Linear System Theory-Lec 5-1-第五章-系统的运动稳定性

1LinearSystemTheory

Lecture6北京交通大学先进控制系统研究所张严心讲授电话：51683974办公室：9号楼西503xxxtll2015zyx@126.com密码：xxxtll2015第五章系统的运动稳定性Lyapunov意义下的运动稳定性（针对一般非线性系统）线性时变系统的稳定性判定线性定常系统的稳定性线性系统外部稳定性与内部稳定性之间的关系为什么要研究平衡点的稳定性问题概述一个自动控制系统要能正常工作,必须首先是一个稳定的系统。电机自动调速系统中保持电机转速为一定的能力以及火箭飞行中保持航向为一定的能力等。具有稳定性的系统称为稳定系统。稳定性的定义为：当系统受到外界干扰后,显然它的平衡被破坏,但在外扰去掉以后,它仍有能力自动地在平衡态下继续工作。如果一个系统不具有上述特性，则称为不稳定系统。分析控制系统的稳定性,一直是控制理论中所关注的最重要问题。在经典控制理论中,借助于常微分方程稳定性理论,产生了许多稳定性判据,如劳斯-赫尔维茨(Routh-Hurwitz)判据和奈奎斯特判据等，都给出了既实用又方便的判别系统稳定性的方法。但这些稳定性判别方法仅限于讨论SISO线性定常系统输入输出间动态关系,讨论的是线性定常系统的有界输入有界输出(BIBO)稳定性,未研究系统的内部状态变化的稳定性。也不能推广到时变系统和非线性系统等复杂系统。对于非线性或时变系统,虽然通过一些系统转化方法,上述稳定判据尚能在某些特定系统和范围内应用,但是难以胜任一般系统。Lyapunov稳定性定理控制系统的稳定性,通常有两种定义方式：外部稳定性：是指系统在零初始条件下通过其外部状态,即由系统的输入和输出两者关系所定义的外部稳定性。经典控制理论讨论的确有界输入有界输出稳定即为外部稳定性

。内部稳定性：是关于动力学系统的内部状态变化所呈现稳定性,即系统的内部状态稳定性。本节讨论的Lyapunov稳定性即为内部稳定性。外部稳定性只适用于线性系统,内部稳定性不但适用于线性系统,而且也适用于非线性系统。对于同一个线性系统,只有在满足一定的条件下两种定义才具有等价性。1892年,俄国学者Lyapunov发表题为“运动稳定性一般问题”的著名文献,建立了关于运动稳定性研究的一般理论。Lyapunov理论得到极大发展,在数学、力学、控制理论、机械工程等领域得到广泛应用。Lyapunov把分析一阶常微分方程组稳定性的所有方法归纳为两类。第一类方法是将非线性系统在平衡态附近线性化,然后通过讨论线性化系统的特征值(或极点)分布及稳定性来讨论原非线性系统的稳定性问题。这是一种较简捷的方法,与经典控制理论中判别稳定性方法的思路是一致的。该方法称为间接法,亦称为Lyapunov第一法。第二类方法不是通过解方程或求系统特征值来判别稳定性,而是通过定义一个叫做Lyapunov函数的标量函数来分析判别稳定性。由于不用解方程就能直接判别系统稳定性,所以第二种方法称为直接法,亦称为Lyapunov第二法。5.1Lyapunov稳定性的定义系统稳定性是系统的一种本质特征，不随系统变换而改变,可通过系统反馈和综合加以控制。在经典控制理论中,讨论的是在有界输入下,是否产生有界输出的输入输出稳定性问题。从经典控制理论知道,线性系统的输入输出稳定性取决于其特征方程的根,与初始条件和扰动都无关,而非线性系统则不然。非线性系统的稳定性是相对系统的平衡态而言,我们很难笼统地讨论非线性系统在整个状态空间的稳定性。对于非线性系统,其不同的平衡态有着不同的稳定性,故只能分别讨论各平衡态附近的稳定性。对于稳定的线性系统,由于只存在唯一的孤立平衡态,所以只有对线性系统才能笼统提系统的稳定性问题。Lyapunov稳定性理论讨论的是动态系统各平衡态附近的局部稳定性问题。它是一种具有普遍性的稳定性理论,不仅适用于线性定常系统,而且也适用于非线性系统、时变系统、分布参数系统。首先讨论Lyapunov稳定性理论的基础--Lyapunov稳定性定义。5.1.1系统的运动与平衡点没有外输入作用时的系统通常称这类系统为自治系统。自治系统的状态方程描述：其中，x为

