高一下学期开学考试数学试卷

第第页答案第=page11页，共=sectionpages22页高一下学期开学考试数学试卷（含答案解析）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知向量，，且与共线，则（

）A． B． C．1 D．22．已知在三角形中，，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．3．设的内角，，的对边分别为，，，若，，，则边（

）A．2 B． C． D．14．已知复数z满足，则（

）A． B． C．2 D．5．已知袋子中有除颜色外完全相同的4个红球和8个白球，现从中有放回地摸球8次（每次摸出一个球，放回后再进行下一次摸球），规定每次摸出红球计3分，摸出白球计0分，记随机变量表示摸球8次后的总分值，则（

）A．8 B． C． D．166．如图所示是水平放置的的直观图，轴，，则是A．直角三角形 B．等腰三角形C．等边三角形 D．等腰直角三角形7．如图，长方体中，，，那么异面直线与所成角的正弦值是（

）A． B． C． D．8．《九章算术》中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥为鳖臑，平面，，，三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为（

）A． B． C． D．二、多选题9．某篮球运动员在最近几次参加的比赛中的投篮情况如下表：投篮次数投中两分球的次数投中三分球的次数1005518记该篮球运动员在一次投篮中，投中两分球为事件A，投中三分球为事件B，没投中为事件C，用频率估计概率的方法，得到的下述结论中，正确的是（

）A． B．C． D．10．如图，在棱长均相等的正四棱锥中，M、N分别为侧棱、的中点，O是底面四边形对角线的交点，下列结论正确的有（

）A．平面 B．平面平面C． D．平面11．为了解某地高一学生的期末考试语文成绩，研究人员随机抽取了100名学生对其进行调查，根据所得数据制成如图所示的频率分布直方图（各组区间均为左闭右开），已知不低于90分为及格，则（

）A．B．这100名学生期末考试语文成绩的及格率为C．D．这100名学生期末考试语文成绩的及格率为12．下列说法错误的有（

）A．如果非零向量与的方向相同或相反，那么的方向必与或的方向相同B．在中，必有C．若，则A，B，C一定为一个三角形的三个顶点D．向量的夹角为，，则三、填空题13．已知平面向量，若向量在向量方向上的投影为，向量在向量方向上的投影为，且，则__________．14．如图，在一个圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的顶点是圆柱底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的另一个底面.若圆柱的母线长为6，底面半径为2，则该组合体的表面积等于_____.

