数学建模-微分方程模型

微分方程模型5.1微分方程模型及几个简单实例

5.2

传染病模型5.3

经济增长模型5.4

正规战与游击战5.5

药物在体内的分布与排除5.6

香烟过滤嘴的作用5.7人口的预测和控制动态模型

描述对象特征随时间(空间)的演变过程.

分析对象特征的变化规律.

预报对象特征的未来性态.

研究控制对象特征的手段.

根据函数及其变化率之间的关系确定函数.微分方程建模

根据建模目的和问题分析作出简化假设.

按照内在规律或用类比法建立微分方程.在研究实际问题时,我们常常不能直接得出变量之间的关系,但却能容易得出包含变量导数在内的关系式,这就是微分方程.

不管是微分方程还是差分方程模型，有时无法得到其解析解(必要时,可以利用计算机求其数值解),既使得到其解析解,尚有未知参数需要估计，可利用参数估计方法.

而在实际问题中,讨论问题的解的变化趋势很重要，因此，以下知识只对其平衡点的稳定性加以讨论.5.1微分方程模型及几个简单实例如果则称平衡点x0是稳定的.称代数方程

f(x)=0的实根x=x0为方程(3-1)的平衡点(或奇点).它也是方程(3-1)的解.设5.1.1微分方程模型稳定性判别方法由于在讨论方程(3-1)的来代替.稳定性时，可用易知

x0也是方程(3-2)的平衡点.(3-2)的通解为关于x0是否稳定有以下结论：①若则x0是稳定的；②

若则x0是不稳定的.这个结论对于(4-1)也是成立的.关于常微分方程组的平衡点及其稳定性,设代数方程组的实根x=x0,y=y0称为方程(3-3)的平衡点,记作P0(x0,y0).它也是方程(3-3)的解.如果则称平衡点P0是稳定的.下面给出判别平衡点P0是否稳定的判别准则.设

则当p＞0且q＞0时,平衡点P0是稳定的；当p＜0或q＜0时,平衡点P0是不稳定的.5.1.2

几个简单实例

实例1冷却问题将温度为T。=150℃的物体放在温度为24℃的空气中冷却，经10分钟后，物体温度降为T=100℃，问t=20分钟时，物体的温度是多少？解：设物体的温度T随时间t的变化规律为T=T(t)则由冷却定律及条件可得：其中K>0为比例常数，负号表示温度是下降的，这就是所要建立的数学模型。由于这个模型是一阶线性微分方程，很容易求出其特解为由T(10)=100,可定出K≈0.05当t=20时

思考题：估计凶杀的作案时间某天晚上11:00时，在一住宅内发现一受害者的尸体，法医于11:35分赶到现场，立刻测量死者的体温为30.8℃，一小时后再次测量体温为29.1℃，法医还注意到当时室温为28℃，试估计受害者的死亡时间。

考古、地质学等方面的专家常用14C测定法（通常称碳定年代法）来估计文物或化石的年代。实例2碳定年代法14C的蜕变规律14C是一种由宇宙射线不断轰击大气层，使大气层产生中子，中子与氮气作用生成的具有放射性的物质。这种放射性碳可氧化成二氧化碳，二氧化碳被植物所吸收，而植物又作为动物的食物，于是放射性碳被带到各种动植物体内。14C是放射性的，无论在空气中还是在生物体内他都在不断蜕变，这种蜕变规律我们可以求出来。通常假定其蜕变速度与该时刻的存余量成正比。

设在时刻t（年），生物体中14C的存量为x(t),生物体的死亡时间记为t0=0,此时14C含量为x0,由假设，初值问题

（1.1）的解为（1.2）其中，为常数，k前面的符号表示14C的存量是递减的。（1.2）式表明14C是按指数递减的，而常数k可由半衰期确定，若14C的半衰期为T,则有

(1.3)将（1.3）代入（1.2）得

即有（1.4）碳定年代法的根据活着的生物通过新陈代谢不断摄取14C,因而他们体内的14C与空气中的14C含量相同，而生物死亡之后，停止摄取14C，因而尸体内的14C由于不断蜕变而不断减少。碳定年代法就是根据生物体死亡之后体内14C蜕变减少量的变化情况来判断生物的死亡时间的。碳定年代法的计算由（1.4）解得

