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文档简介

集合(二)高中数学奥赛辅导讲座--第一讲山东滕州一中王洪涛集合与集合;集合与其子集

1.集合与集合:AB,AB,AB,A∩B,A∪B,UA,……

2差集:A-B={x|x∈A且xB}(部分资料上用“A\B”表示)3.集合运算律:(略)4.n个元素的集合所有子集个数为:2n已知集合A={1,3,x},B={1,x2},A∪B={1,3,x},则这样的x的不同的值有()个

A.1 B.2 C.3 D.42.已知集合M中的元素都是自然数,且如果x∈M,则8-x∈M,则满足这样条件的集合M的个数为()

A.64 B.32 C.16 D.83.求集合{x∈Z|≤2x<32}的真子集个数.4.已知M={a,a+d,a+2d},N={a,aq,aq2},且M=N,求q的值.一.集合与集合的运算例5.已知集合M={直线},N={抛物线},则M∩N中元素的个数为()

(A)0;(B)0,1,2其中之一;(C)无穷;(D)无法确定[分析]M中的元素为直线,是无限集;N中的元素为抛物线,它也是无限集。由于两集合中的元素完全不同,即既是直线又是抛物线(曲线)的图形根本不存在,故M∩N=φ,选(A)[说明]若想当然地误认为M中的元素是直线上的点,N中的元素是抛物线上的点,当误认为是判断直线与抛物线的位置关系即相交,相切、相离时,会选(B);

例6.已知A={y|y=x2-4x+3,x∈R},B={y∣y=-x2-2x+2,x∈R},求A∩B先看下面的解法:

解:联立方程组

y=x2-4x+3①

y=-x2-2x+2②①-②消去y,得

2x2-2x+1=0③因为Δ=(-2)2-4×2×1=-4<0,方程③无实根,故A∩B=φ上述解法对吗?

[说明]上述解法对吗?画出两抛物线的图象:y=x2-4x+3=(x-1)(x-3),开口向上,与x轴交于(1,0)、(3,0),对称轴为x=2,纵截距为3;y=-x2-2x+2=-(x+1)2+3,开口向下,与x轴交于(-1-√3,0)、(-1+√3,0),对称轴为x=-1,观察可知,它们确实没有交点,但这解答对吗?

42-2-4-5542-2-4-55回头审视两集合A、B,它们并不是由抛物线上的点构成的点集。两集合中的元素都是实数y,即当x∈R时相应的二次函数的函数值所组成的集合,即二次函数的值域集合。故由y=x2-4x+3=(x-2)2-1≥-1,y=-x2-2x+2=-(x+1)2+3≤3,可知A={y∣y≥-1},B={y∣y≤3},它们的元素都是“实数”,从而有M∩N={y∣-1≤y≤3}你看,认清集合中元素的构成是多么重要!二.集合与集合的包容关系在两个集合之间的关系中,我们感兴趣的是“子集”、“真子集”、“相等”这三种特殊关系。这些关系是通过元素与集合的关系来揭示的,因而判断两个集合之间的关系通常可从判断元素与这两个集合的关系入手。例7.已知集合A中有10个元素,且每个元素都是两位整数,证明:一定存在这样两个A的子集,它们中没有相同的元素,而它们的元素之和相等.证明:这10个元素的总和S<100×10=1000

而A的子集总共有210=1024>1000>S

根据抽屉原理,至少存在两个子集,他们的元素之和相等,记为M、N,

如果M、N没有公共元素,则M、N就是满足题意的子集,命题得证.

如果M、N中有公共元素,记M∩N=Q,

考查集合M'=M-Q,N'=N-Q

则M'、N'中没有公共元素,且M'、N'的元素之和相等,同时它们都是A的子集.

即M'、N'为所求集合.

命题成立!解:(1)

。例8.S1、S2、S3为非空集合,对于1,2,3的任意一个排列i、j、k,若x∈

Si

y∈Sj,则x-y∈Sk(1)证明:三个集合中至少有两个相等。

(2)三个集合中是否可能有两个集无公共元素?证明:(1)若x∈

Si

y∈Sj,则x-y∈Sk

所以每个集合中均有非负元素。当三个集合中的元素都为零时,命题显然成立。否则,设S1、S2、S3中的最小正元素为a,不妨设a∈S1,设b为S2、S3中最小的非负元素,不妨设b∈S2则b-a∈S3。若b>0,则0≤b-a<b,与b

的取法矛盾。所以b=0。任取x∈S1因0∈S2,

故x-0=x∈S3。所以,同理所以S1=S2。(2)可能。例如S1=S2={奇数},S3={偶数}显然满足条件,S1和S2与S3都无公共元素。例9.设S为满足下列条件的有理数的集合:①若a∈S,b∈S,则a+b∈S,ab∈S;②对任一个有理数r,三个关系r∈S,-r∈S,r=0有且仅有一个成立。证明:S是由全体正有理数组成的集合。证明:设任意的r∈Q,r≠0,由②知r∈S,或-r∈S之一成立。再由①,若r∈S,则;若-r∈S,则。总之,取r=1,则1∈S。再由①,2=1+1∈S,3=1+2∈S,…,可知全体正整数都属于S。设p、q∈S,由①pq∈S,又由前证知,所以

∈S。因此,S含有全体正有理数。

再由①知,0及全体负有理数不属于S。即S是由全体正有理数组成的集合。例10.已知集合:问(1)当a取何值时,(A∪B)∩C为含有两个元素的集合?(2)当a取何值时,(A∪B)∩C为含有三个元素的集合?解:(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)。A∩C与B∩C分别为方程组(Ⅰ)(Ⅱ)的解集。由(Ⅰ)解得(x,y)=(0,1)=(,);由(Ⅱ)解得(x,y)=(1,0),

