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第二章单度线性系统自由振动§2-1无阻尼自由振动1力学与数学模型kmx(t)1力学与数学模型复摆1力学与数学模型EI从《材料力学》知，简支梁跨中受到力P作用时，跨中挠度为：1力学与数学模型T质量m：滑轮：广义数学模型为：式中：Ｍ──广义质量Ｋ──广义刚度Ｘ──广义位移2微分方程的解──以广义数学模型说明或称为固有频率或圆频率积分常数C和α由初始条件确定：3自由振动的特征量（1）固有频率ωn，周频率f，周期T（2）振幅（3）周期性:x(t＋T)＝x(t)（4）

初相位α其中固有频率ωn的求解最重要4求固有频率ωn的几种常用方法（1）建立运动微分方程（2）利用串并联关系求合成刚度（a）并联（b）串联（c）并联并联：位移相等串联：力相等X1与X2为弹簧变形4求固有频率ωn的几种常用方法（3）对于垂直振动系统，有（4）能量法其中（1）与（4）用得最多（5）能量折算法求弹簧等效质量例已知：m，R和k，纯滚动。求：固有频率ωn解：动能定理两边求导：例已知：均质滑轮，M，m，r和k，绳索不可伸长，且与滑轮间无相对滑动。求系统固有频率ωn解：系统动能：

系统势能：

由

例已知：无重直角曲杆，m，k1，k2，a，b。求ωnO《直角曲杆》解：《物块m》O例已知：无重直角曲杆，m，k1，k2，a，b。求ωnO《直角曲杆》解：《物块m》实际系统，振动不会永远下去，振幅会逐渐衰减，直至振动停止，表明有阻力，设阻力与速度的一次方成正比，即§2-2有阻尼自由振动1阻尼mC为阻尼系数，力学模型如图。2

运动微分方程及其解(1)

大阻尼及临界阻尼情况2

几种情况这时系统不发生振动，这里不作讨论。2

几种情况C、D或A、α由初始条件确定。(2)

小阻尼情况即衰减振动周期Td大于无阻尼时的振动周期Tn。表明有阻尼时频率下降。一般，由于ζ<<１，故有阻尼对系统的周期和固有频率影响不大，但对振幅的影响却很大。如：ζ＝0.02时

即频率下降了0.02％，而振幅一个周期后下降了12％，10个周期后则下降到原来的28.45％。

当ζ＝0.05时，频率仅下降0.

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