(1.5)由于x(0),x(t)不便于测量，我们可把(1.5)作如下修改.对(1.2)式两边求导数，得

(1.6)而(1.7)(1.6)和(1.7)两式相除，得将上式代入(1.5)，得

(1.8)这样由(1.8)可知，只要知道生物体在死亡时体内14C的蜕变速度和现在时刻t的蜕变速度,就可以求得生物体的死亡时间了，在实际计算上，都假定现代生物体中14C的蜕变速度与生物体死亡时代生物体中14C的蜕变速度相同。马王堆一号墓年代的确定马王堆一号墓于1972年8月出土，其时测得出土的木炭标本的14C平均原子蜕变数为29.78/s,而新砍伐木头烧成的木炭中14C平均原子蜕变数为38.37/s,又知14C的半衰期为5568年，这样，我们可以把,，T=5568年代入(1.8)，得这样就估算出马王堆一号墓大约是在2000多年前。两个注记（1）马王堆中的古代科技之谜素纱蝉衣：两件轻薄的衣服，丝绸，极轻且两千年不腐，南京云锦研究所接受国家科技攻关，用了二十年时间，于1990年成功研制出类似素纱蝉衣的复制品，但该复制品比汉代的还重50克，已不可能再轻。女尸千年不腐：病理知识：女尸解剖显示患有非常严重的冠心病；肺部有肺结核的钙化，肺部钙化是肺结核痊愈后的表现。2000年后的今天，要想控制肺结核，除自身的抵抗力要强外，还要有好的营养，要想痊愈是很困难的。两处胆结石，其一在胆总管，有蚕豆大，胆道被堵得水泄不通。三种寄生虫，其中竟有血吸虫，其症状应为腹胀如鼓，骨瘦如柴，但该女子皮下脂肪异常丰满，显然血吸虫被有效的控制住了。该西汉贵妇生前病魔缠身，但从其遗体上未发现长期卧床养病的迹象。一个同时患有这么多疾病的人，能够长期稳定控制病情，在今天也是一个奇迹，说明汉代医术已达到相当高的水平。2）碳定年代法的不足现在，14C年代测定法已受到怀疑，在2500----10000年前这段时间中与其他断代法的结果有差异。1966年，耶鲁实验室的MinzeStuiver和加利福尼亚大学圣地亚哥分校的HansE.Suess在一份报告中指出了这一时期使14C年代测定产生误差的根本原因。在那个年代，宇宙射线的放射强度减弱了，偏差的峰值发生在大约6000年以前。这两位研究人员的结论出自对Brist/econe松树所作的14C年代测定的结果，因为这种松树同时还提供了精确的年轮断代。他们提出了一个很成功的误差公式，用来校正根据14C断代定出的2300----6000年前这期间的年代：真正的年代=14C年×1.4—900。实例3范.梅格伦伪造名画案第二次世界大战比利时解放后，荷兰保安机关开始搜捕纳粹分子的合作者，发现一名三流画家H.A.Vanmeegren曾将17世纪荷兰著名画家Jan.Vermeer的一批名贵油画盗卖给德寇，于1945年5月29日通敌罪逮捕了此人。

Vanmeegren被捕后宣称他从未出卖过荷兰的利益，所有的油画都是自己伪造的，为了证实这一切，在狱中开始伪造Vermeer的画《耶稣在学者中间》。当他的工作快完成时，又获悉他可能以伪造罪被判刑，于是拒绝将画老化，以免留下罪证。为了审理这一案件，法庭组织了一个由化学家、物理学家、艺术史学家等参加的国际专门小组，采用了当时最先进的科学方法，动用了X-光线透视等，对颜料成份进行分析，终于在几幅画中发现了现代物质诸如现代颜料钴蓝的痕迹。这样，伪造罪成立，Vanmeegren被判一年徒刑。1947年11月30日他在狱中心脏病发作而死去。但是，许多人还是不相信其余的名画是伪造的，因为，

