高中数学人教A版第三章函数的应用函数模型及其应用【全国一等奖】

第三章3.A级基础巩固一、选择题1．一辆汽车在某段路程中的行驶速度v与时间t的关系图象如图，则t＝2时，汽车已行驶的路程为eq\x(导学号69175063)(C)A．100km B．125km C[解析]t＝2时，汽车行驶的路程为：s＝50×＋75×1＋100×＝25＋75＋50＝150km2．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为：y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x，1≤x＜10，x∈N*，,2x＋10，10≤x＜100，x∈N*，,，x≥100，x∈N*.))其中，x代表拟录用人数，y代表面试人数，若应聘的面试人数为60，则该公司拟录用人数为eq\x(导学号69175064)(C)A．15 B．40 C．25 D．[解析]令y＝60，若4x＝60，则x＝15＞10，不合题意；若2x＋10＝60，则x＝25，满足题意：若＝60，则x＝40＜100，不合题意，故拟录用人数为25，故选C．3．某林场计划第一年造林10000亩，以后每年比前一年多造林20%，则第四年造林eq\x(导学号69175065)(D)A．14400亩 B．172800亩 C．20736亩 D．17280亩[解析]设年份为x，造林亩数为y，则y＝10000×(1＋20%)x－1，∴x＝4时，y＝17280，故选D．4．某工厂第三年的产量比第一年的产量增长44%，若每年的平均增长率相同(设为x)，则下列结论中正确的是eq\x(导学号69175066)(B)A．x>22% B．x<22%C．x＝22% D．x的大小由第一年产量确定[解析]由题意设第一年产量为a，则第三年产量为a(1＋44%)＝a(1＋x)2，∴x＝.故选B．5．一天，亮亮发烧了，早晨6时他烧得很厉害，吃过药后感觉好多了，中午12时亮亮的体温基本正常，但是下午18时他的体温又开始上升，直到半夜24时亮亮才感觉身上不那么发烫了．则下列各图能基本上反映出亮亮一天(0～24时)体温的变化情况的是eq\x(导学号69175067)(C)[解析]从0时到6时，体温上升，图象是上升的，排除选项A；从6时到12时，体温下降，图象是下降的，排除选项B；从12时到18时，体温上升，图象是上升的，排除选项D．6．(2023·四川理，5)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2023年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是eq\x(导学号69175068)(B)(参考数据：≈，≈，lg2≈A．2023年 B．2023年 C．2023年 D．2023年[解析]设x年后该公司全年投入的研发资金为200万元，由题可知，130(1＋12%)x＝200，解得x＝＝eq\f(200,130)＝eq\f(lg2－,≈，因资金需超过200万，则x取4，即2023年，选B．二、填空题7．某药品经过两次降价，每瓶的零售价由100元降为81元，已知两次降价的百分率相同，设为x，则求两次降价的百分率列出的方程为__100(1－x)2＝\x(导学号69175069)[解析]因为两次降价的百分率相同，故列出的方程为100(1－x)2＝81.8．用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的eq\f(3,4)，要使存留的污垢不超过1%，则至少要清洗的次数是__4__(lg2≈.eq\x(导学号69175070)[解析]设至少要洗x次，则(1－eq\f(3,4))x≤eq\f(1,100)，∴x≥eq\f(1,lg2)≈，所以需4次．三、解答题9．某企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图1；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2(注：利润和投资单位：万元).eq\x(导学号69175071)(1)分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；(2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入A，B两种产品的生产．①若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？②问：如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？[解析](1)设A，B两种产品分别投资x万元，x≥0，所获利润分别为f(x)万元、g(x)万元．由题意可设f(x)＝k1x，g(x)＝k2eq\r(x).根据图象可解得f(x)＝(x≥0)．g(x)＝2eq\r(x)(x≥0)．(2)①由(1)得f(9)＝，g(9)＝2eq\r(9)＝6.∴总利润y＝万元．②设B产品投入x万元，A产品投入(18－x)万元，该企业可获总利润为y万元．