高中数学人教A版2本册总复习总复习 全文

1．1变化率与导数1．变化率问题1．导数的概念[学习目标]1．了解导数概念的实际背景．2．会求函数在某一点附近的平均变化率．3．会利用导数的定义求函数在某点处的导数．[知识链接]很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢．从数学的角度，如何描述这种现象呢？答气球的半径r(单位：dm)与体积V(单位：L)之间的函数关系是r(V)＝eq\r(3,\f(3V,4π))，(1)当V从0增加到1L时，气球半径增加了r(1)－r(0)≈(dm)，气球的平均膨胀率为eq\f(r1－r0,1－0)≈(dm/L)．(2)当V从1L增加到2L时，气球半径增加了r(2)－r(1)≈(dm)，气球的平均膨胀率为eq\f(r2－r1,2－1)≈(dm/L)．可以看出，随着气球体积逐渐变大，它的平均膨胀率逐渐变小了．[预习导引]1．函数的变化率定义实例平均变化率函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为eq\f(fx2－fx1,x2－x1)，简记作：eq\f(Δy,Δx)①平均速度；②曲线割线的斜率瞬时变化率函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是函数f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率在Δx→0时的极限，即eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx).①瞬时速度：物体在某一时刻的速度；②切线斜率2.函数f(x)在x＝x0处的导数函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)称为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx).要点一求平均变化率例1已知函数h(x)＝－＋＋10.(1)计算从x＝1到x＝1＋Δx的平均变化率，其中Δx的值为①2；②1；③；④.(2)根据(1)中的计算，当|Δx|越来越小时，函数h(x)在区间[1,1＋Δx]上的平均变化率有怎样的变化趋势？解(1)∵Δy＝h(1＋Δx)－h(1)＝－(Δx)2－Δx，∴eq\f(Δy,Δx)＝－Δx－.①当Δx＝2时，eq\f(Δy,Δx)＝－Δx－＝－；②当Δx＝1时，eq\f(Δy,Δx)＝－Δx－＝－；③当Δx＝时，eq\f(Δy,Δx)＝－Δx－＝－；④当Δx＝时，eq\f(Δy,Δx)＝－Δx－＝－.(2)当|Δx|越来越小时，函数f(x)在区间[1,1＋Δx]上的平均变化率逐渐变大，并接近于－.规律方法求平均变化率的主要步骤：(1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1)．(2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1.(3)得平均变化率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1).跟踪演练1求函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率，并求当x0＝2，Δx＝时平均变化率的值．解函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为eq\f(fx0＋Δx－fx0,x0＋Δx－x0)＝eq\f([3x0＋Δx2＋2]－3x\o\al(2,0)＋2,Δx)＝eq\f(6x0·Δx＋3Δx2,Δx)＝6x0＋3Δx.当x0＝2，Δx＝时，函数y＝3x2＋2在区间[2,]上的平均变化率为6×2＋3×＝.要点二物体运动的瞬时速度例2高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)之间的关系式为h(t)＝－＋＋10，求运动员在t＝eq\f(65,98)s时的瞬时速度，并解释此时的运动状况．解令t0＝eq\f(65,98)，Δt为增量．则eq\f(ht0＋Δt－ht0,Δt)＝eq\f(－×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(65,98)＋Δt))2＋×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(65,98)＋Δt))＋10,Δt)＋eq\f×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(65,98)))2－×\f(65,98)－10,Δt)＝eq\f(－Δt\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(65,49)＋Δt))＋Δt,Δt)＝－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(65,49)＋Δt))＋，∴eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f(ht0＋Δt－ht0,Δt)＝eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(65,49)＋Δt))＋)＝0，即运动员在t0＝eq\f(65,98)s时的瞬时速度为0m/s.说明此时运动员处于跳水运动中离水面最高的点处．规律方法求瞬时速度是利用平均速度“逐渐逼近”的方法得到的，其求解步骤如下：(1)由物体运动的位移s与时间t的函数关系式求出位移增量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)；(2)求时间t0到t0＋Δt之间的平均速度eq\x\to(v)＝eq\f(Δs,Δt)；(3)求eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)的值，即得t＝t0时的瞬时速度．跟踪演练2一质点按规律s(t)＝at2＋1作直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若该质点在t＝2s时的瞬时速度为8m/s，求常数a的值．解∵Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝a(2＋Δt)2＋1－a·22－1＝4aΔt＋a(Δt)2∴eq\f(Δs,Δt)＝4a＋aΔt.在t＝2s时，瞬时速度为eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δs,Δt)＝4a，即4a＝8，∴a＝2.要点三函数在某点处的导数例3求函数f(x)＝3x2－2x在x＝1处的导数．解Δy＝3(1＋Δx)2－2(1＋Δx)－(3×12－2×1)＝3(Δx)2＋4Δx，∵eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(3Δx2＋4Δx,Δx)＝3Δx＋4，∴y′|x＝1＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))(3Δx＋4)＝4.规律方法求一个函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的步骤如下：(1)求函数值的变化量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)求平均变化率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)；(3)取极限，得导数f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx).跟踪演练3利用导数的定义求函数f(x)＝－x2＋3x在x＝2处的导数．解由导数的定义知，函数在x＝2处的导数f′(2)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f2＋Δx－f2,Δx)，而f(2＋Δx)－f(2)＝－(2＋Δx)2＋3(2＋Δx)－(－22＋3×2)＝－(Δx)2－Δx，于是f′(2)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(－Δx2－Δx,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))(－Δx－1)＝－1.1．如果质点M按规律s＝3＋t2运动，则在一小段时间[2,]中相应的平均速度是()A．