华南理工大学本科基础工程34～38

3.4文克勒地基上梁的计算(jìsuàn)一、无限长梁的解答精品资料1.微分方程式对图（b）的梁的微单元，考虑(kǎolǜ)竖向的静力平衡条件得：由此得根据材料力学，梁挠度w的微分方程式为（3-9）将上式连续对x取两次导数后，利用关系可得精品资料上式是基础梁的挠曲微分方程，对哪一种(yīzhǒnɡ)地基模型都适用。采用文克勒地基模型时，根据变形协调条件，地基沉降等于梁的挠度：即s=w。对梁的无荷载部分（q=0），上式变为这就是文克勒地基上梁的挠曲微分方程式。上式还可写成如下形式：（3-13）式中——梁的柔度特征值，，它的倒数1/称为特征长度。特征长度愈大（或值愈小），则梁相对愈刚。精品资料以上四阶常系数线性常微分方程(wēifēnfānɡchénɡ)的通解为：（3-14）其中待定的积分常数C1、C2、C3和C4可按梁两端的边界条件确定。精品资料2.集中(jízhōng)荷载作用下的解答（1）竖向集中(jízhōng)力F0作用下坐标原点O：F0的作用点a）x→∞时，w→0，由此可得C1＝C2＝0。于是，对梁的右半部（x>0）（3-15）精品资料b），由此可得C3＝C4＝C。则式（3-15）变为（3-16）c）在O点处紧靠F0的左、右侧(yòucè)把梁切开，则作用于O点左右两侧截面上的剪力均等于F0之半，且指向上方。根据符号规定，在右侧(yòucè)截面有V=－F0/2。F0+V符号(fúhào)规定精品资料由此得。代入式（3-16）

（3-17）将上式对x依次取一阶、二阶和三阶导数(dǎoshù)，就可以求得梁截面的转角、弯矩和剪力。将所得公式归纳如下：精品资料（3-18）式中

这四个系数都是的函数，其值也可由表3-1查得。对F0左边(zuǒbian)的截面（x＜0），需用x的绝对值代入计算，计算结果为w和M时正负号不变，但和V则取相反的符号。基底反力按p=kw计算。w，，M,V的分布图如右图所示。精品资料（2）集中(jízhōng)力偶M0作用下坐标原点O：M0的作用点a）x→∞时，w→0，由此可得C1＝C2＝0。于是，对梁的右半部（x>0）

（3-15）b）x=0时，w→0，由此可得C3＝0。于是精品资料c）在O点处紧靠(jǐnkào)M0的左、右侧把梁切开，则作用于O点左右两侧截面上的弯矩均等于M0之半，且为逆时针方向。根据符号规定，在右侧截面有M=M0/2。由此得。于是（3-20）M0M0/2+M符号(fúhào)规定精品资料求w对x的一、二和三阶导数(dǎoshù)后，所得的式子归纳如下：（3-21）式中系数Ax、Bx、Cx和Dx与式（3-19）相同。当计算截面位于M0的左边时，式（3-21）中的x取绝对值，w和M取与计算结果相反的符号，而和V的符号不变。w，，M，V的分布图如右图所示。精品资料（3）多个集中荷载作用(zuòyòng)计算无限长梁上任意截面的w、、M和V时，按式（3-18）或（3-21）分别计算各荷载单独作用(zuòyòng)时在该截面引起的效应，然后叠加得到共同作用(zuòyòng)下的总效应。注意：在每一次计算时，均需把坐标原点移到相应的集中荷载作用(zuòyòng)点处。式中系数Aa、Cb、Dc等的脚标表示其所对应的值分别为、、。精品资料二、有限长梁的计算有限长梁的计算有多种方法：①以“初参数(cānshù)法”确定式（3-14）中的积分常数；②以上面导得的无限长梁的计算公式为基础，利用叠加原理来求得满足有限长梁两自由端边界条件的解答。第①种方法可参看有关书籍第②种方法的原理如下：精品资料有限长梁（梁Ⅰ）用无限长梁（梁Ⅱ）来代替时，则外荷载将在梁Ⅱ的A、B两截面（相应于的梁Ⅰ两端）产生挠度、转角、弯矩Ma、Mb和剪力Va、Vb。但梁Ⅰ的A、B两自由端并不存在弯矩和剪力，为此，需在梁Ⅱ紧靠A、B两截面的外侧各施加一对附加荷载FA、MA和FB、MB（称称为(chēnɡwéi)梁端边界条件力，其正方向如图所示），要求这对附加荷载在A、B两截面产生的弯矩和剪力分别为-Ma、-Va及-Mb、-Vb：精品资料