则y＝eq\f(1,4)(18－x)＋2eq\r(x)，0≤x≤18.令eq\r(x)＝t，t∈[0,3eq\r(2)]，则y＝eq\f(1,4)(－t2＋8t＋18)＝－eq\f(1,4)(t－4)2＋eq\f(17,2).∴当t＝4时，ymax＝eq\f(17,2)＝，此时x＝16,18－x＝2.∴当A，B两种产品分别投入2万元、16万元时，可使该企业获得最大利润，约为万元．B级素养提升一、选择题1．一个人以6米/秒的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时，交通灯由红变绿，汽车以1米/秒2的加速度均加速开走，那么eq\x(导学号69175072)(D)A．人可在7秒内追上汽车B．人可在10秒内追上汽车C．人追不上汽车，其间距最少为5米D．人追不上汽车，其间距最少为7米[解析]设汽车经过t秒行驶的路程为s米，则s＝eq\f(1,2)t2，车与人的间距d＝(s＋25)－6t＝eq\f(1,2)t2－6t＋25＝eq\f(1,2)(t－6)2＋7，当t＝6时，d取得最小值为7，故选D．2．随着我国经济不断发展，人均GDP(国内生产总值)呈高速增长趋势．已知2023年年底我国人均GDP为22640元，如果今后年平均增长率为9%，那么2023年年底我国人均GDP为eq\x(导学号69175073)(A)A．22640×元 B．22640×元C．22640×(1＋元 D．22640×(1＋元[解析]由于2023年年底人均GDP为22640元，由2023年年底到2023年年底共12年，故2023年年底我国人均GDP为22640×元．3．根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(c,\r(x))，x＜A，,\f(c,\r(A))，x≥A，))(A，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30min，组装第A件产品用时15min，那么c和A的值分别是eq\x(导学号69175074)(D)A．75,25 B．75,16 C．60,25 D．60,[解析]由题意知，组装第A件产品所需时间为eq\f(c,\r(A))＝15，故组装第4件产品所需时间为eq\f(c,\r(4))＝30，解得c＝60.将c＝60代入eq\f(c,\r(A))＝15，得A＝16.4．一个高为H，盛水量为V0的水瓶的轴截面如图所示，现以均匀速度往水瓶中灌水，直到灌满为止，如果水深h时水的体积为V，则函数V＝f(h)的图象大致是eq\x(导学号69175075)(D) [解析]水深h越大，水的体积V就越大，故函数V＝f(h)是递增函数，一开始增长越来越快，后来增长越来越慢，图象是先凹后凸的，曲线斜率是先增大后变小的，故选D．二、填空题5．一种专门侵占内存的计算机病毒，开机时占据内存2KB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后经过__45__分钟，该病毒占据64MB内存(1MB＝210KB).eq\x(导学号69175076)[解析]设过n个3分钟后，该病毒占据64MB内存，则2×2n＝64×210＝216⇒n＝15.故时间为15×3＝45(分钟)．C级能力拔高1．大气污染已经成为影响群众身体健康的重要因素，治理大气污染成为各钢铁企业的首要任务，其中某钢铁厂在处理工业废气的过程中，每经过一次处理可将有害气体减少20%，那么要让有害气体减少到原来的5%，求至少要经过几次处理？参考数据：lg2≈\x(导学号69175077)[解析]设工业废气在未处理前为a，经过x次处理后变为y，则y＝a(1－20%)x＝a(80%)x.由题意得eq\f(y,a)＝5%，即(80%)x＝5%，两边同时取以10为底的对数得＝，即x＝eq\f,≈.因而需要14次处理才能使工业废气中的有害气体减少到原来的5%.2．2023年，某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，右面的二次函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润S(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和S与t之间的关系)．根据图象提供的信息解答下列问题：eq\x(导学号69175078)(1)由已知图象上的三点坐标，求累积利润S(万元)与时间t(月)之间的函数关系式；(2)求截止到第几月末公司累积利润可达到30万元；(3)求第八个月公司所获利润是多少万元？[解析](1)由二次函数图象可知，设S与t的函数关系式为S＝at2＋bt＋c(a≠0)．由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝－，,4a＋2b＋c＝－2，,25a＋5b＋c＝，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝－，,4a＋2b＋c＝－2，,c＝0，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