(1)使(A∪B)∩C恰有两个元素的情况只有两种可能

①②由①解得a=0;由②解得a=1。故a=0或1时,(A∪B)∩C恰有两个元素

(2)使(A∪B)∩C恰有三个元素的情况是:

解得,故当时,(A∪B)∩C恰有三个元素。例10.设n∈N且n≥15,A、B都是{1,2,3,…,n}真子集,A∩B=φ,且A∪B={1,2,3,…,n}。求证:A或者B中必有两个不同数的和为完全平方数。证明:由题设,{1,2,3,…,n}的任何元素必属于且只属于它的真子集A、B之一。

假设结论不真,则存在如题设的{1,2,3,…,n}的真子集A、B,使得无论是A还是B中的任两个不同的数的和都不是完全平方数。

不妨设1∈A,则3A,否则1+3=22,与假设矛盾,所以3∈B。同样6B,所以6∈A,这时10A,,即10∈B。因n≥15,而15或者在A中,或者在B中,但当15∈A时,因1∈A,1+15=42,矛盾;当15∈B时,因10∈B,于是有10+15=52,仍然矛盾。因此假设不真。即结论成立。已知A={x|x2-4x+3<0,x∈R},B={x|21-x+a≤0,x2-2(a+7)+5≤0,x∈R},若AB,则实数a的取值范围是___________________.

易得:A=(1,3),设要使只需f(x)、g(x)在(1,3)上的图象均在x轴下方,其充要条件是f(1)≤0,f(3)≤0,g(1)≤0,g(3)≤0,由此推出-4≤a≤-1.三.有限集合子集的个数问题:

(1)集合{a}一共有几个子集?

(2)集合{a,b}一共有几个子集?

(3)集合{a,b,c}一共有几个子集?

(4)集合{a,b,c,d}一共有几个子集?

(5)猜想集合{a1,a2…,an}一共有几个子集?

(6)利用上述猜想确定符合下列条件的集合M的个数:{1,2}M{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}。以上诸问题都牵涉到有限集合子集的个数问题。以上诸问题都牵涉到有限集合子集的个数问题。有限集合{a}的子集有:φ,{a};共两个

有限集合{a,b}的子集有:φ,{a},{b},{a,b};共4=22个;有限集合{a,b,c}的子集有:φ;{a},{b},{c};{a,b},{a,c},{b,c};{a,b,c};8=23个;有限集{a,b,c,d}的子集有φ:{a},{b},{c},{d};{a,b},{a,c},{a,d},{b,c},{b,d},{c,d};{a,b,c},{a,b,d},{a,c,d},{b,c,d};{a,b,c,d};共16=24个。这里,{a,b,c,d}的子集可以分成两部分,一部分不包括d,是{a,b,c}的子集;另一部分包括d,是{a,b,c}中每一个子集与{d}的并集。

循此思路,注意到2,4=22,8=23,16=24的规律,可以猜想有限集合{a1,a2…,an}的子集共有2n个,其中非空子集有2n-1个;真子集也有2n-1个,非空真子集有2n-1-1=2n-2个。利用上述猜想,问题(6)中集合M的个数应当有28=256个。例7.一个集合含有10个互不相同的两位数。试证,这个集合必有2个无公共元素的子集合,此两子集的各数之和相等。分析:两位数共有10,11,……,99,计99-9=90个,最大的10个两位数依次是90,91,……,99,其和为945,因此,由10个两位数组成的任意一个集合中,其任一个子集中各元素之和都不会超过945,而它的非空子集却有210-1=1023个,这是解决问题的突破口。例7.一个集合含有10个互不相同的两位数。试证,这个集合必有2个无公共元素的子集合,此两子集的各数之和相等。解:已知集合含有10个不同的两位数,因它含有10个元素,故必有210=1024个子集,其中非空子集有1023个,每一个子集内各数之和都不超过90+91+…98+99=945<1023,根据抽屉原理,一定存在2个不同的子集,其元素之和相等。如此2个子集无公共元素,即交集为空集,则已符合题目要求;如果这2个子集有公共元素,则划去它们的公共元素即共有的数字,可得两个无公共元素的非空子集,其所含参数之和相等。说明:此题构造了一个抽屉原理模型,分两步完成,计算子集中数字之和最多有945个“抽屉”,计算非空子集得1023个“苹果”,由此得出必有两个子集数字之和相等。第二步考察它们有无公共元素,如无公共元素,则已符合要求;如有公共元素,则去掉相同的数字,得出无公共元素并且非空的两个子集,满足条件。可见,有限元素子集个数公式起了关键作用。例8.设A={1,2,3,…,n},对xA,设x中各元素之和为Nx,求Nx的总和解:A中共有n个元素,其子集共有2n个。A中每一个元素在其非空子集中都出现了2n-1次,(为什么?因为A的所有子集对其中任一个元素i都可分为两类,一类是不含i的,它们也都是{1,2,…,i-1,i+1,…n}的子集,共2n-1个;另一类是含i的,只要把i加入到刚才的2n-1个子集中的每一个中去)。因而求A的所有子集中所有元素之和Nx的总和时,A中每一个元素都加了2n-1次,即出现了2n-1次,故得=1×2n-1+2×2n-1+…+n……2n-1

=(1+2+…+n)·2n-1=n(n+1)/2×2n-1=n(n+1)×2n-2

说明:这里运用了整体处理的思想及公式1+2+…+n=(1/2)n(n+1),其理论依据是加法的交换律、结合律、乘法的意义等。得出集合中每一个元素都在总和中出现了2n-1次,是打开解题思路之门的钥匙孔。一张纸上画有半径为R的圆O和圆内一定点A,且OA=a.拆叠纸片,使圆周上某一点A/刚好与A点重合,这样的每一种拆法

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