4 B．C． D．3答案B解析eq\x\to(v)＝eq\f(3＋－3＋22,＝.2．函数f(x)在x0处可导，则eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋h－fx0,h)()A．与x0、h都有关B．仅与x0有关，而与h无关C．仅与h有关，而与x0无关D．与x0、h均无关答案B3．已知函数f(x)＝2x2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy)，则eq\f(Δy,Δx)等于()A．4 B．4xC．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2答案C解析Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx)2－1－1＝2(Δx)2＋4Δx，∴eq\f(Δy,Δx)＝2Δx＋4.4．已知函数f(x)＝eq\f(1,\r(x))，则f′(1)＝________.答案－eq\f(1,2)解析f′(1)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f1＋Δx－f1,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(\f(1,\r(1＋Δx))－1,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(－1,\r(1＋Δx)1＋\r(1＋Δx))＝－eq\f(1,2).利用导数定义求导数三步曲：(1)作差求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)作比求平均变化率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)；(3)取极限得导数f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)，简记为一差，二比，三极限.一、基础达标1．函数y＝f(x)在x0到x0＋Δx之间的平均变化率eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)中，Δx不可能是()A．大于0 B．小于0C．等于0 D．大于0或小于0答案C2．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是()A．1 B．－1C．2 D．－2答案B解析eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f3－f1,3－1)＝eq\f(1－3,2)＝－1.3．如果某物体的运动方程为s＝2(1－t2)(s的单位为m，t的单位为s)，那么其在s末的瞬时速度为()A．－4.8m/s B．－0.88m/sC．0.88m/s D．4.8m/s答案A解析物体运动在s末的瞬时速度即为s在处的导数，利用导数的定义即可求得．4．设函数f(x)可导，则eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f1＋3Δx－f1,3Δx)等于()A．f′(1) B．3f′C．eq\f(1,3)f′(1) D．f′(3)答案A解析eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f1＋3Δx－f1,3Δx)＝f′(1)．5．已知函数y＝eq\f(2,x)＋3，当x由2变到时，函数的增量Δy＝________.答案eq\f(1,3)解析Δy＝f－f(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,＋3))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,2)＋3))＝eq\f(4,3)－1＝eq\f(1,3).6．一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2，则物体的初速度是________．答案3解析v初＝s′|t＝0＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(s0＋Δt－s0,Δt)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))(3－Δt)＝3.7．利用定义求函数y＝－2x2＋5在x＝2处的瞬时变化率．解因为在x＝2附近，Δy＝－2(2＋Δx)2＋5－(－2×22＋5)＝－8Δx－2(Δx)2，所以函数在区间[2,2＋Δx]内的平均变化率为eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(－8Δx－2Δx2,Δx)＝－8－2Δx.故函数y＝－2x2＋5在x＝2处的瞬时变化率为eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))(－8－2Δx)＝－8.二、能力提升8.甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图所示，治污效果较好的是()A．甲 B．乙C．相同 D．不确定答案B解析在t0处，虽然W1(t0)＝W2(t0)，但是，在t0－Δt处，W1(t0－Δt)<W2(t0－Δt)，即eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(W1t0－W1t0－Δt,Δt)))<eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(W2t0－W2t0－Δt,Δt)))，所以，在相同时间Δt内，甲厂比乙厂的平均治污率小．所以乙厂治污效果较好．9．过曲线y＝f(x)＝x2＋1上两点P(1,2)和Q(1＋Δx,2＋Δy)作曲线的割线，当Δx＝时，割线的斜率k＝________，当Δx＝时，割线的斜率k＝________.答案解析∵Δy＝(1＋Δx)2＋1－(12＋1)＝2Δx＋(Δx)2，∴eq\f(Δy,Δx)＝2＋Δx，∴割线斜率为2＋Δx，当Δx＝时，割线PQ的斜率k＝2＋＝.当Δx＝时，割线PQ的斜率k＝2＋＝.10．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的导数为f′(x)，f′(0)>0，对于任意实数x，有f(x)≥0，则eq\f(f1,f′0)的最小值为________．答案2解析由导数的定义，得f′(0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fΔx－f0,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(aΔx2＋bΔx＋c－c,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))[a·(Δx)＋b]＝b＞0.又eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝b2－4ac≤0,a>0))，∴ac≥eq\f(b2,4)，∴c>0.∴eq\f(f1,f′0)＝eq\f(a＋b＋c,b)≥eq\f(b＋2\r(ac),b)≥eq\f(2b,b)＝2.11．求函数y＝f(x)＝2x2＋4x在x＝3处的导数．解Δy＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3)＝12Δx＋2(Δx)2＋4Δx＝2(Δx)2＋16Δx，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(2Δx2＋16Δx,Δx)＝2Δx＋16.∴y′|x＝3＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))(2Δx＋16)＝16.12．若函数f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，求a的值．解∵f(1＋Δx)－f(1)＝a(1＋Δx)2＋c－a－c＝a(Δx)2＋2aΔx∴f′(1)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f1＋Δx－f1,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(aΔx2＋2aΔx,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))(aΔx＋2a)＝2a，即2a＝2，∴a＝1.