高中数学苏教版3第二章概率2．4二项分布 第2章二项分布

二项分布1．理解n次独立重复试验的模型及二项分布．(重点)2．能利用二项分布解决一些简单的实际问题．(难点)[基础·初探]教材整理二项分布阅读教材P63～P64“例1”以上部分，完成下列问题．1．n次独立重复试验(1)定义：一般地，由n次试验构成，且每次试验相互独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即A与eq\x\to(A)，每次试验中P(A)＝p>0.我们将这样的试验称为n次独立重复试验，也称为伯努利试验．(2)概率计算：在n次独立重复试验中，如果每次试验事件A发生的概率均为p(0<p<1)，那么在这n次试验中，事件A恰好发生k次的概率．Pn(k)＝Ceq\o\al(k,n)pkqn－k，k＝0,1,2，…，n.2．二项分布若随机变量X的分布列为P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pkqn－k，其中0＜p＜1，p＋q＝1，k＝0,1,2，…，n，则称X服从参数为n，p的二项分布，记作X～B(n，p)．1．独立重复试验满足的条件是________．(填序号)①每次试验之间是相互独立的；②每次试验只有发生和不发生两种情况；③每次试验中发生的机会是相同；④每次试验发生的事件是互斥的．【解析】由n次独立重复试验的定义知①②③正确．【答案】①②③2．一枚硬币连掷三次，只有一次出现正面的概率为________．【解析】抛掷一枚硬币出现正面的概率为eq\f(1,2)，由于每次试验的结果不受影响，故由独立重复试验可知，所求概率为P＝Ceq\o\al(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＝eq\f(3,8).【答案】eq\f(3,8)3．已知随机变量X服从二项分布，X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(1,3)))，则P(X＝2)等于________.【导学号：29440050】【解析】P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2＝eq\f(80,243).【答案】eq\f(80,243)[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]独立重复试验中的概率问题(1)某射手射击一次，击中目标的概率是，他连续射击三次，且他每次射击是否击中目标之间没有影响，有下列结论：①他三次都击中目标的概率是；②他第三次击中目标的概率是；③他恰好2次击中目标的概率是2××；④他恰好2次未击中目标的概率是3××.其中正确结论的序号是________(把正确结论的序号都填上)．(2)某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留到小数点后面第2位)：①5次预报中恰有2次准确的概率；②5次预报中至少有2次准确的概率；③5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．【精彩点拨】先判断“射击手连续射击3次”能否看成，“一次射击”试验重复做了三次，同样，气象站5次预报准确与否也可看成是5次独立重复的试验，结合二项分布求概率．【自主解答】(1)三次射击是三次独立重复试验，故正确结论的序号是①②④.【答案】①②④(2)记预报一次准确为事件A，则P(A)＝.5次预报相当于5次独立重复试验，2次准确的概率为P＝Ceq\o\al(2,5)××＝2≈，因此5次预报中恰有2次准确的概率约为.②“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”，其概率为P＝Ceq\o\al(0,5)×5＋Ceq\o\al(1,5)××＝72≈.所以所求概率为1－P＝1－＝.所以5次预报中至少有2次准确的概率约为.③说明第1,2,4,5次中恰有1次准确．所以概率为P＝Ceq\o\al(1,4)×××＝048≈，所以恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率约为.独立重复试验概率求法的三个步骤1．判断：依据n次独立重复试验的特征，判断所给试验是否为独立重复试验．2．分拆：判断所求事件是否需要分拆．3．计算：就每个事件依据n次独立重复试验的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式计算．[再练一题]1．(1)甲、乙两队进行排球比赛，已知在一局比赛中甲队胜的概率为eq\f(2,3)，没有平局．若进行三局两胜制比赛，先胜两局者为胜，甲获胜的概率为________．(2)在4次独立重复试验中，事件A至少发生1次的概率为eq\f(65,81)，则事件A在1次试验中出现的概率为________．【解析】(1)“甲获胜”分两类：①甲连胜两局；②前两局中甲胜一局，并胜最后一局．即P＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2＋Ceq\o\al(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(1,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(20,27).(2)由题意知，Ceq\o\al(0,4)p0(1－p)4＝1－eq\f(65,81)，p＝eq\f(1,3).【答案】(1)eq\f(20,27)(2)eq\f(1,3)二项分布一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是eq\f(1,3).(1)求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的分布列；(2)求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数η的分布列．【精彩点拨】(1)首先判断ξ是否服从二项分布，再求分布列．(2)注意“首次遇到”“或到达”的含义，并明确η的取值．再求η取各值的概率．【自主解答】(1)ξ～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(1,3)))，ξ的分布列为P(ξ＝k)＝Ceq\o\al(k,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))5－k，k＝0,1,2,3,4,5.