－12如图所示，一单自由度无阻尼弹簧-质量系统，受到图示力的激励，用杜哈美积分(jīfēn)求系统在t<t1和t>t1两种情况下的响应，并概略图示之。解：t<t1时，系统受到的激励为斜坡函数其响应(xiǎngyìng)为

t>t1时，系统受到的激励可看成两个斜坡函数的