三、探究与创新13．已知f(x)＝x2，g(x)＝x3，求满足f′(x)＋2＝g′(x)的x的值．解由导数的定义知，f′(x)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(x＋Δx2－x2,Δx)＝2x，g′(x)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(x＋Δx3－x3,Δx)＝3x2.∵f′(x)＋2＝g′(x)，∴2x＋2＝3x2.即3x2－2x－2＝0，解得x＝eq\f(1－\r(7),3)或x＝eq\f(1＋\r(7),3).1．导数的几何意义[学习目标]1．了解导函数的概念；了解导数与割线斜率之间的关系．2．理解曲线的切线的概念；理解导数的几何意义．3．会求曲线上某点处的切线方程，初步体会以直代曲的意义．[知识链接]如果一个函数是路程关于时间的函数，那么函数在某点处的导数就是瞬时速度，这是函数的实际意义，那么从函数的图象上来考查函数在某点处的导数，它具有怎样的几何意义呢？答设函数y＝f(x)的图象如图所示，AB是过点A(x0，f(x0))与点B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的一条割线，此割线的斜率是eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx).当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的极限位置为直线AD，这条直线AD叫做此曲线在点A处的切线．于是，当Δx→0时，割线AB的斜率无限趋近于过点A的切线AD的斜率k，即k＝f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx).[预习导引]1．导数的几何意义函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f′(x0)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．2．函数的导函数当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数，则当x变化时，f′(x)是x的一个函数，称f′(x)是f(x)的导函数(简称导数)．f′(x)也记作y′，即f′(x)＝y′＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx＋Δx－fx,Δx).要点一过曲线上一点的切线方程例1若曲线y＝x3＋3ax在某点处的切线方程为y＝3x＋1，求a的值．解∵y＝x3＋3ax.∴y′＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(x＋Δx3＋3ax＋Δx－x3－3ax,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(3x2Δx＋3xΔx2＋Δx3＋3aΔx,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))[3x2＋3xΔx＋(Δx)2＋3a]＝3x2＋3a.设曲线与直线相切的切点为P(x0，y0)，结合已知条件，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x\o\al(2,0)＋3a＝3，,x\o\al(3,0)＋3ax0＝y0＝3x0＋1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1－\f(\r(3,2),2)，,x0＝－\f(\r(3,4),2).))∴a＝1－eq\f(\r(3,2),2).规律方法一般地，设曲线C是函数y＝f(x)的图象，P(x0，y0)是曲线C上的定点，由导数的几何意义知k＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)，继而由点与斜率可得点斜式方程，化简得切线方程．跟踪演练1求曲线y＝eq\f(1,x)在点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,2)))处的切线方程．解因为eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f2＋Δx－f2,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(\f(1,2＋Δx)－\f(1,2),Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(－1,22＋Δx)＝－eq\f(1,4).所以这条曲线在点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,2)))处的切线斜率为－eq\f(1,4)，由直线的点斜式方程可得切线方程为y－eq\f(1,2)＝－eq\f(1,4)(x－2)，即x＋4y－4＝0.要点二求过曲线外一点的切线方程例2已知曲线y＝2x2－7，求：(1)曲线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0?(2)曲线过点P(3,9)的切线方程．解y′＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f([2x＋Δx2－7]－2x2－7,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))(4x＋2Δx)＝4x.(1)设切点为(x0，y0)，则4x0＝4，x0＝1，y0＝－5，∴切点坐标为(1，－5)．(2)由于点P(3,9)不在曲线上．设所求切线的切点为A(x0，y0)，则切线的斜率k＝4x0，故所求的切线方程为y－y0＝4x0(x－x0)．将P(3,9)及y0＝2xeq\o\al(2,0)－7代入上式，得9－(2xeq\o\al(2,0)－7)＝4x0(3－x0)．解得x0＝2或x0＝4，所以切点为(2,1)或(4,25)．从而所求切线方程为8x－y－15＝0或16x－y－39＝0.规律方法若题中所给点(x0，y0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程．跟踪演练2求过点A(2,0)且与曲线y＝eq\f(1,x)相切的直线方程．解易知点(2,0)不在曲线上，故设切点为P(x0，y0)，由y′|x＝x0＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(\f(1,x0＋Δx)－\f(1,x0),Δx)＝－eq\f(1,x\o\al(2,0))，得所求直线方程为y－y0＝－eq\f(1,x\o\al(2,0))(x－x0)．由点(2,0)在直线上，得xeq\o\al(2,0)y0＝2－x0，再由P(x0，y0)在曲线上，得x0y0＝1，联立可解得x0＝1，y0＝1，所求直线方程为x＋y－2＝0.要点三求切点坐标例3在曲线y＝x2上过哪一点的切线，(1)平行于直线y＝4x－5；(2)垂直于直线2x－6y＋5＝0；(3)与x轴成135°的倾斜角．解f′(x)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx＋Δx－fx,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(x＋Δx2－x2,Δx)＝2x，设P(x0，y0)是满足条件的点．(1)因为切线与直线y＝4x－5平行，所以2x0＝4，x0＝2，y0＝4，即P(2,4)是满足条件的点．(2)因为切线与直线2x－6y＋5＝0垂直，所以2x0·eq\f(1,3)＝－1，得x0＝－eq\f(3,2)，y0＝eq\f(9,4)，即Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(9,4)))是满足条件的点．(3)因为切线与x轴成135°的倾斜角，所以其斜率为－1.即2x0＝－1，得x0＝－eq\f(1,2)，y0＝eq\f(1,4)，即Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,4)))是满足条件的点．规律方法解答此类题目时，所给的直线的倾斜角或斜率是解题的关键，由这些信息得知函数在某点处的导数，进而可求此点的横坐标．解题时要注意解析几何知识的应用，如直线的倾斜角与斜率的关系，平行，垂直等．