Vanmeegren在狱中作的画实在是质量太差，所找理由都不能使怀疑者满意。直到20年后，1967年，卡内基梅隆大学的科学家们用微分方程模型解决了这一问题。原理著名物理学家卢瑟夫（Rutherford）指出：

物质的放射性正比于现存物质的原子数。设时刻的原子数为，则有为物质的衰变常数。初始条件半衰期碳-14铀-238镭-226铅-210能测出或算出，只要知道就可算出这正是问题的难处，下面是间接确定的方法。断代。油画中的放射性物质白铅（铅的氧化物）是油画中的颜料之一，应用已有2000余年，白铅中含有少量的铅(Pb210)和更少量的镭(Ra226)。白铅是由铅金属产生的，而铅金属是经过熔炼从铅矿中提取来出的。当白铅从处于放射性平衡状态的矿中提取出来时，Pb210的绝大多数来源被切断，因而要迅速蜕变，直到Pb210与少量的镭再度处于放射平衡，这时Pb210的蜕变正好等于镭蜕变所补足的为止。铀238镭226铅210钋210铅206（放射性）（无放射性）假设（1）镭的半衰期为1600年，我们只对17世纪的油画感兴趣，时经300多年，白铅中镭至少还有原量的90%以上，所以每克白铅中每分钟镭的衰变数可视为常数，用表示。（2）钋的半衰期为138天容易测定，铅210的半衰期为22年，对要鉴别的300多年的颜料来说，每克白铅中每分钟钋的衰变数与铅210的衰变数可视为相等。建模设时刻每克白铅中含铅210的数量为，为制造时刻每克白铅中含铅210的数量。为铅210的衰变常数。则油画中铅210含量求解均可测出。可算出白铅中铅的衰变率，再于当时的矿物比较，以鉴别真伪。矿石中铀的最大含量可能2~3%，若白铅中铅210每分钟衰变超过3万个原子，则矿石中含铀量超过4%。测定结果与分析画名钋210衰变原子数镭226衰变原子数Emmaus的信徒们8.50.82洗足12.60.26读乐谱的妇人10.30.3弹曼陀林的妇人8.20.17做花边的人1.51.4欢笑的女孩5.26.0若第一幅画是真品，铅210每分钟每克衰变不合理，为赝品。同理可检验第2，3，4幅画亦为赝品，而后两幅画为真品。在影视厅或报告厅，经常会为前边观众遮挡住自己的视线而苦恼。显然，场内的观众都在朝台上看，如果场内地面不做成前低后高的坡度模式，那么前边观众必然会遮挡后面观众的视线。试建立数学模型设计良好的报告厅地面坡度曲线。实例4观众厅地面设计1问题的提出建立坐标系oo—处在台上的设计视点bb—第一排观众的眼睛到x轴的垂直距离xyadda—第一排观众与设计视点的水平距离d—相邻两排的排距—视线升高标准x—表示任一排与设计视点的水平距离求任一排x与设计视点o的竖直距离函数使此曲线满足视线的无遮挡要求。问题2问题的假设观众厅地面的纵剖面图一致，只需求中轴线上地面的起伏曲线即可。同一排的座位在同一等高线上。每个坐在座位上的观众的眼睛与地面的距离相等。每个坐在座位上的观众的头与地面的距离也相等。所求曲线只要使观众的视线从紧邻的前一个座位的人的头顶擦过即可。3建模设眼睛升起曲线应满足微分方程初始条件obxyadd1）从第一排起，观众眼睛与o点的连线的斜率随排数的增加而增加，而眼睛升起曲线显然与这些直线皆相交，故此升起曲线是凹的。2）选择某排和相邻排oyx-dC(x,0)C2(x+d,0)MM2M1xN1ABN相似于D再计算相似于4模型求解微分不等式（比较定理）设函数定义在某个区域上，且满足1）在D上满足存在唯一性定理的条件；2）在D上有不等式则初值问题与的解在它们共同存在区间上满足所求曲线的近似曲线方程（折衷法）折衷法5总结与讨论有时只需求近似解。方法利用微分不等式建模；模型讨论obxyadd1）视点移动时升起曲线如何求得？2）怎样减少地面的坡度？调整参数、相邻排错位。3）衡量经济的指标？座位尽量多、升起曲线占据的空间尽量少等。5.2传染病模型

描述传染病的传播过程.

