东华理工大学自动控制理论原理课件

第四章控制系统的根轨迹分析

反馈控制系统的性质取决于闭环传递函数的极点在s平面上的位置。而且只要求解出闭环系统的特征根，系统响应的变化规律也就知道了。但是对于3阶以上的系统求根比较困难。如果系统中有一个可变参数时，求根就更困难了。

1948年，伊文思提出了一种确定系统闭环特征根的图解法——根轨迹法。在已知开环零极点分布的基础上，当某些参数变化时，利用该图解法可以非常方便的确定闭环极点。

定义：当系统开环传递函数中某一参数从0时，闭环系统特征根在s平面上的变化轨迹，就称作系统根轨迹。一般取开环传递系数K（或者根轨迹增益Kg）作为可变参数。第一节根轨迹的基本概念

以图示系统为例：系统的开环传递函数为：式中，K为系统的开环增益（开环放大倍数）。Kg=2K

称为系统的开环根轨迹增益。两个开环极点p1=0，p2=−2，无开环零点。系统的闭环传递函数为：

系统的闭环特征方程为：

s2+2s+Kg

=0求得闭环特征根为：2

j

01Kg=0Kg=0Kg=1KgKg(1)Kg=0：s1=0，s2=2，是根迹的起点(开环极点)，用“”表示。(2)0<Kg<1：s1，s2均是负实数。Kgs1，s2。

s1从坐标原点开始沿负实轴向左移动；s2从（2，j0）点开始沿负实轴向右移动。(3)Kg=1：s1=s2=1，重根。(4)Kg>1：根轨迹与系统性能(1)稳定性：根轨迹不会进入S平面的右半平面该系统对于所有的Kg都是稳定的(2)稳态性能：1型系统原点处有一个极点根轨迹上的K值就是速度误差系数(3)动态性能：第二节绘制根轨迹的条件和基本规则一、绘制根轨迹的基本条件研究如图所示反馈控制系统的一般结构系统的闭环传递函数为闭环特征方程为:D(s)=1±Gk(s)=0或Gk(s)=±1若将系统的开环传递函数Gk(s)写成零极点表达式的形式式中Kg为系统的根轨迹增益，zi

为系统的开环零点，pj为系统的开环极点。系统闭环特征方程又可写为：

“-”号，对应负反馈，“+”号对应正反馈。

由于满足上式的任何s都是系统的闭环极点，所以当系统的结构参数，在某一范围内连续变化时，由上式确定的s在s平面上描画的轨迹就是系统的根轨迹。因此上式称为系统的根轨迹方程。在下面的讨论中，假定系统变化的参数是开环根轨迹增益Kg，这种根轨迹习惯上称之为常规根轨迹。根轨迹方程：根轨迹方程是个向量方程，显然等式两边的幅值和相角应分别相等，即应同时满足下面两个条件：幅值条件相角条件180根轨迹0根轨迹根据幅值条件和相角条件，可完全确定s平面上根轨迹及根轨迹上任一点对应的Kg值。相角条件是确定s平面上根轨迹的充要条件，因此，绘制根轨迹时，只需要使用幅角条件；而当需要确定根轨迹上各点的Kg值时，才使用幅值条件。

对于任何一个复杂的多回路系统，可利用信号流图的概念，用梅逊公式写出其特征多项式Δ=1–ΣLa+ΣLbLc+ΣLdLeLf+…=1+F(s)

可以将F(s)看成Gk(s)，从而采用前述同样的分析方法得到其根轨迹方程。

称F(s)为等效开环传递函数。二、绘制常规根轨迹的基本规则已知负反馈系统开环零极点分布如图示。p2p3

j

0p1z1s11123

在s平面找一点s1

，画出各开环零、极点到s1点的向量。检验s1是否满足相角条件：(s1z1)[(s1p1)+(s1p2)+(s1p3)]=1

123=(2k+1)？？

如果s1点满足相角条件，则是根轨迹上的一点。

寻找在s平面内满足幅角相角条件的所有si

点，将这些点连成光滑曲线，即是闭环系统根轨迹。解：

不符合相角条件，s1不在根轨迹上。满足相角条件，s2在根轨迹上。

例：已知系统的开环传递函数如下，试判断s1(-1,j1)，s2(-0.5,j1)是否在根轨迹上，并求出根轨迹上的点对应的Kg。根据幅值条件不能将s平面上所有的点根据相角条件来确定是否根轨迹上的点来绘制控制系统的根轨迹图，在满足根轨迹条件方程的基础上，根轨迹的图是有一些规律的，在1948年，伊凡思（W.R.Evdns）提出了绘制根迹的一些基本法则。依据绘制轨迹图的一些基本法则，就可以绘制出控制系统的根轨迹草图。是Kg或其它参数的连续函数。∵线性系统特征方程系数均为实数∴闭环极点均为实数或共轭复数（包括一对纯虚根），根轨迹对称于实轴。规则一连续性与对称性当Kg从0→+∞连续变化时，闭环极点连续变化，即根轨迹是连续变化的曲线或直线。结论：根轨迹是连续的，且对称于实轴。规则二根轨迹的分支数