跟踪演练3已知抛物线y＝2x2＋1，求(1)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0?(2)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x＋8y－3＝0?解设点的坐标为(x0，y0)，则Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2xeq\o\al(2,0)－1＝4x0·Δx＋2(Δx)2.∴eq\f(Δy,Δx)＝4x0＋2Δx.当Δx无限趋近于零时，eq\f(Δy,Δx)无限趋近于4x0.即f′(x0)＝4x0.(1)∵抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0，∴斜率为4，即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1，该点为(1,3)．(2)∵抛物线的切线与直线x＋8y－3＝0垂直，∴斜率为8，即f′(x0)＝4x0＝8，得x0＝2，该点为(2,9)．1．已知曲线y＝f(x)＝2x2上一点A(2,8)，则点A处的切线斜率为()A．4 B．16C．8 D．2答案C解析f′(2)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f2＋Δx－f2,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(22＋Δx2－8,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))(8＋2Δx)＝8，即k＝8.2．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则()A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1答案A解析由题意，知k＝y′|x＝0＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(0＋Δx2＋a0＋Δx＋b－b,Δx)＝1，∴a＝1.又(0，b)在切线上，∴b＝1，故选A.3．已知曲线y＝eq\f(1,2)x2－2上一点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(3,2)))，则过点P的切线的倾斜角为()A．30° B．45°C．135° D．165°答案B解析∵y＝eq\f(1,2)x2－2，∴y′＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(\f(1,2)x＋Δx2－2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x2－2)),Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(\f(1,2)Δx2＋x·Δx,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)Δx))＝x.∴y′|x＝1＝1.∴点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(3,2)))处切线的斜率为1，则切线的倾斜角为45°.4．已知曲线y＝f(x)＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为16.则P点坐标为________．答案(3,30)解析设点P(x0,2xeq\o\al(2,0)＋4x0)，则f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(2Δx2＋4x0·Δx＋4Δx,Δx)＝4x0＋4，令4x0＋4＝16得x0＝3，∴P(3,30)．1．导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝f′(x0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．2．“函数f(x)在点x0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f′(x0)是其导数y＝f′(x)在x＝x0处的一个函数值．3．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点.一、基础达标1．下列说法正确的是()A．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处就没有切线B．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在D．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则f′(x0)有可能存在答案C解析k＝f′(x0)，所以f′(x0)不存在只说明曲线在该点的切线斜率不存在，而当斜率不存在时，切线方程也可能存在，其切线方程为x＝x0.2．已知y＝f(x)的图象如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是()A．f′(xA)>f′(xB)B．f′(xA)<f′(xB)C．f′(xA)＝f′(xB)D．不能确定答案B解析由导数的几何意义，f′(xA)，f′(xB)分别是切线在点A、B处切线的斜率，由图象可知f′(xA)<f′(xB)．3．在曲线y＝x2上切线倾斜角为eq\f(π,4)的点是()A．(0,0) B．(2,4)C．(eq\f(1,4)，eq\f(1,16)) D．(eq\f(1,2)，eq\f(1,4))答案D解析∵y′＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(x＋Δx2－x2,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))(2x＋Δx)＝2x，∴令2x＝taneq\f(π,4)＝1，得x＝eq\f(1,2).∴y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＝eq\f(1,4)，所求点的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,4))).4．设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于()A．1 B．eq\f(1,2)C．－eq\f(1,2) D．－1答案A解析∵y′|x＝1＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(a1＋Δx2－a×12,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))(2a＋aΔx)＝2a.∴可令2a＝2，∴a＝1.5．设y＝f(x)为可导函数，且满足条件eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f1－f1－x,2x)＝－2，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率是________．答案－4解析由eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f1－f1－x,2x)＝－2，∴eq\f(1,2)f′(1)＝－2，f′(1)＝－4.6．已知函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝eq\f(1,2)x＋2，则f(1)＋f′(1)＝________.答案3解析由在M点的切线方程y＝eq\f(1,2)x＋2得f(1)＝eq\f(1,2)×1＋2＝eq\f(5,2)，f′(1)＝eq\f(1,2).∴f(1)＋f′(1)＝eq\f(5,2)＋eq\f(1,2)＝3.7．求过点P(－1,2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线．解曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线斜率k＝y′|x＝1＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(31＋Δx2－41＋Δx＋2－3＋4－2,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))(3Δx＋2)＝2.