张量弹性力学2

几个基本概念张量的概念只需指明其大小即足以被说明的物理量，称为标量温度、质量、力所做的功除指明其大小还应指出其方向的物理量，称为矢量物体的速度、加速度在讨论力学问题时，仅引进标量和矢量的概念是不够的如应力状态、应变状态、惯性矩、弹性模量等张量关于三维空间，描述一切物理恒量的分量数目可统一地表示成：M=rn=3n标量:n=0,零阶张量矢量:n=1,一阶张量应力,应变等:n=2,二阶张量二阶以上的张量已不可能在三维空间有明显直观的几何意义。

几个基本概念为了书写上的方便，在张量的记法中，都采用下标字母符号来表示和区别该张量的所有分量。这种表示张量的方法，就称为下标记号法。下标记号法:不重复出现的下标符号,在其变程N(关于三维空间N＝3)内分别取数1，2，3，…，N重复出现的下标符号称为哑标号,取其变程N内所有分量，然后再求和，也即先罗列所有各分量，然后再求和。自由标号:哑标号:

几个基本概念当一个下标符号在一项中出现两次时，这个下标符号应理解为取其变程N中所有的值然后求和，这就叫做求和约定。求和约定:dij记号：Kroneker-delta记号

几个基本概念凡是同阶的两个或两个以上的张量可以相加(减），并得到同阶的一个新张量，法则为：张量的计算:1、张量的加减第一个张量中的每一个分量乘以第二个张量中的每一个分量，从而得到一个新的分量的集合—新张量，新张量的阶数等于因子张量的阶数之和。2、张量的乘法张量导数就是把张量的每个分量都对坐标参数求导数。3、张量函数的求导弹塑性力学基础1.1应力张量1.2偏量应力张量1.3应变张量1.4应变速率张量1.5应力、应变Lode参数1.1应力张量～力学的语言yxzO正应力剪应力过C点可以做无穷多个平面K不同的面上的应力是不同的到底如何描绘一点处的应力状态?1).一点的应力状态一点的应力状态yxzOtyxtyzsytyxtyzsytzxtzysztxytxzsxtxytxzsxtzxtzyszPABC1.1应力张量一点的应力状态可由过该点的微小正平行六面体上的应力分量来确定。应力张量数学上，在坐标变换时，服从一定坐标变换式的九个数所定义的量叫做二阶张量。用张量下标记号法下标1、2、3表示坐标x1、x2、x3即x、y、z方向(1.1)(1.2)1.1应力张量2).一点斜面上的应力(不计体力)i：自由下标；j为求和下标（同一项中重复出现）。斜截面外法线n的方向余弦:令斜截面ABC的面积为1(1.3)(1.4)1.1应力张量斜截面OABC上的正应力:斜截面OABC上的剪应力:(1.5)(1.6)1.1应力张量3).主应力及其不变量主平面:剪应力等于零的截面主应力--λ:主平面上的正应力代入采用张量下标记号Kronekerdelta记号(1.7)(1.8)(1.9)1.1应力张量dij记号：Kroneker-delta记号方向余弦满足条件：采用张量表示联合求解l1,l2,l3：l1,l2,l3不全等于0(1.10)(1.11)(1.12)(1.13)1.1应力张量联合求解l1,l2,l3：行列式展开后得：简化后得(1.14)(1.15)式中:是关于λ的三次方程，它的三个根，即为三个主应力，其相应的三组方向余弦对应于三组主平面。主应力大小与坐标选择无关，故J1,J2,J3也必与坐标选择无关。1.1应力张量若坐标轴选择恰与三个主坐标重合：(1.16)主剪应力面：平分两主平面夹角的平面，数值为：(1.17)主剪应力面(t1)213t1213t11.1应力张量最大最小剪应力：取主方向为坐标轴取向,则一点处任一截面上的剪应力的计算式:消去l3：由极值条件1.1应力张量最大最小剪应力：第一组解：第二组解：第三组解：它们分别作用在与相应主方向成45º的斜截面上因为：1.1应力张量4).八面体上的应力s1s2s3沿主应力方向取坐标轴，与坐标轴等倾角的八个面组成的图形，称为八面体。(1.19)八面体的法线方向余弦：八面体平面上应力在三个坐标轴上的投影分别为：八面体（每个坐标象限1个面）或(1.20)1.1应力张量4).八面体上的应力s1s2s3八面体面上的正应力为:八面体面上的剪应力为：八面体（每个坐标象限1个面）(1.23)(1.21)八面体面上的应力矢量为：(1.22)平均正应力1.1应力张量例题:已知一点的应力状态由以下一组应力分量所确定,即x＝3,y＝0,z＝0,xy＝1,yz