开环传递函数为n阶，故开环极点数和闭环极点数都为n个，当Kg从0→+∞变化时，n个根在s平面上形成n条根轨迹。一条根轨迹对应一个闭环极点随Kg的变化轨迹。

结论：根轨迹的分支数等于系统的阶数规则三根轨迹的起点和终点由幅值条件有：1.起点：Kg=0∴n条根轨迹起始于系统的n个开环极点。此时，等式右边=∞则仅当s=pj（j=1,2,…,n）时成立。∴另外n－m条根轨迹终止于∞处。结论：根轨迹以n个开环极点为起点；以m个开2.终点：kg=∞①当s=zi（i=1,2,…,n）时成立。②∵n>m∴

m条根轨迹终止于m

个开环零点处；此时，方程右边=0∴

在s→∞处环零点为终点，另外n-m条根轨迹终止于无穷远处。可以认为有nm

个无穷远处的开环零点。设零、极点分布如图示：p2p3

j

0p1z1s11=π1=023

在实轴上取一测试点s1

。由图可见，复数共轭极点到实轴s1点的向量幅角和为2，复数共轭零点亦如此。因此在确定实轴上的根轨迹时，可以不考虑复数零、极点的影响。规则四实轴上根轨迹的分布

s1点左边开环实数零、极点到s1点的向量幅角均为零，也不影响实轴上根轨迹的幅角条件。

结论：当实轴某处的右侧的开环零、极点数目之和为奇数时，该实轴段是根轨迹的一部分。重复零、极点要重复计算数目。p2p3

j

0p1z1s11=0231=π而s1点右边开环实数零、极点到s1点的向量幅角为。如果s1是根轨迹，则只有当其右边零极点数目之和为奇数时，才满足幅角条件：

例设系统开环传递函数如下所示，试求实轴上的根轨迹。例如下图所示是三个系统的开环零、极点分布图，试分别绘制相应的根轨迹草图。当开环传递函数中

n>m

时，将有nm条根轨迹分支沿着与实轴夹角为a，交点为a的一组渐近线趋于无穷远处，且有：(k=0,1,…,nm1)规则五根轨迹的渐近线例

设某系统的开环传递函数为试确定系统根轨迹条数、起点和终点、渐近线及根轨迹在实轴上的分布。注意：重复零、极点要重复计算

解：开环极点p1=0、p2=1、p3=5。

系统的根轨迹有三条分支，分别起始于系统的三个有限的开环极点，由于不存在有限的开环零点，当Kg

时，沿着三条渐近线趋向无穷远处。0

j60-2-5-1三条渐近线在实轴上的交点：

实轴上的根轨迹分布在(0,1)和(5,)的实轴段上。渐近线与实轴的夹角：两条或两条以上的根轨迹在s平面上相遇后立即分开的点，称为根轨迹的分离点(会合点)。

分离点上，根轨迹进入分离点的切线方向与离开分离点的切线方向的夹角称为根轨迹的分离角。0

jz1j1Ap1p2KgKgKg=0Kg=0规则六根轨迹的分离点和会合点分离点分离角分离点（会合点）的性质：1、分离点（会合点）是系统闭环重根；2、由于根轨迹是对称的，所以分离点（会合点）或位于实轴上，或以共轭形式成对出现在复平面上；

4、在一个开环零点和一个开环极点之间若有根轨迹，该段无分离点（会合点）。

j

03、实轴上相邻两个开环零（极）点之间（其中之一可为无穷零（极）点）若为根轨迹，则必有一个分离点（会合点）；确定分离点的位置：

注意：重复零、极点要重复计算。

若无开环零点，等式右边为0。

需验证求出的di是否根轨迹上的点。设分离点的坐标为d，则d

满足如下公式：式中，zi、pj

是系统的开环零点和开环极点。确定分离角：l为分离点处根轨迹的分支数。显然，当l＝2时，分离角为直角。解：开环极点p1=1、p2=2，开环零点z1=3。一条渐近线：实轴上的根轨迹分布在(-2,-1)和(-,-3)的实轴段上。

j0123分离点：d1d2因此，可以绘制出该系统的根轨迹如图所示。Kg=0Kg=0Kg→Kg→分离角：90o例

系统的开环传递函数为试绘制该系统的大致根轨迹曲线。若根轨迹与虚轴相交，则交点上的坐标（包括闭环极点和临界增益）可按下述两种方法求出：方法一：在系统的闭环特征方程P(s)=0中，令s=jω，P(jω)=0的解即是交点坐标。方法二：由劳斯稳定判据求出。规则七根轨迹与虚轴的交点解：系统有三条渐近线：例