解上述(shàngshù)方程组得：精品资料式中其中sh表示双曲线正弦函数；El及Fl值按值由表3-1查得。当作用于有限(yǒuxiàn)长梁上的外荷载对称时，Va=-Vb，Ma=Mb，上式可简化为：精品资料这样，梁Ⅱ在已知荷载(hèzài)和梁端边界条件力的共同作用下，A、B两截面的弯矩和剪力均为零，满足原来梁Ⅰ两端为自由端的边界条件。其效果相当于把梁Ⅱ在A和B处切断而成为梁Ⅰ，梁ⅡAB段的内力与变形情况就完全等同于梁Ⅰ。精品资料有限长梁Ⅰ上任意(rènyì)点的w、、M、V的计算步骤：（1）按式（3-18）和式(3-21)以叠加法计算已知荷载在梁Ⅱ上相应于梁Ⅰ两端的A和B截面引起的弯矩和剪力Ma、Va及Mb、Vb;（2）按式（3-24）或（3-25）计算梁端边界条件力FA、MA和FB、MB；（3）再按式（3-18）和（3-21）以叠加法计算在已知荷载和边界条件力的共同作用下，梁Ⅱ上相应于梁Ⅰ所求截面处的w、、M和V值。精品资料三、地基上梁的柔度指数是表征文克勒地基上梁的相对刚柔程度的一个无量纲值，叫做柔度指数。当时，梁的刚度为无限大，可视为刚性梁；而当时，梁是无限长的，可视为柔性梁。一般认为可按值的大小将梁分为下列三种：短梁（刚性梁）中长梁（有限刚度梁）长梁（柔性梁对短梁，可采用基底反力呈直线变化的简化(jiǎnhuà)方法计算；对长梁，可利用无限长梁或半无限长梁的解答计算。精品资料对短梁，可采用基底反力呈直线变化的简化方法计算；对长梁，可利用(lìyòng)无限长梁或半无限长梁的解答计算。在选择计算方法时，除了按值划分梁的类型外，还需兼顾外荷载的大小和作用点位置。对于柔度较大的梁，有时可以直接按无限长梁进行简化计算。例如：当梁上的一个集中荷载（竖向力或力偶）与梁端的最小距离x>π/λ时，按无限长梁计算w、M、V的误差将不超过4.3％；而对梁长为π/λ，但荷载作用于梁中部(zhōnɡbù)的梁来说，只能按有限长梁计算。

x>π/λ

π/λ精品资料四、基床系数的确定地基有一定的扩散应力和变形的能力(nénglì)，基底某点i的沉降可用式（3-4）表达。按式（3-1）的定义，i点的基床系数ki可表示为