＝2,zx

＝1,应力单位为MPa。试求该点的主应力值。代入式(1.14)后得:解:解得主应力为:1.2应力偏量张量1).应力张量分解物体的变形(1.32)体积改变形状改变由各向相等的应力状态引起的材料晶格间的移动引起的球应力状态/静水压力弹性性质塑性性质球形应力张量偏量应力张量1.2应力偏量张量1).应力张量分解(1.31)球形应力张量偏量应力张量其中:平均正应力/静水压力1.2应力偏量张量2).主偏量应力和不变量(1.31)二阶对称张量其中:剪应力分量始终没有变化主偏量应力(1.33)1.2应力偏量张量证明偏应力状态的主方向与原应力状态的主方向重合例:设原应力状态主方向的方向余弦为l1,l2,l3，则由式(1.9)得证明：显然，方向余弦l1,l2,l3将由式(a)中的任意两式和l12+l22+l32=1所确定。(a)若设偏应力状态主方向的方向余弦为l1’,l2’,l3’，则由式(1.9)同样得：显然，方向余弦l1’,l2’,l3’将由式(b)中的任意两式和l1’2+l2’2+l3’2=1所确定。(b)由于:l1=l1’;l2=l2’;l3=l3’可见式(a)与式(b)具有相同的系数，且已知l12+l22+l32=l1’2+l2’2+l3’2=11.2应力偏量张量2).主偏量应力和不变量(1.33)偏应力状态的主方向与原应力状态的主方向一致,主值为:满足三次代数方程式：(1.34)式中J1’,J2’,J3’为不变量(1.35)1.2应力偏量张量(1.40)利用J1’=0，不变量J2’还可写为:(1.38)1.2应力偏量张量(1.43)3).等效应力(应力强度)在弹塑性力学中，为了使用方便，将乘以系数后，称之为等效应力(1.41)简单拉伸时:“等效”的命名由此而来。各正应力增加或减少一个平均应力，等效应力的数值不变，这也说明等效应力与球应力状态无关1.2应力偏量张量(1.42)4).等效剪应力(剪应力强度)“等效”的命名由此而来。例题：已知结构内某点的应力张量如右式，试求该点的球形应力张量、偏量应力张量、等效应力及主应力数值。

解：1.2应力偏量张量等效应力:1.2应力偏量张量关于主应力的方程为:由主应力求等效应力:1.2应力偏量张量1.3应变张量1).一点应变状态位移刚性位移变形位移物体内各点的位置虽然均有变化，但任意两点之间的距离却保持不变。物体内任意两点之间的相对距离发生了改变。要研究物体在外力作用下的变形规律，只需要研究物体内各点的相对位置变动情况，也即研究变形位移位移函数位置坐标的单值连续函数1.3应变张量微小六面体单元的变形当物体在一点处有变形时，小单元体的尺寸(即单元体各棱边的长度)及形状(即单元体各面之间所夹直角)将发生改变。由于变形很微小，可以认为两个平行面在坐标面上的投影只相差高阶微量，可忽略不计。1.3应变张量微小六面体单元的变形B点位移分量D点位移分量A点位移分量∠xOy的改变量:1.3应变张量变形后AB边长度的平方:M点沿X方向上的线应变:(a)(b)(c)代入(a)得:略去高阶微量同理，M点沿Y方向上的线应变:1.3应变张量同理:∠xOy的改变量，即剪应变:1.3应变张量对角线AC线的转角:刚性转动1.3应变张量(1.44)1).一点应变状态工程应变分量：(几何方程/柯西几何关系)1.3应变张量(1.45)1).一点应变状态受力物体内某点处所取无限多方向上的线应变与剪应变(任意两相互垂直方向所夹直角的改变量)的总和，就表示了该点的应变状态。定义:应变张量:(1.46)1.3应变张量2).主应变及其不变量由全微分公式:M点的位移分量N点的位移分量表示刚性转动，不引起应变，计算应变时可忽略。1.3应变张量在主应变空间中:主平面法线方向的线应变主应变:1.3应变张量类似于应力张量:eij:二阶对称张量。主应变e1,e2,