维状态向量；f(…)为n维向量函数。系统为线性由初始状态x0所引起的运动为称其为系统的受扰运动。系统,如果存在

某个状态

，满足

则称为系统的一个平衡点或平衡状态。平衡状态即是系统方程的常数解，或系统的一种静止的运动。系统也可有非零平衡状态。

对于孤立平衡状态，总是可以通过移动坐标系而将其转换为空间的原点，所以在许多情形下常可以假定平衡状态

为原点。由于非线性系统的Lyapunov稳定性具有局部性特点,因此在讨论稳定性时,通常还要确定平衡态的稳定邻域(区域)。例1

定常线性系统容易求得其平衡点集为从定义可知,平衡态即指状态空间中状态变量的导数向量为零向量的点(状态)。由于导数表示的状态的运动变化方向,因此平衡态即指能够保持平衡、维持现状不运动的状态,如右图所示。Lyapunov稳定性研究的平衡态附近(邻域)的运动变化问题。若平衡态附近某充分小邻域内所有状态的运动最后都趋于该平衡态,则称该平衡态是渐近稳定的;若发散掉则称为不稳定的,若能维持在平衡态附近某个邻域内运动变化则称为稳定的,如图所示。显然,对于线性定常系统x’=Ax的平衡态xe是满足下述方程的解。Axe=0当矩阵A为非奇异时,线性系统只有一个孤立的平衡态xe=0;而当A为奇异时,则存在无限多个平衡态,且这些平衡态不为孤立平衡态,而构成状态空间中的一个子空间。对于非线性系统,通常可有一个或几个孤立平衡态,它们分别为对应于式f(x,t)0的常值解。例如,对于非线性系统其平衡态为下列代数方程组的解,即下述状态空间中的三个状态为其孤立平衡态。5.1.2Lyapunov意义下的稳定性先引入如下几个数学名词和符号：范数球域然后介绍Lyapunov意义下的稳定性的定义。范数在数学上定义为度量n维空间中的点之间的距离。对n维空间中任意两点x1和x2,它们之间距离的范数记为||x1-x2||。由于所需要度量的空间和度量的意义的不同,相应有各种具体范数的定义。在工程中常用的是2-范数,即欧几里德范数,其定义式为其中x1,i和x2,i分别为向量x1和x2的各分量。2)

球域以n维空间中的点xe为中心,在所定义的范数度量意义下的长度为半径内的各点所组成空间体称为球域,记为S(xe,),即S(xe,)包含满足||x-xe||的n维空间中的各点x。5.1.2

Lyapunov意义下的运动稳定性定义所谓系统运动的稳定性，就是研究其平衡状态的稳定性，也即偏离平衡状态的受扰运动能否只依靠系统内部的结构因素而返回到平衡状态，或者限制在它的一个有限邻域内。