由上式可见，沿基底各点的基床系数值实际上并非常数，而是随着点的位置不同而变化的。k值取决于地基土层的分布情况及其压缩性、基底的大小和形状，以及与基础荷载和刚度有关的地基中的应力等一系列复杂因素。因此，基床系数k不是单纯表征土的力学性质的计算指标。严格说来，在进行地基上梁或板的分析之前，基床系数的数值是难于准确预定的。精品资料下面(xiàmian)介绍几种确定基床系数的方法以供参考。（1）按基础的预估沉降量确定①对某个特定的地基和基础条件：（3-27）②对地基可压缩的厚度h≤b/2（b:基础底面宽度）的薄压缩层地基，则在薄压缩层地基范围内的附加应力≈p0，基底平均沉降sm=h/Es≈p0h/Es，代入式（3-27）得（3-28）③如薄压缩层地基由若干分层组成，则（3-29）精品资料（2）按载荷试验成果确定如地基压缩层范围内的土质均匀，则可取p-s曲线上对应于基底平均反力p的刚性载荷板（宽度为bp）沉降值s来计算(jìsuàn)载荷板下的基床系数kp=p/s对粘性土地基，实际基础（宽度为b）下的基床系数按下式确定：（3-30）ps精品资料国外常按K.Terzaghi建议的方法，采用1英尺×1英尺（305mm×305mm）的方形载荷板进行试验。对砂土采用下式计算（考虑了地基中砂土的变形模量随深度逐渐增大(zēnɡdà)的影响）：（3-31）式中：基础宽度的单位为m；基础和载荷板下的基床系数k和kp的单位均取MN/m3。对粘性土，考虑基础长宽比m=l/b（m>1）的影响，以下式计算：（3-32）精品资料基床系数k的数值，因土质松密软硬的不同状态，可能变动(biàndòng)于几MN/m3到几百MN/m3之间。许多书籍都列有按土类名称及其状态给出的经验值（见下表）。基床系数k

值土的分类土的状态kN/m3淤泥质粘土3.0～5.0淤泥质粉质粘土5.0～10粘土，粉质粘土软塑可塑硬塑5.0～2020～4040～100砂土松散中密密实7.0～1515～2525～40砾石中密25～40精品资料基床系数k的取值对计算结果的影响：在常用k值范围内（k＝0.1～50MN/m3），对弯矩影响不大，但对基础沉降(chénjiàng)影响很大[参见例题3-1（4）]。精品资料【例3-1】条形基础抗弯刚度EI=4.3×103MPa·m4，长l=17m，底面宽b=2.5m，预估平均沉降sm=39.7mm。试计算基础中点C处的挠度、弯矩和基底净反力。【解】（1）确定基床系数k设基底附加(fùjiā)压力p0约等于基底平均净反力pj：以下步骤自看。精品资料3.6柱下条形基础柱下条形基础是常用于软弱地基上框架或排架结构的一种基础类型。其特点是间隔(jiàngé)承受柱的集中荷载，设计时必须考虑纵向和横向的弯曲应力和剪应力并配置受力钢筋。精品资料柱下条形基础可用于地基承载力不足，需加大基础底面尺寸，而配置柱下扩展基础又在平面尺寸上受到限制的情况；尤其是当柱荷载或地基压缩性分布不均匀，且建筑物对不均匀沉降敏感时，在柱列下配置抗弯刚度较大的柱下条形基础能收到一定的效果。但造价较高。因此，在一般情况下，柱下应优先考虑设置扩展基础。如遇下述特殊情况时可以考虑采用柱下条形基础：①当地基较软弱，承载力较低，而荷载较大时，或地基压缩性不均匀（如地基中有局部软弱夹层、土洞等）时；②当荷载分布不均匀，有可能(kěnéng)导致较大的不均匀沉降时；③当上部结构对基础沉降比较敏感，有可能(kěnéng)产生较大的次应力或影响使用功能时。精品资料一、构造要求一般采用倒T形截面（沿柱列轴线的肋梁＋从梁底沿其横向伸出的翼板）。肋梁高度不宜太小，一般宜为柱距的1/8~1/4，并应满足受剪承载力计算的要求。