∴过点P(－1,2)的直线的斜率为2，由点斜式得y－2＝2(x＋1)，即2x－y＋4＝0.所以所求直线方程为2x－y＋4＝0.二、能力提升8.如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝()A．2 B．3C．4 D．5答案A解析易得切点P(5,3)，∴f(5)＝3，k＝－1，即f′(5)＝－1.∴f(5)＋f′(5)＝3－1＝2.9．若曲线y＝2x2－4x＋P与直线y＝1相切，则P＝________.答案3解析设切点坐标为(x0,1)，则f′(x0)＝4x0－4＝0，∴x0＝1，即切点坐标为(1,1)．∴2－4＋P＝1，即P＝3.10．设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处的切线倾斜角的范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，则点P横坐标的取值范围为________．答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,2)))解析∵f′(x)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(x＋Δx2＋2x＋Δx＋3－x2＋2x＋3,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(2x＋2·Δx＋Δx2,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))(Δx＋2x＋2)＝2x＋2.∴可设P点横坐标为x0，则曲线C在P点处的切线斜率为2x0＋2.由已知得0≤2x0＋2≤1，∴－1≤x0≤－eq\f(1,2)，∴点P横坐标的取值范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,2))).11．已知抛物线y＝x2＋4与直线y＝x＋10.求：(1)它们的交点；(2)抛物线在交点处的切线方程．解(1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x2＋4，,y＝x＋10，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝8，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝13，))∴抛物线与直线的交点坐标为(－2,8)或(3,13)．(2)∵y＝x2＋4，∴y′＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(x＋Δx2＋4－x2＋4,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δx2＋2x·Δx,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))(Δx＋2x)＝2x.∴y′|x＝－2＝－4，y′|x＝3＝6，即在点(－2,8)处的切线斜率为－4，在点(3,13)处的切线斜率为6.∴在点(－2,8)处的切线方程为4x＋y＝0；在点(3,13)处的切线方程为6x－y－5＝0.12．设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a<0)，若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，求a的值．解∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝(x0＋Δx)3＋a(x0＋Δx)2－9(x0＋Δx)－1－(xeq\o\al(3,0)＋axeq\o\al(2,0)－9x0－1)＝(3xeq\o\al(2,0)＋2ax0－9)Δx＋(3x0＋a)(Δx)2＋(Δx)3，∴eq\f(Δy,Δx)＝3xeq\o\al(2,0)＋2ax0－9＋(3x0＋a)Δx＋(Δx)2.当Δx无限趋近于零时，eq\f(Δy,Δx)无限趋近于3xeq\o\al(2,0)＋2ax0－9.即f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)＋2ax0－9∴f′(x0)＝3(x0＋eq\f(a,3))2－9－eq\f(a2,3).当x0＝－eq\f(a,3)时，f′(x0)取最小值－9－eq\f(a2,3).∵斜率最小的切线与12x＋y＝6平行，∴该切线斜率为－12.∴－9－eq\f(a2,3)＝－12.解得a＝±3.又a<0，∴a＝－3.三、探究与创新13．已知曲线C：y＝x3.(1)求曲线C上横坐标为1的点处的切线方程；(2)第(1)小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？解(1)将x＝1代入曲线C的方程得y＝1，∴切点为P(1,1)．∵f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝meq\f(x0＋Δx3－x\o\al(3,0),Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(3x\o\al(2,0)Δx＋3x0Δx2＋Δx3,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))[3xeq\o\al(2,0)＋3x0Δx＋(Δx)2]＝3xeq\o\al(2,0)，∴当x0＝1时，k＝f′(1)＝3.∴过P点的切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝3x－1＋1,y＝x3))，可得(x－1)(x2＋x－2)＝0，解得x1＝1，x2＝－2.从而求得公共点为(1,1)或(－2，－8)．说明切线与曲线C的公共点除了切点外，还有其他的公共点.1．2导数的计算1．几个常用函数的导数1．基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)[学习目标]1．能根据定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x2，y＝eq\f(1,x)，y＝eq\r(x)的导数．2．能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．[知识链接]在前面，我们利用导数的定义能求出函数在某一点处的导数，那么能不能利用导数的定义求出比较简单的函数及基本函数的导数呢？类比用导数定义求函数在某点处导数的方法，如何用定义求函数y＝f(x)的导数？答(1)计算eq\f(Δy,Δx)，并化简；(2)观察当Δx趋近于0时，eq\f(Δy,Δx)趋近于哪个定值；(3)eq\f(Δy,Δx)趋近于的定值就是函数y＝f(x)的导数．[预习导引]1．几个常用函数的导数原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xf′(x)＝1f(x)＝x2f′(x)＝2xf(x)＝eq\f(1,x)f′(x)＝－eq\f(1,x2)f(x)＝eq\r(x)f′(x)＝eq\f(1,2\r(x))2．基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x)＝cos_xf(x)＝cosxf′(x)＝－sin_xf(x)＝axf′(x)＝axln_a(a>0，且a≠1)f(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logaxf′(x)＝eq\f(1,xlna)(a>0，且a≠1)f(x)＝lnxf′(x)＝eq\f(1,x)要点一利用导数定义求函数的导数例1用导数的定义求函数f(x)＝2013x2的导数．解f′(x)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(2013x＋Δx2－2013x2,x＋Δx－x)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(2013[x2＋2x·Δx＋Δx2]－2013x2,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(4026x·Δx＋2013Δx2,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))(4026x＋2013Δx)＝4026x.