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第三节Jordan标准型一、可对角化矩阵
定义:n阶方阵A若相似于一个对角阵,则称A为可对角化矩阵(或称单纯矩阵)注1:对角阵的和,积,逆(若存在)仍是对角阵,其对角线的元就是它的特征值.注2:若线性变换T的矩阵为可对角化矩阵,等价于T在某基下的矩阵为对角阵.
二、λ-矩阵理论简介定义:A(λ)中不等于零的子式的最高阶数r为A的秩,记为rankA(λ)=r.定义:λ-矩阵初等变换指一下三类变换:1)任两行(列)互换;2)用数k(不为零)乘某行(列);用λ
的多项式φ乘某行(列)并加到另一行(列)上去.分别记为P(i,j),P(i(k)),P(i(φ),j).行变换则左乘初等矩阵,列变换则右乘初等矩阵.易见三种初等阵的行列式均为非零常数,故满秩,所以它们左(右)乘不改变λ-矩阵的秩.定义:若A(λ)经过有限次初等变换化成B(λ),则称A(λ)与B(λ)相似,记为A(λ)≌B(λ)
.注:λ-矩阵等价则秩相同,反之不然,这与数字矩阵有区别.如:何时等价?不变因子:初等因子:事实上,我们一般先将A(λ)变换成对角阵,不一定是标准型,再分解因式求出初等因子,进而求得不变因子及标准型.这依赖于下面的结论:例6,例7三、Jordan标准型Jordan标准型定理A∽J
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