当柱荷载较大(jiàodà)时，可在柱两侧局部增高（加腋）。精品资料一般肋梁沿纵向取等截面，梁每侧比柱至少宽出50mm。当柱垂直于肋梁轴线方向的截面边长大于400mm时，可仅在柱位处将肋部加宽。翼板厚度不应小于200mm。当翼板厚度为200~250mm时，宜用等厚度翼板；当翼板厚度大于250mm时，宜用变厚度翼板，其坡度(pōdù)小于或等于1:3。精品资料在一般情况下，条形基础端部应伸出边柱以外，其作用在于增加基底面积，调整底面形心位置，使基底压力分布较为(jiàowéi)均匀，并使各柱下弯矩与跨中弯矩趋于均衡以利配筋，外伸长度宜为边跨跨距的0.25～0.3倍。当荷载不对称时，两端伸出长度可不相等，以使基底形心与荷载合力作用点重合。但也不宜伸出太多，以免基础梁在柱位处正弯矩太大。精品资料基础肋梁的纵向受力钢筋、箍筋和弯起筋应按弯矩图和剪力图配置(pèizhì)。柱位处的纵向受力钢筋布置在肋梁底面，而跨中则布置在顶面。精品资料柱位处的纵向(zònɡxiànɡ)受力钢筋布置在肋梁底面，而跨中则布置在顶面。底面纵向(zònɡxiànɡ)受力钢筋的搭接位置宜在跨中，顶面纵向(zònɡxiànɡ)受力钢筋则宜在柱位处，其搭接长度ld应满足要求。当纵向(zònɡxiànɡ)受力钢筋直径d>22mm时，不宜采用非焊接的搭接接头。考虑到条形基础可能出现整体弯曲，且其内力分析往往不很准确，故顶面的纵向(zònɡxiànɡ)受力钢筋宜全部通长配置，底面通长钢筋的面积不应少于底面受力钢筋总面积的1/3。精品资料精品资料当基础梁的腹板高度大于或等于450mm时，在梁的两侧面应沿高度配置纵向构造钢筋每侧构造钢筋面积不应小于腹板截面面积的0.1%，且其间距不宜大于200mm。梁两侧的纵向构造钢筋，宜用拉筋连接，拉筋直径与箍筋相同，间距500~700mm，一般为两倍的箍筋间距。箍筋直径一般为6~12mm，对梁高大于800mm的梁，其箍筋直径不宜小于8mm，箍筋间距按有关(yǒuguān)规定确定。当梁宽小于或等于350mm时，采用双肢箍筋；梁宽在350~800mm时，采用四肢箍筋；梁宽大于800mm时，采用六肢箍筋。单向条形基础还可能沿横向受有力矩荷载而使基础横截面发生扭转，所以配置于肋梁的箍筋应该是封闭式的，必要时还应进行受扭承载力计算。精品资料翼板的横向受力钢筋由计算确定，但直径不应小于10mm，间距100~200mm。非肋部分的纵向分布钢筋可用直径8~10mm，间距不大于300mm。其余(qíyú)构造要求可参照钢筋混凝土扩展基础的有关规定。柱下条形基础的混凝土强度等级不应低于C20。横向(hénɡxiànɡ)受力钢筋非肋部分的纵向分布钢筋精品资料二、内力(nèilì)计算条形基础内力(nèilì)计算方法主要有简化计算法和弹性地基梁法两种。计算(jìsuàn)方法简化计算法弹性地基梁法静定分析法（静定梁法）倒梁法假定上部结构刚度很小假定上部结构刚度很大精品资料1.简化计算法假设：基底反力为直线（平面）分布(fēnbù)。为满足这一假定，要求条形基础具有足够的相对刚度。当柱距相差不大时，通常要求基础上的平均柱距lm应满足下列条件：（3-46）式中1/是文克勒地基上梁的特征长度[式（3-12）]。对一般柱距及中等压缩性的地基，按上述条件进行分析，条形基础的高度应不小于平均柱距的1/6。