规律方法解答此类问题，应注意以下几条：(1)严格遵循“一差、二比、三取极限”的步骤．(2)当Δx趋于0时，k·Δx(k∈R)、(Δx)n(n∈N*)等也趋于0.(3)注意通分、分母(或分子)有理化、因式分解、配方等技巧的应用．跟踪演练1用导数的定义求函数y＝x2＋ax＋b(a，b为常数)的导数．解y′＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(x＋Δx2＋ax＋Δx＋b－x2＋ax＋b,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(x2＋2x·Δx＋Δx2＋ax＋a·Δx＋b－x2－ax－b,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(2x·Δx＋a·Δx＋Δx2,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))(2x＋a＋Δx)＝2x＋a.要点二利用导数公式求函数的导数例2求下列函数的导数(1)y＝sineq\f(π,3)；(2)y＝5x；(3)y＝eq\f(1,x3)；(4)y＝eq\r(4,x3)；(5)y＝log3x.解(1)y′＝0；(2)y′＝(5x)′＝5xln5；(3)y′＝(x－3)′＝－3x－4；(4)y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(4,x3)))′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x\f(3,4)))′＝eq\f(3,4)x－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4\r(4,x))；(5)y′＝(log3x)′＝eq\f(1,xln3).规律方法求简单函数的导函数的基本方法：(1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂；(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式．跟踪演练2求下列函数的导数：(1)y＝x8；(2)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x；(3)y＝xeq\r(x)；(4)y＝logeq\f(1,3)x.解(1)y′＝8x7；(2)y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))xlneq\f(1,2)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))xln2；(3)∵y＝xeq\r(x)＝xeq\f(3,2)，∴y′＝eq\f(3,2)xeq\f(1,2)；(4)y′＝eq\f(1,xln\f(1,3))＝－eq\f(1,xln3).要点三利用导数公式求曲线的切线方程例3求过曲线y＝sinx上点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(1,2)))且与过这点的切线垂直的直线方程．解∵y＝sinx，∴y′＝cosx，曲线在点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(1,2)))处的切线斜率是：y′|x＝eq\f(π,6)＝coseq\f(π,6)＝eq\f(\r(3),2).∴过点P且与切线垂直的直线的斜率为－eq\f(2,\r(3))，故所求的直线方程为y－eq\f(1,2)＝－eq\f(2,\r(3))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))，即2x＋eq\r(3)y－eq\f(\r(3),2)－eq\f(π,3)＝0.规律方法导数的几何意义是曲线在某点处的切线的斜率；相互垂直的直线斜率乘积等于－1是解题的关键．跟踪演练3已知点P(－1,1)，点Q(2,4)是曲线y＝x2上的两点，求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．解∵y′＝(x2)′＝2x，设切点为M(x0，y0)，则y′|x＝x0＝2x0，又∵PQ的斜率为k＝eq\f(4－1,2＋1)＝1，而切线平行于PQ，∴k＝2x0＝1，即x0＝eq\f(1,2)，所以切点为Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,4))).∴所求的切线方程为y－eq\f(1,4)＝x－eq\f(1,2)，即4x－4y－1＝0.1．已知f(x)＝x2，则f′(3)＝()A．0 B．2xC．6 D．9答案C解析∵f(x)＝x2，∴f′(x)＝2x，∴f′(3)＝6.2．函数f(x)＝eq\r(x)，则f′(3)等于()\f(\r(3),6) B．0C．eq\f(1,2\r(x)) D．eq\f(\r(3),2)答案A解析∵f′(x)＝(eq\r(x))′＝eq\f(1,2\r(x))，∴f′(3)＝eq\f(1,2\r(3))＝eq\f(\r(3),6).3．设正弦曲线y＝sinx上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是()\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π)) B．[0，π)C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(3π,4))) D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,4)))答案A解析∵(sinx)′＝cosx，∵kl＝cosx，∴－1≤kl≤1，∴αl∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π)).4．曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________．答案eq\f(1,2)e2解析∵y′＝(ex)′＝ex，∴k＝e2，∴曲线在点(2，e2)处的切线方程为y－e2＝e2(x－2)，即y＝e2x－e2.当x＝0时，y＝－e2，当y＝0时，x＝1.∴S△＝eq\f(1,2)×1×eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－e2))＝eq\f(1,2)e2.1．利用常见函数的导数公式可以比较简捷的求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归．2．有些函数可先化简再应用公式求导．如求y＝1－2sin2eq\f(x,2)的导数．因为y＝1－2sin2eq\f(x,2)＝cosx，所以y′＝(cosx)′＝－sinx.3．对于正、余弦函数的导数，一是注意函数的变化，二是注意符号的变化.一、基础达标1．下列结论中正确的个数为()①y＝ln2，则y′＝eq\f(1,2)；②y＝eq\f(1,x2)，则y′|x＝3＝－eq\f(2,27)；③y＝2x，则y′＝2xln2；④y＝log2x，则y′＝eq\f(1,xln2).A．0 B．1C．2 D．3答案D解析①y＝ln2为常数，所以y′＝0.①错．②③④正确．2．过曲线y＝eq\f(1,x)上一点P的切线的斜率为－4，则点P的坐标为()\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2)) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－2))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－2)) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－2))答案B解析y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))′＝－eq\f(1,x2)＝－4，x＝±eq\f(1,2)，故选B.3．已知f(x)＝xa，若f′(－1)＝－4，则a的值等于()A．4 B．－4C．5 D．－5答案A解析f′(x)＝axa－1，f′(－1)＝a(－1)a－1＝－4，a＝4.4．函数f(x)＝x3的斜率等于1的切线有()A．1条 B．2条C．3条 D．