e3满足：

ei3-I1ei2-I2ei

-I3

=0

I1、I2、I3

为应变张量不变量。其中:(1.47)(1.48)平均正应变:1.3应变张量偏量应变张量:(1.52)eij的主轴方向与eij

的主方向一致，主值为:e1=e1-e，e2=e2-e，e3=e3-e满足三次代数方程式：(1.50)(1.51)I2’应用较广,又可表达为:1.3应变张量等效应变(应变强度):(1.54)等效剪应变(剪应变强度):(1.55)1.4应变速率张量一般来说物体变形时，体内任一点的变形不但与坐标有关，而且与时间也有关。如以u、v、w表示质点的位移分量，则:设应变速率分量为:质点的运动速度分量1.4应变速率张量线应变速率在小变形情况下，应变速率分量与应变分量之间存在有简单关系:剪应变速率1.4应变速率张量在小变形情况下的应变速率张量:(1.56)可缩写为在一般情况下，应变速率主方向与应变主方向不重合，且在加载过程中发生变化。1.4应变速率张量应变增量:应变增量由位移增量微分得：由于时间度量的绝对值对塑性规律没有影响，因此dt可不代表真实时间，而是代表一个加载过程。因而用应变增量张量来代替应变率张量更能表示不受时间参数选择的特点。(1.57)应变微分由两时刻应变差得：泰勒级数展开高阶微量忽略高阶微量1.5应力和应变的Lode参数一、应力莫尔圆（表示一点应力状态的图形）:任一斜面上应力位于阴影线内ms=Q2A/Q1A=(Q2Q3-Q1Q2)/Q1Q3AOsts3s1s2O3O2O1Q3Q2Q1如果介质中某点的三个主应力的大小为已知，便可以在-平面内绘出相应的应力圆。1.5应力和应变的Lode参数一、应力莫尔圆（表示一点应力状态的图形）:AOsts3s1s2O3O2O1Q3Q2Q1(1.61)1.5应力和应变的Lode参数一、应力莫尔圆（表示一点应力状态的图形）:AOsts3s1s2O3O2O1Q3Q2Q1(1.63)式(1.63)表明，当一点处于空间应力状态时，过该点的任一斜截面上的一对应力分量、一定落在分别以(1-2)／2、(2-3)／2、(3-1)／2为半径的三个圆的圆周所包围的阴影面积(包括三个圆周)之内。1.5应力和应变的Lode参数若在一应力状态上再叠加一个球形应力状态(各向等拉或各向等压)，则应力圆的三个直径并不改变，只是整个图形沿横轴发生平移。应力圆在横轴上的整体位置取决于球形应力张量；而各圆的大小(直径)则取决于偏应力张量，与球形应力张量无关。一点应力状态中的主应力按同一比例缩小或增大(应力分量的大小有改变，但应力状态的形式不变)，则应力圆的三个直径也按同一比例缩小或增大，即应力变化前后的两个应力圆是相似的。这种情况相当于偏量应力张量的各分量的大小有了改变，但张量的形式保持不变。

1.5应力和应变的Lode参数二、应力Lode参数:几何意义:应力圆上Q2A与Q1A之比，或两内圆直径之差与外圆直径之比。球形应力张量对塑性变形没有明显影响，因而常把这一因素分离出来，而着重研究偏量应力张量。为此，引进参数——Lode参数：Lode参数：表征Q2在Q1与Q3之间的相对位置，反映中间主应力对屈服的贡献。AOsts3s1s2O3O2O1Q3Q2Q1(1.64)1.5应力和应变的Lode参数应力Lode参数的物理意义：1、与平均应力无关；2、其值确定了应力圆的三个直径之比；3、如果两个应力状态的Lode参数相等，就说明两个应力状态对应的应力圆是相似的，即偏量应力张量的形式相同；Lode参数是排除球形应力张量的影响而描绘应力状态特征的一个参数。它可以表征偏应力张量的形式。(1.65)1.5应力和应变的Lode参数简单应力状态的Lode参数：Q3OQ1Q2stAQ1OQ2Q3stA单向压缩(s1=s2=0,s3<0)单向拉伸(s1>0,s2=s3=0)