精品资料静定分析法只宜用于上部结构为柔性(róuxìnɡ)结构、且自身刚度较大的条形基础以及联合基础。该法不考虑与上部结构的相互作用，因而在荷载和直线分布的基底反力作用下基础梁将产生整体弯曲。与其他方法比较，这样计算所得的基础不利截面上的弯矩绝对值一般较大。精品资料倒梁法假定上部结构是刚性的，各柱之间没有沉降差异。该法只考虑出现于柱间的局部弯曲，而略去沿基础(jīchǔ)全长发生的整体弯曲，因而所得的柱位处截面的正弯矩与柱间最大负弯矩绝对值相比较，比其它方法均衡，所以基础(jīchǔ)不利截面的弯矩最小。按倒置的普通连续梁（采用弯矩分配法或弯矩系数法）计算。精品资料值得注意的是，倒梁法所得的支座反力一般不等于原先用以计算基底(jīdǐ)净反力的竖向荷载。一般以倒梁法计算的边柱支座反力比原来的竖向柱荷载减少，而内柱则比原来的增加。这可理解为上部结构的整体刚度对基础整体弯矩的抑制作用，使柱荷载的分布均匀化。精品资料若支座反力与相应的柱轴力相差较大（如相差20%以上），可采用(cǎiyòng)实践中提出的“基底反力局部调整法”加以弥补。此法是将支座反力与柱子的轴力之差（正或负的）均匀分布在相应支座两侧各三分之一跨度范围内（对边支座的悬臂跨则取全部），作为基底反力的调整值，然后再按反力调整值作用下的连续梁计算内力，最后与原算得的内力叠加。经调整后不平衡力将明显减小，一般调整1~2次即可。精品资料精品资料综上所述，当下列条件满足时，可以采用倒梁法计算柱下条形基础(jīchǔ)的内力：上部结构的整体刚度较好，地基压缩性、柱距和荷载分布都比较均匀（如相差不超过20%），基础(jīchǔ)高度大于平均柱距的1/6或式（3-46）的条件满足。当条形基础(jīchǔ)的相对刚度较大时，由于基础(jīchǔ)的架越作用，其两端边跨的基底反力会有所增大，故两边跨的跨中弯矩及第一内支座的弯矩值宜乘以1.2的增大系数。需要指出，当荷载较大、土的压缩性较高或基础(jīchǔ)埋深较浅时，随着端部基底下塑性区的开展，架越作用将减弱、消失，甚至出现基底反力从端部向内转移的现象。精品资料2.弹性地基梁法当不满足按简化(jiǎnhuà)计算法计算的条件时，宜按弹性地基梁法计算基础内力。一般可以根据地基条件的复杂程度，分下列三种情况选择计算方法：（1）对基础宽度不小于可压缩土层厚度二倍的薄压缩层地基，如地基的压缩性均匀，则可按文克勒地基上梁的解析解（3.4节）计算，基床系数k可按式（3-28）或（3-29）确定。（2）当基础宽度满足情况（1）的要求，但地基沿基础纵向的压缩性不均匀时，可沿纵向将地基划分成若干段（每段内的地基较为均匀），每段分别按式（3-29）计算基床系数，然后按文克勒地基上梁的数值分析法（3.5.2节）计算。精品资料（3）当基础宽度不满足情况（1）的要求，或应考虑邻近基础或地面堆载对所计算基础的沉降和内力(nèilì)的影响时，宜采用非文克勒地基上梁的数值分析法进行迭代计算。精品资料l三、柱下条形基础的设计步骤1.根据建筑条件、工程地质及水文地质条件等确定基础埋深d（2.3节）2.确定地基承载力特征值fa（2.4节）3.确定基础底面尺寸l、b①基础长度l：可按主要荷载(hèzài)合力作用点与基础底面形心尽量靠近的原则，并结合端部伸出边柱的长度决定；x∑Ni精品资料②基底(jīdǐ)宽度b：按地基地基承载力特征值fa计算确定（2.5节）轴心荷载作用时（3-47）