分析受感染人数的变化规律.

预报传染病高潮到来的时刻.

预防传染病蔓延的手段.不是从医学角度分析各种传染病的特殊机理,而是按照传播过程的一般规律建立数学模型.背景与问题传染病的极大危害(艾滋病、SARS、)基本方法

已感染人数(病人)i(t)每个病人每天有效接触(足以使人致病)人数为模型1假设若有效接触的是病人,则不能使病人数增加必须区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)建模?模型2区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)假设1）总人数N不变，病人和健康人的比例分别为.2）每个病人每天有效接触人数为,且使接触的健康人致病.建模~日接触率SI模型模型21/2tmii010ttm~传染病高潮到来时刻(日接触率)tmLogistic模型病人可以治愈！?t=tm,di/dt最大模型3传染病无免疫性——病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染.增加假设SIS模型3）病人每天治愈的比例为~日治愈率建模~日接触率1/~感染期~一个感染期内每个病人的有效接触人数，称为接触数.mls/=模型3i0i0接触数=1~阈值感染期内有效接触使健康者感染的人数不超过原有的病人数1-1/i0模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例idi/dtO1>1Oti>11-1/iOt1di/dt<0>1,i0<1-1/i(t)按S形曲线增长接触数

(感染期内每个病人的有效接触人数)i(t)单调下降模型4传染病有免疫性——病人治愈后即移出感染系统，称移出者.SIR模型假设1）总人数N不变，病人、健康人和移出者的比例分别为.2）病人的日接触率

,日治愈率,

接触数=/建模需建立的两个方程.模型4SIR模型无法求出的解析解先做数值计算,再在相平面上研究解析解性质(通常r(0)=r0很小)模型4SIR模型的数值解i(t)从初值增长到最大;t,i0.s(t)单调减;t,s0.04.设=1,=0.3,i0=0.02,s0=0.98,用MATLAB计算作图i(t),s(t)及i(s)si相轨线i(s)模型4消去dtSIR模型的相轨线分析相轨线的定义域相轨线11siOD在D内作相轨线的图形，进行分析si1O1D模型4SIR模型相轨线及其分析传染病蔓延传染病不蔓延s(t)单调减相轨线的方向P1s0imP1:s0>1/i(t)先升后降至0P2:s0<1/i(t)单调降至01/~阈值P3P4P2S0模型4SIR模型预防传染病蔓延的手段(日接触率)卫生水平(日治愈率)医疗水平传染病不蔓延的条件——s0<1/的估计

降低s0提高r0

提高阈值1/

降低(=/),群体免疫忽略i0模型4预防传染病蔓延的手段

降低日接触率

提高日治愈率

提高移出比例r0以最终未感染比例s和病人比例最大值im为度量指标.1/s0i0si10.30.30.980.020.03980.34490.60.30.50.980.020.19650.16350.50.51.00.980.020.81220.02000.40.51.250.980.020.91720.020010.30.30.700.020.08400.16850.60.30.50.700.020.30560.05180.50.51.00.700.020.65280.02000.40.51.250.700.020.67550.0200,s0(r0

)s

,ims

,im模型4SIR模型被传染人数的估计记被传染人数比例x<<s0iOP1i00,s01小,s0

1提高阈值1/s0-1/=降低被传染人数比例x传染病模型模型1模型2(SI)模型3(SIS)模型4(SIR)区分病人和健康人考虑治愈模型3,4:描述传播过程,分析变化规律,

预报高潮时刻,预防蔓延手段.模型4:数值计算与理论分析相结合.5.3

经济增长模型增加生产发展经济增加投资增加劳动力提高技术

建立产值与资金、劳动力之间的关系.

研究资金与劳动力的最佳分配，使投资效益最大.