不确定答案B解析∵f′(x)＝3x2，设切点为(x0，y0)，则3xeq\o\al(2,0)＝1，得x0＝±eq\f(\r(3),3)，即在点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，\f(\r(3),9)))和点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，－\f(\r(3),9)))处有斜率为1的切线．5．曲线y＝eq\f(9,x)在点M(3,3)处的切线方程是________．答案x＋y－6＝0解析∵y′＝－eq\f(9,x2)，∴y′|x＝3＝－1，∴过点(3,3)的斜率为－1的切线方程为：y－3＝－(x－3)即x＋y－6＝0.6．若曲线y＝x－eq\f(1,2)在点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，a－\f(1,2)))处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a＝________.答案64解析∵y＝x－eq\f(1,2)，∴y′＝－eq\f(1,2)x－eq\f(3,2)，∴曲线在点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，a－\f(1,2)))处的切线斜率k＝－eq\f(1,2)a－eq\f(3,2)，∴切线方程为y－a－eq\f(1,2)＝－eq\f(1,2)a－eq\f(3,2)(x－a)．令x＝0得y＝eq\f(3,2)a－eq\f(1,2)；令y＝0得x＝3a.∵该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S＝eq\f(1,2)·3a·eq\f(3,2)a－eq\f(1,2)＝eq\f(9,4)aeq\f(1,2)＝18，∴a＝64.7．求下列函数的导数：(1)y＝eq\r(5,x3)；(2)y＝eq\f(1,x4)；(3)y＝－2sineq\f(x,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－2cos2\f(x,4)))；(4)y＝log2x2－log2x.解(1)y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(5,x3)))′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x\f(3,5)))′＝eq\f(3,5)xeq\f(3,5)－1＝eq\f(3,5)x－eq\f(2,5)＝eq\f(3,5\r(5,x2)).(2)y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x4)))′＝(x－4)′＝－4x－4－1＝－4x－5＝－eq\f(4,x5).(3)∵y＝－2sineq\f(x,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－2cos2\f(x,4)))＝2sineq\f(x,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2cos2\f(x,4)－1))＝2sineq\f(x,2)coseq\f(x,2)＝sinx，∴y′＝(sinx)′＝cosx.(4)∵y＝log2x2－log2x＝log2x，∴y′＝(log2x)′＝eq\f(1,x·ln2).二、能力提升8．已知直线y＝kx是曲线y＝ex的切线，则实数k的值为()\f(1,e) B．－eq\f(1,e)C．－e D．e答案D解析y′＝ex，设切点为(x0，y0)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y0＝kx0,y0＝ex0,k＝ex0.))∴ex0＝ex0·x0，∴x0＝1，∴k＝e.9．曲线y＝lnx在x＝a处的切线倾斜角为eq\f(π,4)，则a＝________.答案1解析y′＝eq\f(1,x)，∴y′|x＝a＝eq\f(1,a)＝1，∴a＝1.10．点P是曲线y＝ex上任意一点，则点P到直线y＝x的最小距离为________．答案eq\f(\r(2),2)解析根据题意设平行于直线y＝x的直线与曲线y＝ex相切于点(x0，y0)，该切点即为与y＝x距离最近的点，如图．则在点(x0，y0)处的切线斜率为1，即y′|x＝x0＝1.∵y′＝(ex)′＝ex，∴ex0＝1，得x0＝0，代入y＝ex，得y0＝1，即P(0,1)．利用点到直线的距离公式得距离为eq\f(\r(2),2).11．已知f(x)＝cosx，g(x)＝x，求适合f′(x)＋g′(x)≤0的x的值．解∵f(x)＝cosx，g(x)＝x，∴f′(x)＝(cosx)′＝－sinx，g′(x)＝x′＝1，由f′(x)＋g′(x)≤0，得－sinx＋1≤0，即sinx≥1，但sinx∈[－1,1]，∴sinx＝1，∴x＝2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z.12．已知抛物线y＝x2，直线x－y－2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离．解根据题意可知与直线x－y－2＝0平行的抛物线y＝x2的切线，对应的切点到直线x－y－2＝0的距离最短，设切点坐标为(x0，xeq\o\al(2,0))，则y′|x＝x0＝2x0＝1，所以x0＝eq\f(1,2)，所以切点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,4)))，切点到直线x－y－2＝0的距离d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,4)－2)),\r(2))＝eq\f(7\r(2),8)，所以抛物线上的点到直线x－y－2＝0的最短距离为eq\f(7\r(2),8).三、探究与创新13．设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，试求f2014(x)．解f1(x)＝(sinx)′＝cosx，f2(x)＝(cosx)′＝－sinx，f3(x)＝(－sinx)′＝－cosx，f4(x)＝(－cosx)′＝sinx，f5(x)＝(sinx)′＝f1(x)，f6(x)＝f2(x)，…，fn＋4(x)＝fn(x)，可知周期为4，∴f2014(x)＝f2(x)＝－sinx．1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)[学习目标]1．理解函数的和、差、积、商的求导法则．2．理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．3．能运用复合函数的求导法则进行复合函数的求导．[知识链接]前面我们已经学习了几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式，这样做起题来比用导数的定义显得格外轻松．我们已经会求f(x)＝5和g(x)＝等基本初等函数的导数，那么怎样求f(x)与g(x)的和、差、积、商的导数呢？答利用导数的运算法则．[预习导引]1．导数运算法则法则语言叙述[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(fx,gx)))′＝eq\f(f′xgx－fx·g′x,[gx]2)(g(x)≠0)两个函数的商的导数，等于分子的导数乘上分母减去分子乘上分母的导数，再除以分母的平方2．复合函数的求导法则复合函数的概念一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))复合函数的求导法则复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积要点一利用导数的运算法则求函数的导数例1求下列函数的导数：(1)y＝x3－2x＋3；(2)y＝(x2＋1)(x－1)；(3)y＝3x－lgx.解(1)y′＝(x3)′－(2x)′＋3′＝3x2－2.(2)∵y＝(x2＋1)(x－1)＝x3－x2＋x－1，∴y′＝(x3)′－(x2)′＋x′－1′＝3x2－2x＋1.(3)函数y＝3x－lgx是函数f(x)＝3x与函数g(x)＝lgx的差．由导数公式表分别得出f′(x)＝3xln3，g′(x)＝eq\f(1,xln10)，利用函数差的求导法则可得(3x－lgx)′＝f′(x)－g′(x)＝3xln3－eq\f(1,xln10).规律方法本题是基本函数和(差)的求导问题，求导过程要紧扣求导法则，联系基本函数求导法则，对于不具备求导法则结构形式的可先进行适当的恒等变形转化为较易求导的结构形式再求导数．