(2)η的分布列为P(η＝k)＝P(前k个是绿灯，第k＋1个是红灯)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))k·eq\f(1,3)，k＝0,1,2,3,4；P(η＝5)＝P(5个均为绿灯)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))5.故η的分布列为η012345Peq\f(1,3)eq\f(2,9)eq\f(4,27)eq\f(8,81)eq\f(16,243)eq\f(32,243)1．本例属于二项分布，当X服从二项分布时，应弄清X～B(n，p)中的试验次数n与成功概率p.2．解决二项分布问题的两个关注点(1)对于公式P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)必须在满足“独立重复试验”时才能运用，否则不能应用该公式．(2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次．[再练一题]2．在一次数学考试中，第14题和第15题为选做题．规定每位考生必须且只需在其中选做一题．设4名考生选做每道题的可能性均为eq\f(1,2)，且各人的选择相互之间没有影响．(1)求其中甲、乙2名考生选做同一道题的概率；(2)设这4名考生中选做第15题的人数为ξ名，求ξ的分布列．【解】(1)设事件A表示“甲选做14题”，事件B表示“乙选做14题”，则甲、乙2名考生选做同一道题的事件为“AB＋eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－))”，且事件A，B相互独立．∴P(AB＋eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－)))＝P(A)P(B)＋P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＝eq\f(1,2).(2)随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,4，且ξ～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(1,2))).∴P(ξ＝k)＝Ceq\o\al(k,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))4－k＝Ceq\o\al(k,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))4(k＝0,1,2,3,4)．∴随机变量ξ的分布列为ξ01234Peq\f(1,16)eq\f(1,4)eq\f(3,8)eq\f(1,4)eq\f(1,16)[探究共研型]独立重复试验与二项分布综合应用探究1王明在做一道单选题时，从A，B，C，D四个选项中随机选一个答案，他做对的结果数服从二项分布吗？两点分布与二项分布有何关系？【提示】做一道题就是做一次试验，做对的次数可以为0次、1次，它服从二项分布．两点分布就是一种特殊的二项分布，即是n＝1的二项分布．探究2王明做5道单选题，每道题都随机选一个答案，那么他做对的道数服从二项分布吗？为什么？【提示】服从二项分布．因为每道题都是随机选一个答案，结果只有两个：对与错，并且每道题做对的概率均相等，故做5道题可以看成“一道题”重复做了5次，做对的道数就是5次试验中“做对”这一事件发生的次数，故他做对的“道数”服从二项分布．探究3王明做5道单选题，其中2道会做，其余3道均随机选一个答案，他做对的道数服从二项分布吗？如何判断一随机变量是否服从二项分布？【提示】不服从二项分布．因为会做的两道题做对的概率与随机选取一个答案做对的概率不同，不符合二项分布的特点，判断一个随机变量是否服从二项分布关键是看它是否是n次独立重复试验，随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事件发生的次数，满足这两点的随机变量才服从二项分布，否则就不服从二项分布．甲乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为eq\f(2,3)，乙队中3人答对的概率分别为eq\f(2,3)，eq\f(2,3)，eq\f(1,2)，且各人回答正确与否相互之间没有影响．用ξ表示甲队的总得分．(1)求随机变量ξ的分布列；(2)用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P(AB【精彩点拨】(1)由于甲队中每人答对的概率相同，且正确与否没有影响，所以ξ服从二项分布，其中n＝3，p＝eq\f(2,3)；(2)AB表示事件A、B同时发生，即甲、乙两队总得分之和为3且甲队总得分大于乙队总得分．【自主解答】(1)由题意知，ξ的可能取值为0,1,2,3，且p(ξ＝0)＝Ceq\o\al(0,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))3＝eq\f(1,27)，P(ξ＝1)＝Ceq\o\al(1,3)eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))2＝eq\f(2,9)，P(ξ＝2)＝Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＝eq\f(4,9)，P(ξ＝3)＝Ceq\o\al(3,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))3＝eq\f(8,27).所以ξ的分布列为ξ0123Peq\f(1,27)eq\f(2,9)eq\f(4,9)eq\f(8,27)(2)用C表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用D表示“甲得3分乙得0分”这一事件，所以AB＝C＋D，且C，D互斥，又P(C)＝Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))eq\b\lc\[\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)×\f(1,3)×\f(1,2)＋\f(1,3)×\f(2,3)×))eq\b\lc\\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(1,3)×\f(1,3)×\f(1,2)))＝eq\f(10,34)，P(D)＝Ceq\o\al(3,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)×\f(1,3)×\f(1,2)))＝eq\f(4,35)，由互斥事件的概率公式得P(AB)＝P(C)＋P(D)＝eq\f(10,34)＋eq\f(4,35)＝eq\f(34,35)＝eq\f(34,243).