调节资金与劳动力的增长率，使经济(生产率)增长.1）道格拉斯(Douglas)生产函数

产值Q(t)F为待定函数资金K(t)劳动力L(t)技术f(t)=f0(常数)模型假设静态模型每个劳动力的产值每个劳动力的投资z随着

y的增加而增长，但增长速度递减yg(y)O1）

Douglas生产函数解释含义？Douglas生产函数产值Q,资金K,劳动力L,技术f0~资金在产值中的份额1-~劳动力在产值中的份额更一般的道格拉斯(Douglas)生产函数1）

Douglas生产函数~单位资金创造的产值~单位劳动力创造的产值w,r,K/L求资金与劳动力的分配比例K/L(每个劳动力占有的资金)，使效益S最大.资金和劳动力创造的效益资金来自贷款，利率r劳动力付工资w2）资金与劳动力的最佳分配（静态模型）3)经济(生产率)增长的条件(动态模型)要使Q(t)或Z(t)=Q(t)/L(t)增长,K(t),L(t)应满足的条件模型假设

投资增长率与产值成正比(用一定比例扩大再生产)

劳动力相对增长率为常数Bernoulli方程3)经济增长的条件产值Q(t)增长dQ/dt>03)经济增长的条件~劳动力相对增长率每个劳动力的产值Z(t)=Q(t)/L(t)增长dZ/dt>03)经济增长的条件劳动力增长率小于初始投资增长率5.4正规战与游击战战争分类：正规战争，游击战争，混合战争.只考虑双方兵力多少和战斗力强弱.兵力因战斗及非战斗减员而减少，因增援而增加.战斗力与射击次数及命中率有关.建模思路和方法为用数学模型讨论社会领域的实际问题提供了可借鉴的示例.第一次世界大战Lanchester提出预测战役结局的模型.一般模型

每方战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力.

每方非战斗减员率与本方兵力成正比.

甲乙双方的增援率为u(t),v(t).f,g

取决于战争类型x(t)~甲方兵力，y(t)~乙方兵力模型假设模型正规战争模型

甲方战斗减员率只取决于乙方的兵力和战斗力双方均以正规部队作战

忽略非战斗减员

假设没有增援f(x,y)=ay,a~乙方每个士兵的杀伤率a=rypy,ry~射击率，

py~命中率O正规战争模型为判断战争的结局，不求x(t),y(t)而在相平面上讨论x与y的关系.平方律模型乙方胜游击战争模型双方都用游击部队作战

甲方战斗减员率还随着甲方兵力的增加而增加

忽略非战斗减员

假设没有增援f(x,y)=cxy,c~乙方每个士兵的杀伤率c=rypyry~射击率py~命中率py=sry/sxsx~甲方活动面积sry~乙方射击有效面积O游击战争模型线性律模型O混合战争模型甲方为游击部队，乙方为正规部队乙方必须10倍于甲方的兵力!设x0=100,rx/ry=1/2,px=0.1,sx=1(km2),sry=1(m2)5.5

药物在体内的分布与排除

药物进入机体形成血药浓度(单位体积血液的药物量).

血药浓度需保持在一定范围内——给药方案设计.

药物在体内吸收、分布和排除过程——药物动力学.

建立房室模型——药物动力学的基本步骤.

房室——机体的一部分，药物在一个房室内均匀分布(血药浓度为常数)，在房室间按一定规律转移.

本节讨论二室模型——中心室(心、肺、肾等)和周边室(四肢、肌肉等).模型假设

中心室(1)和周边室(2),容积不变.

药物在房室间转移速率及向体外排除速率与该室血药浓度成正比.

