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第三节Jordan标准型一、可对角化矩阵

定义：n阶方阵A若相似于一个对角阵，则称A为可对角化矩阵（或称单纯矩阵）注1：对角阵的和，积，逆（若存在）仍是对角阵，其对角线的元就是它的特征值.注2：若线性变换T的矩阵为可对角化矩阵，等价于T在某基下的矩阵为对角阵.

二、λ-矩阵理论简介定义：A(λ)中不等于零的子式的最高阶数r为A的秩，记为rankA(λ)=r.定义：λ-矩阵初等变换指一下三类变换：1）任两行(列)互换；2）用数k(不为零)乘某行(列);用λ

的多项式φ乘某行(列)并加到另一行(列)上去.分别记为P(i,j),P(i(k)),P(i(φ),j).行变换则左乘初等矩阵，列变换则右乘初等矩阵.易见三种初等阵的行列式均为非零常数，故满秩，所以它们左(右)乘不改变λ-矩阵的秩.定义：若A(λ)经过有限次初等变换化成B(λ)，则称A(λ)与B(λ)相似，记为A(λ)≌B(λ)

.注：λ-矩阵等价则秩相同，反之不然，这与数字矩阵有区别.如：何时等价？不变因子：初等因子：事实上，我们一般先将A(λ)变换成对角阵，不一定是标准型，再分解因式求出初等因子，进而求得不变因子及标准型.这依赖于下面的结论：例6，例7三、Jordan标准型Jordan标准型定理A∽J

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