15．如图，在四棱锥中，四个侧面都是顶角为的等腰三角形，侧棱长均为分别是上的点，则四边形周长的最小值为__________．16．定义一个同学数学成绩优秀的标准为“连续5次数学考试成绩均不低于120分（满分150分）”.现有甲､乙､丙三位同学连续5次数学考试成绩的数据（数据都是正整数）的描述：①甲同学的5个数据的中位数为125，总体均值为128；②乙同学的5个数据的中位数为127，众数为121；③丙同学的5个数据的众数为125，极差为10，总体均值为125.则数学成绩一定优秀的同学是___________.四、解答题17．已知向量、的夹角为，且，（1）求的值；（2）求与的夹角的余弦.18．已知某区、两所初级中学的初一年级在校学生人数之比为，该区教育局为了解双减政策的落实情况，用分层抽样的方法在、两校初一年级在校学生中共抽取了名学生，调查了他们课下做作业的时间，并根据调查结果绘制了如下频率分布直方图：(1)在抽取的名学生中，、两所学校各抽取的人数是多少？(2)该区教育局想了解学生做作业时间的平均时长（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）和做作业时长超过小时的学生比例，请根据频率分布直方图，估计这两个数值；(3)另据调查，这人中做作业时间超过小时的人中的人来自中学，根据已知条件填写下面列联表，并根据列联表判断是否有的把握认为“做作业时间超过小时”与“学校”有关？做作业时间超过小时做作业时间不超过小时合计校校合计附表：附：.19．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．(1)求B；(2)若，求△ABC的面积的最大值．20．如图，已知在长方体中，，，点E是的中点.(1)求证：平面EBD；(2)求三棱锥的体积.21．在中国共产主义青年团成立100周年之际，某校举办了“强国有我，挑战答题”的知识竞赛活动，已知甲、乙两队参加，每队3人，每人回答且仅回答一个问题，答对者为本队赢得1分，答错得0分.假设甲队中3人答对的概率分别为，，，乙队中每人答对的概率均为，且各人回答问题正确与否互不影响.(1)分别求甲队总得分为1分和2分的概率；(2)求活动结束后，甲、乙两队共得4分的概率.22．一个四棱锥木块如图所示，点O在△PBC内，过点O将木块锯开，使截面平行于直线PC和AB，请作出截面，即画出截面与木块表面相交的每条线段，并说明作法及理由．参考答案：1．A【分析】计算和的坐标，由向量共线的坐标表示列方程即可求解.【详解】因为，，所以．，因为与共线，所以，解得：，故选：A.2．A【分析】根据三角形三边关系得到的取值范围，再利用余弦定理表示出，最后根据平面向量数量积的定义计算可得；【详解】解：因为，，所以，即，解得，由余弦定理，所以，因为，所以，所以，即；故选：A3．D【分析】求出三角形的三个内角，然后由正弦定理得结论．【详解】因为且，所以，．又，由正弦定理，得，即，解得．故选：D．4．A【分析】根据复数的除法运算，以及复数的模运算，即可求解.【详解】解：，故,所以,故选：A5．D【分析】先利用古典概型概率计算公式求出从袋中随机取出一球，该球为红球的概率，然后利用二项分布的方差计算公式得到有放回地摸球8次摸到红球的个数的方差，因为，利用方差的性质即可得到答案【详解】由题意，袋子中有除颜色外完全相同的4个红球和8个白球，从袋中随机取出一个球，该球为红球的概率为，现从中有放回地摸球8次，每次摸球的结果不会相互影响，表示做了8次独立重复试验，用表示取到红球的个数，则故：又因为根据方差的性质可得：故选：D6．A【分析】由直观图得到∠BAC=90°，且AB≠AC，所以△ABC是直角三角形.【详解】因为轴，所以∠BAC=90°，因为，直观图中与轴平行的线段是原长度的与轴平行的线段与原长度相等，所以AB≠AC.所以△ABC是直角三角形.故选A【点睛】本题主要考查斜二测画法和直观图，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.7．A【分析】连接，则异面直线与所成角，然后在中求解即可【详解】连接，则异面直线与所成角，设，因为，，所以，所以，，，所以由余弦定理得，因为，所以，所以异面直线与所成角的正弦值是，故选：A8．B【分析】先分析出三棱锥的外接球就是一个长方体的外接球，直接求出长方体的外接球的半径为R，求出球的表面积.【详解】将三棱锥放在一个长方体中，如图示：则三棱锥的外接球就是一个长方体的外接球，因为，，为直角三角形，所以.设长方体的外接球的半径为R，则，故.所以外接球的表面积为.故选：B.【点睛】多面体的外接球问题解题关键是找球心和半径，求半径的方法有：(1)公式法；(2)多面体几何性质法；(3)补形法；(4)寻求轴截面圆半径法；(5)确定球心位置法．9．ABC【分析】求出事件A，B的频率即得对应概率，再用互斥事件的加法公式计算，然后逐一判断得解.【详解】依题意，，，显然事件A，B互斥，，事件B，C互斥，则，于是得选项A，B，C都正确，选项D不正确.故选：ABC10．ABC【分析】A选项，由中位线证明线线平行，推导出线面平行；B选项，在A选项的基础上证明面面平行；从而推导出D错误；由勾股定理的逆定理得到，从而得到.【详解】因为O为底面四边形对角线的交点，所以O为的中点，由M是的中点，可得，因为在平面，平面，所以平面，A正确；同理可推得平面，而，所以平面平面，B正确；因为平面，故不可能垂直平面，D错误；设该正四棱锥的棱长为a，则，所以，因为，所以，C正确.