药物从体外进入中心室，在二室间相互转移,从中心室排出体外.模型建立

中心室周边室给药排除c1(t),x1(t)V1c2(t),x2(t)V2转移线性常系数非齐次方程对应齐次方程通解模型建立几种常见的给药方式1.快速静脉注射t=0

瞬时注射剂量D0的药物进入中心室,血药浓度立即为D0/V1给药速率f0(t)和初始条件2.恒速静脉滴注t>T,c1(t)和c2(t)按指数规律趋于零0tT

药物以速率k0进入中心室3.口服或肌肉注射相当于药物(剂量D0)先进入吸收室，吸收后进入中心室.吸收室药量x0(t)吸收室中心室D0参数估计各种给药方式下的c1(t),c2(t)取决于参数k12,k21,k13,V1,V2t=0快速静脉注射D0,在ti(i=1,2,,n)测得c1(ti)由较大的用最小二乘法确定A,由较小的用最小二乘法确定B,参数估计进入中心室的药物全部排除

建立房室模型,研究体内血药浓度变化过程,确定转移速率、排除速率等参数,为制订给药方案提供依据.

机理分析确定模型形式，测试分析估计模型参数.药物在体内的分布与排除房室模型：一室模型二室模型多室模型非线性(一室)模型c1较小时近似于线性~一级排除过程如c1较大时近似于常数~零级排除过程

过滤嘴的作用与它的材料和长度有什么关系?

人体吸入的毒物量与哪些因素有关，其中什么因素影响大，什么因素影响小?模型分析

分析吸烟时毒物进入人体的过程，建立吸烟过程的数学模型.

设想一个“机器人”在典型环境下吸烟，吸烟方式和外部环境在整个过程中不变.问题5.6

香烟过滤嘴的作用模型假设定性分析1）l1~烟草长，l2~过滤嘴长，l=l1+l2，毒物量M均匀分布，密度w0=M/l1.2）点燃处毒物随烟雾进入空气和沿香烟穿行的数量比是a´:a,a´+a=1.3）未点燃的烟草和过滤嘴对随烟雾穿行的毒物的(单位时间)吸收率分别是b和.4）烟雾沿香烟穿行速度是常数v，香烟燃烧速度是常数u，v>>u.Q~吸一支烟毒物进入人体总量模型建立Ot=0,x=0，点燃香烟q(x,t)~毒物流量w(x,t)~毒物密度1)求q(x,0)=q(x)流量守恒t时刻，香烟燃至x=ut1)求q(x,0)=q(x)2)求q(l,t)3)求w(ut,t)考察t内毒物密度的增量(单位长度烟雾毒物被吸收部分)4)计算QQ~吸一支烟毒物进入人体总量结果分析烟草为什么有作用?1）Q与a,M成正比，aM是毒物集中在x=l处的吸入量2)~过滤嘴因素，,l2~负指数作用是毒物集中在x=l1处的吸入量3）(r)~烟草的吸收作用b,l1~线性作用带过滤嘴不带过滤嘴结果分析4)与另一支不带过滤嘴的香烟比较，w0,b,a,v,l均相同，吸至x=l1扔掉.提高-b与加长l2，效果相同.香烟过滤嘴的作用

在基本合理的简化假设下，用精确的数学工具解决一个看来不易下手的实际问题.

引入两个基本函数：流量q(x,t)和密度w(x,t)，运用物理学的守恒定律建立微分方程，构造动态模型.

对求解结果进行定性和定量分析，得到合乎实际的结论.背景

年份1625183019301960197419871999人口(亿)5102030405060世界人口增长概况中国人口增长概况

年份19081933195319641982199019952000人口(亿)3.04.76.07.210.311.312.013.0研究人口变化规律控制人口过快增长5.7人口的预测和控制做出较准确的预报建立人口数学模型指数增长模型——马尔萨斯1798年提出常用的计算公式x(t)~时刻t的人口基本假设

:人口(相对)增长率r

是常数今年人口x0,年增长率rk年后人口随着时间增加，人口按指数规律无限增长.与常用公式的一致rtextx0)(=?指数增长模型的应用及局限性

与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合.

适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代.

可用于短期人口增长预测.

不符合19世纪后多数地区人口增长规律.

不能预测较长期的人口增长过程.19世纪后人口数据人口增长率r不是常数(逐渐下降)阻滞增长模型——逻辑斯蒂(Logistic)模型人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用,且阻滞作用随人口数量增加而变大假设r~固有增长率(x很小时)xm~人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）r是x的减函数dx/dtx