注1：稳定性不是直接对系统而言的，而是针对系统的平衡状态而言的。对一般的动力学系统，“系统稳定与否”是没有意义的。注2：稳定性定义中的初始时刻---一致性问题

稳定性、渐近稳定性以至于全局渐近稳定性的定义都与初始时刻有关。同一系统不同起始时刻的运动完全可能有着不同的稳定性。初始时刻的影响决定了稳定性是否一致的问题。注3：稳定性定义中的吸收域定义中表征了稳定平衡状态所允许的初值扰动范围，称为平衡状态的吸收域。它决定了稳定的全局性和局部性。Lyapunov第一法又称间接法,它是研究动态系统的一次近似数学模型(线性化模型)稳定性的方法。它的基本思路是:首先,对于非线性系统,可先将非线性状态方程在平衡态附近进行线性化,即在平衡态求其一次Taylor展开式,然后利用这一次展开式表示的线性化方程去分析系统稳定性。其次,解出线性化状态方程组或线性状态方程组的特征值,然后根据全部特征值在复平面上的分布情况来判定系统在零输入情况下的稳定性。下面将讨论Lyapunov第一法的结论以及在判定系统的状态稳定性中的应用。设所讨论的非线性动态系统的状态方程为x’=f(x)其中f(x)为与状态向量x同维的关于x的非线性向量函数,其各元素对x有连续的偏导数。欲讨论系统在平衡态xe的稳定性,先必须将非线性向量函数f(x)在平衡态附近展开成Taylor级数,即有其中A为nn维的向量函数f(x)与x间的雅可比矩阵;R(x-xe)为Taylor展开式中包含x-xe的二次及二次以上的余项。雅可比矩阵A定义为如果用该一次近似式来表达原非线性方程的近似动态方程,可得如下线性化的状态方程:x’=A(x-xe)由于对如上式所示的状态方程总可以通过n维状态空间中的坐标平移,将平衡态xe移到原点。因此,上式又可转换成如下原点平衡态的线性状态方程:x’=Ax判别非线性系统平衡态xe稳定性的Lyapunov第一法的思想即为:通过线性化,将讨论非线性系统平衡态稳定性问题转换到讨论线性系统x’=Ax的稳定性问题。Lyapunov第一法的基本结论是:1.若线性化系统的状态方程的系统矩阵A的所有特征值都具有负实部,则原非线性系统的平衡态xe渐近稳定,而且系统的稳定性与高阶项R(x)无关。2.若线性化系统的系统矩阵A的特征值中至少有一个具有正实部,则原非线性系统的平衡态xe不稳定,而且该平衡态的稳定性与高阶项R(x)无关。3.若线性化系统的系统矩阵A除有实部为零的特征值外,其余特征值都具有负实部,则原非线性系统的平衡态xe的稳定性由高阶项R(x)决定。由上述Lyapunov第一法的结论可知,该方法与经典控制理论中稳定性判据的思路一致,需求解线性化状态方程或线性状态方程的特征值,根据特征值在复平面的分布来分析稳定性。值得指出的区别是:经典控制理论讨论的是输出稳定性问题,而Lyapunov方法讨论状态稳定性问题。由于Lyapunov第一法需要求解线性化后系统的特征值,因此该方法也仅能适用于非线性定常系统或线性定常系统,而不能推广至时变系统。试确定系统在原点处的稳定性。解：由状态方程知,原点为该系统的平衡态。将系统在原点处线性化,则系统矩阵为例

某装置的动力学特性用下列常微分方程组来描述:因此,系统的特征方程为|I-A|=2+K1+K2=0Lyapunov第二法由Lyapunov第一法的结论可知,该方法能解决部分弱非线性系统的稳定性判定问题,但对强非线性系统的稳定性判定则无能为力,而且该方法不易推广到时变系统。下面我们讨论对所有动态系统的状态方程的稳定性分析都适用的Lyapunov第二法。Lyapunov第二法又称为直接法。它是在用能量观点分析稳定性的基础上建立起来的。若系统平衡态渐近稳定,则系统经激励后,其储存的能量将随着时间推移而衰减。当趋于平衡态时,其能量达到最小值。反之,若平衡态不稳定,则系统将不断地从外界吸收能量,其储存的能量将越来越大。基于这样的观点,只要能找出一个能合理描述动态系统的n维状态的某种形式的能量正性函数,通过考察该函数随时间推移是否衰减,就可判断系统平衡态的稳定性。下面是几个在由变量x1和x2组成的2维线性空间中的正定函数、负定函数等的例子。1)正定函数2)负定函数3)非负定函数4)非正定函数5)不定函数Lyapunov稳定性定理的直观意义右图所示动力学系统的平衡态在一定范围内为渐近稳定的平衡态。对该平衡态的邻域,可定义其能量(动能+势能)函数如下:其中x为位移,x’为速度,两者且选为状态变量。在图中所示状态,v=-x’,由牛顿第二定律可知,其运动满足如下方程:m(-x’’)=mgcos-fmgsin其中f为摩擦阻尼系数。因此,有mx’’=-mg(cos-fsin)因此,能量的变化趋势(导数)为V’=mx’x’’+mgx’cos=-mgx’(cos-fsin)+mgx’cos

=mgx’fsinLyapunov稳定性定理的直观意义当取值为[0,90],由于v的方向与x相反，x’为负,因此上式恒小于零。即渐近稳定的平衡态,其正定的能量函数的导数(变化趋势)为负。对小球向上运动时亦可作同样分析。从直观物理意义的角度,也非常易于理解。由于物体运动所受到的摩擦力作负功,由能量守恒定律可知,物体的能量将随物体运动减少,即其导数(变化趋势)为负。Lyapunov稳定性定理的直观意义再如右图所示的动力学系统,其平衡态在一定范围内为不稳定的平衡态。对该平衡态的邻域,可定义其能量(动能+势能)函数如下:Lyapunov稳定性定理的直观意义由牛顿第二定律可知,其运动满足如下方程:ma=mgcos-fmgsin因此,有mx’’=mg(cos-fsin)因此,能量的变化趋势(导数)为Lyapunov稳定性定理的直观意义V’=mx’x’’-mgx’cos=mgx’(cos-fsin)-mgx’cos=-mgx’fsin当取值为[0,90],由于x