某负反馈系统的开环传递函数如下，试求系统的根轨迹与s平面虚轴的交点坐标。其中两条与虚轴相交，所以根轨迹与虚轴有两个交点。ω3+20ω=012ω2+Kg=0对应

Kg=0(起点，舍去)，Kg=240方法二：s3+12s2+20s+Kg=0劳斯表为s3120s212Kgs1(240

Kg)/12s0Kg

当Kg=240时，s1行全零，劳斯表第一列不变号，系统存在共轭虚根。共轭虚根可由s2行的辅助方程求出：

12s2+Kg=0方法一：s3+12s2+20s+Kg

=0令s=jω，则(jω)3+12(jω)2+20(jω)+Kg

=0系统闭环特征方程：

0

jKg例

试绘制上例系统的根轨迹草图。

解：三个开环极点

p1=0、p2=2、

p3=-10，无开环零点。2

10

实轴上的根轨迹分布在(-2,0)和(-,-10)的实轴段上。Kg=0Kg=0Kg=0

系统有三条根轨迹分支，分别从p1、p2、p3出发，都终止于无穷远处零点。有三条渐近线，与实轴的交点：渐近线与实轴的夹角：4

0

j

d=0.945

Kg=240KgKgKg2

10Kg=0Kg=0Kg=0Kg=2404分离点：

解得：d1=7.055，d2=0.945d1不是根轨迹上的点，舍去。∴分离点为d2=-0.945。与虚轴的交点：上例已求得与虚轴的交点为对应

Kg=240因此，可以绘制出该系统的根轨迹如图所示。分离角：90o根轨迹离开开环复数极点处的切线与正实轴方向的夹角，称为出射角(起始角)，用θpx表示。根轨迹进入开环复数零点处的切线与正实轴方向的夹角，称为入射角(终止角)，用

zx表示。求出这些角度可按如下关系规则八根轨迹的出射角与入射角pxPx+1

j

0s1

即

设开环系统有一对共轭复数极点px和

px+1

，在待求起始角的复数极点px的根轨迹上取无限接近px的一点s1。因此，除px

外，所有其它开环零、极点到s1点的向量幅角，都可以用它们到px的向量幅角来代替，而px到s1点的向量幅角即为出射角θpx。根据s1点必满足幅角条件，应有0

j-1-2j1-j1试绘制出系统的根轨迹。例

设负反馈系统的开环传递函数为解：①4个极点，3个零点，有四条根轨迹分支：三条终于零点，一条终于无穷远。②实轴上的根轨迹③一条渐近线与实轴的夹角：④与虚轴无交点与实轴交点：⑤无分离点0

j-1-2j1123132⑤出射角=180+1+2+31

23=180+56.5+19+59

108.5

37

90=79⑥入射角绘制概略根轨迹如图0

j-1-2j1-j1试绘制出系统的根轨迹。解：三个开环极点

p1=0、p2,3=1±j0

j例

设负反馈系统的开环传递函数为渐近线：3条-1-11p2出射角：-45°实轴上的根轨迹：整个负实轴KgKg=0无分离点0

j-1-11绘制出系统根轨迹如图所示。KgKgKg-45°

闭环特征方程：s3+2s2+2s+Kg

=0令s=jω，则有(jω)3+2(jω)2+2(jω)+Kg

=0根轨迹与虚轴的交点：ω3+2ω=02ω2+Kg=0Kg=0Kg=0Kg=0

0

j-1-4-2

j1，试绘制出系统的根轨迹。

例

设负反馈系统的开环传递函数为渐近线：a=2

a=45,135分离点：d=2

d=2j2.45分离角：90o与虚轴交点：Kg=260s=j3.16出射角：解：四个开环极点：p1=0、p2=-4、

p3,4=1±j三、绘制补根轨迹（0根轨迹）的基本法则此时研究正反馈系统，系统的特征方程为1Gk(s)=0此时的根轨迹称为0根轨迹。系统开环传递函数为因此根轨迹的相角方程：根轨迹的幅值方程：绘制0根轨迹的基本法则如下：规则1

根轨迹的连续性和对称性同180根轨迹。规则2根轨迹的分支数同180根轨迹。规则3根轨迹的起点(Kg=0)和终点(Kg)同180根轨迹。

显然0根轨迹的幅值方程与180根轨迹的完全相同，只是幅角相差一个π，因此只要把180根轨迹法则中，与幅角相关的项进行修正，即可获得绘制0根轨迹的基本法则。当开环传函中m<n时，有nm条根轨迹分支沿着与实轴夹角为a，交点为a

的一组渐近线趋于无穷远处，且有：(k=0,1,…,nm1)规则5实轴上的根轨迹。实轴上的某一段，若其右边开环实数零、极点个数之和为偶数，则该实轴段必是根轨迹。规则4

根轨迹的渐近线。规则6根轨迹分离点或会合点同180根轨迹。规则7根轨迹与虚轴交点的确定方法同180根轨迹。P(s)=1

G(s)H(s)=0

法则8

根轨迹的出射角与入射角例设单位正反馈系统的开环传递函数如下，绘制其根轨迹。解：按0根轨迹的法则绘制：