跟踪演练1求下列函数的导数：(1)y＝5－4x3；(2)y＝3x2＋xcosx；(3)y＝ex·lnx；(4)y＝lgx－eq\f(1,x2).解(1)y′＝－12x2；(2)y′＝(3x2＋xcosx)′＝6x＋cosx－xsinx；(3)y′＝eq\f(ex,x)＋ex·lnx；(4)y′＝eq\f(1,xln10)＋eq\f(2,x3).要点二求复合函数的导数例2求下列函数的导数：(1)y＝ln(x＋2)；(2)y＝(1＋sinx)2；解(1)y＝lnu，u＝x＋2∴y′x＝y′u·u′x＝(lnu)′·(x＋2)′＝eq\f(1,u)·1＝eq\f(1,x＋2).(2)y＝u2，u＝1＋sinx，∴yx′＝yu′·ux′＝(u2)′·(1＋sinx)′＝2u·cosx＝2cosx(1＋sinx)．规律方法应用复合函数的求导法则求导，应注意以下几个方面：(1)中间变量的选取应是基本函数结构．(2)正确分析函数的复合层次，并要弄清每一步是哪个变量对哪个变量的求导．(3)一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导．(4)善于把一部分表达式作为一个整体．(5)最后要把中间变量换成自变量的函数．熟练后，就不必再写中间步骤．跟踪演练2(1)y＝e2x＋1；(2)y＝(eq\r(x)－2)2.解(1)y＝eu，u＝2x＋1，∴y′x＝y′u·u′x＝(eu)′·(2x＋1)′＝2eu＝2e2x＋1.(2)法一∵y＝(eq\r(x)－2)2＝x－4eq\r(x)＋4，∴y′＝x′－(4eq\r(x))′＋4′＝1－4×eq\f(1,2)x－eq\f(1,2)＝1－eq\f(2,\r(x)).法二令u＝eq\r(x)－2，则yx′＝yu′·ux′＝2(eq\r(x)－2)·(eq\r(x)－2)′＝2(eq\r(x)－2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)·\f(1,\r(x))－0))＝1－eq\f(2,\r(x)).要点三导数的应用例3求过点(1，－1)与曲线f(x)＝x3－2x相切的直线方程．解设P(x0，y0)为切点，则切线斜率为k＝f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)－2故切线方程为y－y0＝(3xeq\o\al(2,0)－2)(x－x0) ①∵(x0，y0)在曲线上，∴y0＝xeq\o\al(3,0)－2x0 ②又∵(1，－1)在切线上，∴将②式和(1，－1)代入①式得－1－(xeq\o\al(3,0)－2x0)＝(3xeq\o\al(2,0)－2)(1－x0)．解得x0＝1或x0＝－eq\f(1,2).故所求的切线方程为y＋1＝x－1或y＋1＝－eq\f(5,4)(x－1)．即x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0.规律方法(1，－1)虽然在曲线上，但是经过该点的切线不一定只有一条，即该点有可能是切点，也可能是切线与曲线的交点，解题时注意不要失解．跟踪演练3已知某运动着的物体的运动方程为s(t)＝eq\f(t－1,t2)＋2t2(位移单位：m，时间单位：s)，求t＝3s时物体的瞬时速度．解∵s(t)＝eq\f(t－1,t2)＋2t2＝eq\f(t,t2)－eq\f(1,t2)＋2t2＝eq\f(1,t)－eq\f(1,t2)＋2t2，∴s′(t)＝－eq\f(1,t2)＋2·eq\f(1,t3)＋4t，∴s′(3)＝－eq\f(1,9)＋eq\f(2,27)＋12＝eq\f(323,27)，即物体在t＝3s时的瞬时速度为eq\f(323,27)m/s.1．下列结论不正确的是()A．若y＝3，则y′＝0B．若f(x)＝3x＋1，则f′(1)＝3C．若y＝－eq\r(x)＋x，则y′＝－eq\f(1,2\r(x))＋1D．若y＝sinx＋cosx，则y′＝cosx＋sinx答案D解析利用求导公式和导数的加、减运算法则求解．D项，∵y＝sinx＋cosx，∴y′＝(sinx)′＋(cosx)′＝cosx－sinx.2．函数y＝eq\f(cosx,1－x)的导数是()\f(－sinx＋xsinx,1－x2) B．eq\f(xsinx－sinx－cosx,1－x2)C．eq\f(cosx－sinx＋xsinx,1－x2) D．eq\f(cosx－sinx＋xsinx,1－x)答案C解析y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(cosx,1－x)))′＝eq\f(－sinx1－x－cosx·－1,1－x2)＝eq\f(cosx－sinx＋xsinx,1－x2).3．曲线y＝eq\f(x,x＋2)在点(－1，－1)处的切线方程为()A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1C．y＝－2x－3 D．y＝－2x＋2答案A解析∵y′＝eq\f(x′x＋2－xx＋2′,x＋22)＝eq\f(2,x＋22)，∴k＝y′|x＝－1＝eq\f(2,－1＋22)＝2，∴切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.4．直线y＝eq\f(1,2)x＋b是曲线y＝lnx(x>0)的一条切线，则实数b＝________.答案ln2－1解析设切点为(x0，y0)，∵y′＝eq\f(1,x)，∴eq\f(1,2)＝eq\f(1,x0)，∴x0＝2，∴y0＝ln2，ln2＝eq\f(1,2)×2＋b，∴b＝ln2－1.求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式．对于不具备导数运算法则结构形式的要进行适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题.一、基础达标1．设y＝－2exsinx，则y′等于()A．－2excosx B．－2exsinxC．2exsinx D．－2ex(sinx＋cosx)答案D解析y′＝－2(exsinx＋excosx)＝－2ex(sinx＋cosx)．2．当函数y＝eq\f(x2＋a2,x)(a>0)在x＝x0处的导数为0时，那么x0＝()A．a B．±aC．－a D．a2答案B解析y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2＋a2,x)))′＝eq\f(2x·x－x2＋a2,x2)＝eq\f(x2－a2,x2)，由xeq\o\al(2,0)－a2＝0得x0＝±a.3．设曲线y＝eq\f(x＋1,x－1)在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a等于()A．2 B．eq\f(1,2)C．－eq\f(1,2) D．－2答案D解析∵y＝eq\f(x＋1,x－1)＝1＋eq\f(2,x－1)，∴y′＝－eq\f(2,x－12).∴y′|x＝3＝－eq\f(1,2).∴－a＝2，即a＝－2.4．已知曲线y＝x3在点P处的切线斜率为k，则当k＝3时的P点坐标为()A．(－2，－8) B．(－1，－1)或(1,1)C．(2,8) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－\f(1,8)))答案B解析y′＝3x2，∵k＝3，∴3x2＝3，∴x＝±1，则P点坐标为(－1，－1)或(1,1)．5．设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为________．答案4解析依题意得f′(x)＝g′(x)＋2x，f′(1)＝g′(1)＋2＝4.6．已知f(x)＝eq\f(1,3)x3＋3xf′(0)，则f′(1)＝________.答案1解析由于f′(0)是一常数，所以f′(x)＝x2＋3f′令x＝0，则f′(0)＝0，∴f′(1)＝12＋3f′7．求下列函数的导数：(1)y＝(2x2＋3)(3x－1)；(2)y＝x－sineq\f(x,2)coseq\f(x,2).解(1)法一y′＝(2x2＋3)′(3x－1)＋(2x2＋3)(3x－1)′＝4x(3x－1)＋3(2x2＋3)＝18x2－4x＋9.法二∵y＝(2x2＋3)(3x－1)＝6x3－2x2＋9x－3，∴y′＝(6x3－2x2＋9x－3)′＝18x2－4x＋9.(2)∵y＝x－sineq\f(x,2)coseq\f(x,2)＝x－eq\f(1,2)sinx，∴y′＝x′－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)sinx))′＝1－eq\f(1,2)c