对于概率问题的综合题，首先，要准确地确定事件的性质，把问题化归为古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验四类事件中的某一种；其次，要判断事件是A＋B还是AB，确定事件至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件公式，最后，选用相应的求古典概型、互斥事件、条件概率、独立事件、n次独立重复试验的概率公式求解.[再练一题]3．为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(1,6).现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设．(1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；(2)记ξ为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求ξ的分布列．【解】记第i名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件Ai，Bi，Ci，i＝1,2,3.由题意知A1，A2，A3相互独立，B1，B2，B3相互独立，C1，C2，C3相互独立，Ai，Bj，Ck(i，j，k＝1,2,3且i，j，k互不相同)相互独立，用P(Ai)＝eq\f(1,2)，P(Bj)＝eq\f(1,3)，P(Ck)＝eq\f(1,6).(1)他们选择的项目所属类别互不相同的概率．P＝3!P(A1B2C3)＝6P(A1)P(B2)P(C3)＝6×eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(1,6)＝eq\f(1,6).(2)法一：设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为η，由已知，η～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,3)))，且ξ＝3－η，所以P(ξ＝0)＝P(η＝3)＝Ceq\o\al(3,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))3＝eq\f(1,27)，P(ξ＝1)＝P(η＝2)＝Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))＝eq\f(2,9)，P(ξ＝2)＝P(η＝1)＝Ceq\o\al(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2＝eq\f(4,9)，P(ξ＝3)＝P(η＝0)＝Ceq\o\al(0,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))3＝eq\f(8,27).故ξ的分布列是ξ0123peq\f(1,27)eq\f(2,9)eq\f(4,9)eq\f(8,27)法二：记第i名工人选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程分别为事件Di，i＝1,2,3.由已知，D1，D2，D3相互独立，且P(Di)＝P(Ai∪Ci)＝P(Ai)＋P(Ci)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,6)＝eq\f(2,3)，所以ξ～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(2,3)))，即P(ξ＝k)＝Ceq\o\al(k,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))3－k，k＝0,1,2,3.故ξ的分布列是ξ0123peq\f(1,27)eq\f(2,9)eq\f(4,9)eq\f(8,27)[构建·体系]1．已知Y～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(1,3)))，则P(Y＝4)＝________.【解析】由Y～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(1,3)))可知，P(Y＝4)＝Ceq\o\al(4,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2＝eq\f(20,243).【答案】eq\f(20,243)2．小王通过英语听力测试的概率是eq\f(1,3)，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是________．【解析】P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))2＝eq\f(4,9).【答案】eq\f(4,9)3．下列说法正确的是________．(填序号)①某同学投篮的命中率为，他10次投篮中命中的次数X是一个随机变量，且X～B(10,；②某福彩的中奖概率为p，某人一次买了8张，中奖张数X是一个随机变量，且X～B(8，p)；③从装有5个红球、5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数X是随机变量，且X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n，\f(1,2))).【解析】①②显然满足独立重复试验的条件，而③虽然是有放回地摸球，但随机变量X的定义是直到摸出白球为止，也就是说前面摸出的一定是红球，最后一次是白球，不符合二项分布的定义．【答案】①②4．设X～B(4，p)，且P(X＝2)＝eq\f(8,27)，那么一次试验成功的概率p等于________.【导学号：29440051】【解析】P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,4)p2(1－p)2＝eq\f(8,27)，即p2(1－p)2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2·eq\b\lc\(\rc\)