故选ABC．11．AD【分析】根据直方图的规则，先算出a，再根据直方图算出及格率.【详解】依题意可得：20a=1-20×（0.006+0.008+0.014+0.02）=0.04，即a=0.002；及格率为1-20×（0.006+0.014）=0.6=60%；故选：AD.12．AC【分析】直接利用向量的线性运算，向量的夹角运算，三角形法则，向量的模的求法判断A、B、C、D的结论．【详解】解：对于A：非零向量与的方向相同或相反，那么的方向必与或的方向相同或为零向量，故A错误；对于B：在中，必有，故B正确；对于C：若，则，B，C一定为一个三角形的三个顶点，或A、B、C三点共线时，也成立，故C错误；对于D：，故D正确.故选：AC．13．【分析】设的夹角为，向量在向量方向上的投影为，求得，由向量在向量方向上的投影为，求得，利用，即可求解.【详解】设的夹角为，因为向量在向量方向上的投影为，所以，因为，所以．因为向量在向量方向上的投影为，所以，所以，所以，所以.故答案为：．14．【分析】先求得挖去的圆锥的母线长,从而求得圆锥的侧面积，再求圆柱的侧面积和一个底面积，从而求得组合体的表面积.【详解】挖去的圆锥的母线长为，则圆锥的侧面积等于，圆柱的侧面积为，圆柱的一个底面面积为，所以组合体的表面积为.故答案为：【点睛】本题考查了圆锥，圆柱的侧面积的公式，组合体的表面积的理解，属于容易题.15．【详解】把四棱锥四个侧面展开，分别是三角形PAB，三角形PBC，三角形PCD，三角形，，所以AE+EF+FG+的最小值为,在三角形中，PA==，，所以=故答案为点睛：找周长最小是侧面展开的问题，棱锥的侧面展开就是沿着一条侧棱剪开，展开即可，最后化曲为直即为最小值，放在对应的三角形里解决.16．乙【分析】根据中位数、均值、众数、极差等概念，找出满足条件的5个数，看最小的能否小于120即可判断．【详解】在①中，甲同学的5个数据的中位数为125，总体均值为128，可以找到很多反例，如118，119，125，128，150，故甲同学的数学成绩不一定优秀；在②中，乙同学的5个数据的中位数为127，众数为121，所以前三个数为121，121，127，则后两个数肯定大于127，故乙同学的数学成绩一定优秀；在③中，丙同学的5个数据的众数为125，极差为10，总体均值为125，最大值与最小值的差为10，若最大值为129，则最小值为119.即119，125，125，127，129，故丙同学的数学成绩不一定优秀.综上，数学成绩一定优秀的同学只有乙.故答案为：乙．17．（1）（2）.【分析】（1）先求出的值，再开方即可求出的值；（2）设与的夹角为，由可以求出.【详解】（1），；（2）设与的夹角为，，，故与的夹角的余弦.【点睛】本题主要考查平面向量的数量积，正确使用数量积的定义运算，对于，一般先平方，再开方进行求解.18．(1)、两校所抽取人数分别为、；(2)估计该区学生做作业时间的平均时长为小时，该区有的学生做作业时长超过小时；(3)列联表答案见解析，有的把握认为“做作业时间超过小时”与“学校”有关.【分析】（1）设、两校所抽取人数分别为、，根据已知条件列出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得解；（2）将频率分布直方图中每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，可得出该区学生做作业时间的平均时长，计算出频率直方图中后三个矩形的面积之和，可得出该地区做作业时长超过小时的学生比例；（3）根据题中信息完善列联表，计算出的观测值，结合临界值表可得出结论.(1)解：设、两校所抽取人数分别为、，由已知可得，解得.(2)解：由直方图可知，学生做作业的平均时长的估计值为（小时）.由，可知有的学生做作业时长超过小时.综上，估计该区学生做作业时间的平均时长为小时，该区有的学生做作业时长超过3小时.(3)解：由（2）可知，有（人）做作业时间超过3小时.故填表如下（单位：人）：做作业时间超过小时做作业时间不超过小时合计校校合计，所以有的把握认为“做作业时间超过小时”与“学校”有关.19．(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理化边为角，然后利用三角函数恒等变换公式化简计算可求出角B；（2）由余弦定理可得，再利用基本不等式可求出，从而可求出的面积的最大值(1)因为，由正弦定理得：，即，因为，，所以结合得(2)若，，由余弦定理得注意到，，由均值不等式，故，当且仅当时取等，于是，故的面积的最大值．20．(1)证明见解析(2)1【分析】（1），证明，然后由线面平行的判定定理可得线面平行；（2）用换底法求三棱锥的的体积．（1）因为四边形ABCD为矩形，且，则O为AC的中点，又因为E为的中点，则，∵平面EBD，平面EBD，因此，平面EBD；（2）在长方体中，平面，因此，.21．(1)甲队总得分为分的概率为，分的概率为；(2)【分析】（1）利用相互独立事件和互斥事件的概率公式计算可得；（2）首先求出活动结束甲、乙两队得分及所对应的概率，再利用相互独立事件和互斥事件的概率公式计算可得；(1)解：依题意记甲队总得分为分为事件，甲队总得分为分为事件，则，，所以甲队总得分为分的概率为，分的概率为；(2)解：依题意甲队总得分为分的概率为，得分的概率为，得分的概率为，得分的概率为；乙队总得分为分的概率为，得分的概率为，得分的概率为，得分的概率为；则活动结束后，甲、