第六讲-光学导论2013年10月10日

IntroductiontoFourier讲解人E-mail:j 理工大学光电学 第二章光的衍射及光 主要内§2.1衍射问题概§2.2球面波衍射理§2.3平面波角谱理 变换性 变换运算的光学模 x2y2 E(x,y)

expjkd

A,exp[

(22)]exp[

(xy)]d E20(x,

A,exp[j

2 卷积E(x,y)

exp(jkd)A(,)exp

xy

2 exp(jkd)A(x,y)exp k(x2y2

Ex,yA,hx,yd=A(x,y)衍射的脉冲响应函hx,y j

x2y2 yx衍射的传递函数yx

2d Hfx,f

expjkzexpjzf

f2和费衍E(x,y)

expjkd

y2

d

(x

E20(x, A,1

1

Ix,y

f ,ff ,f

x y

d

d 脉冲响应函1e

hx,y

expjkdexp x2y2expj x 把该脉冲响应代入衍射公

Ex,yA,hx,yd 平面波照明情 B,1S平面波照明的衍射装衍射 于透镜之 衍射 于透镜之

Lz

(x,F(x,F A'(,)B(,)T(,)T,A(,)Eexp[

(

2 l 2E(x,y)

exp[jk(z

x2

A'(,)exp[jk(

2)]exp[jz

(x

l0exp[jk(z )]A(,)exp[

2)]exp[ (x

当zf时，上式简化为 x2 E(x,y) l0exp[jk(f )]A(,)exp[ (xj 2 在照明（无穷远点）光源的共轭像面上，可观察物体透射光波 (x,和菲衍射

LSS

Lz

F(x,F 斜入射照明的情B(,)exp(j2sin斜入射平面波照A'(,)B(,)T(,)Tl,A(,)Tl,B(,)exp(j2sinE(,)El0exp[jk(fj

x22

)]A(,)exp[j2

x y A(,)B(,)T 球面波照明的情A'(,)B(,)T(,)Tl

,)B0exp[

k(222BEexp[j

(

2)]exp[

2)]T l

2 2

LL(OpqS 代 衍射公式，可求得上的复振幅为E(x,y)

exp[jk(q

k

(x, (xy)]d q B0El0exp[jk(q

x2

)]T(,) exp[jk(111)(

2)]exp[

q

y)]d令B0El

E 111，上式简化为：

E(x,y)E0exp[jk(q

x2

)]T(,)exp[jk(xqq结论：单色球面波照明时，在点光源S的共轭像面上 和费衍第二章光的衍射及光 主要内§2.1衍射问题概§2.2球面波衍射理§2.3平面波角谱理 变换性 变换运算的光学模 主要内衍射问题分FresnelFraunholerFresnelFraunholer内（Babinet）互补平面 平面波也是光波最简单的一种形沿k方 的单色平面波，在光场中P(x,y,z)点产生的复振幅可以表示为Ux,y,zaexpjkxcosycoszcos其中（1）a是常量振幅（2）cos、cos、cos为 cos2cos2cos2在xy平面上的复振幅 1cos2cos2 cosxycos exp cosA(z)expj2

x

§2.3

xE(x, a(f,f e(f,f 衍射问题的角谱分析关键是确定在自由空间 因 A(,的空间频谱为af,fA(,)a(f,f)exp[j2(ff)]dfaffA(,中空频为ff该平面 的方向余弦为(cos,cos,cos)，则有fcos/；fcos/；fcos/

12

22f

A(,的空间频谱af,f又可表示为acos 称为复杂波A(,)的角谱 角谱z=0面的复杂波A(xy在空频ff的成分为aa(f,f)dfdfexp[j2(fxf当它到达zz平面时，复振幅表示为a(f,f)dfdfexp[j2(fxfyf利用 12f22f2， aa(f,f)exp[ 12f22f2]dfdfexp[j2(fxfe(f,f)a(f,f)exp 12f22f2 e(f,f)a(f,f)exp 12f22f2 对e(f,f)作 E(x,y)e(f,f)expj2(fxfy)dfa(f,f)exp 1

f

expj2(fxfy)df 线性不变系统与角线性不变系统的传递函gx,yfx,yhx,卷积Gfx,fyHfx,fyFfx,fyGfx,fy=Fgx,输出

Hfx,fy=Fhx,传递

Ffx,fyFfx,输入从空间域入手计算系统的输 从频率域入手计算系统的输*传递函数定义为系统脉冲响应 变换角 与线性不变系线性不变系统的传递函

gx,Gfx,fyHfx,fyFfx,fyGfx,fy=Fgx,输出

Hf,f=expjk 12

22f2 y

Ffx,fyFfx,输入空间域获得系统的输 从频域入手计算系统的输*角 的空间分E(x,y)

a(f,f)exp 1

f

将角谱在自由空 作为线性不变系统，其I/O关系为 H(f,f)

e(f,f

expjk 12

22f2a(f,f

Hff 就是该系统的传递函数 角 的条12f22f2f2

2 2fcos/；fcos/coscos2cos2cos2cos2 方向余弦cos2cos2 只是改变了各个角谱分量的相对位相，引入了一个位相迟因 exp(j2 1cos2cos2

，振幅不变由于每个平面波分量在不同方向 ，它们到达给定的点所经过的距离不同cos2cos2cos2cos2e(cos,cos,z)a(cos,cos,0)expz 其中 coscos是个正数，因此说明一切满足coscos的波动分z的增大而按指数expz衰减。在几个波长的距离内很快衰减到零。称为倏逝波cos2cos2cos2cos2 Hf,

A(fx,fy

exp f

A(fx,fy

f

Hf,f

λ 光波的现象看作一个传递函数的模为1，对各频率分量的振幅没有影响，引入频率的 E(x,y)

a(f,f)exp

a(f,f)A(,)exp[j2(f12f22f12f22fE(x,y)A(,)ddexp exp[j2(f12f22f12f22f 12f22f令h(xy1{H12f22f

expj2(fxfy)dfh(x,y)exp

12f22fexpj2[f(x)12f22f rZ远大于波 z远大于孔径和观察区域的最大线度，系统的脉冲r z2(x)2 z2(x)2(y)2 z2(x)2(y系统输入输出E(x,y)A(,)h(x,y t(x,y)rect(x0)rect(y0 衍射孔径对角谱的作Utx,yUix,ytx,假定入射光场的角谱和透射光场的角谱分Acoscos

Acos,cosi

t 变换的卷积定理可确定两者的关系Acos,cosAcos,cosTcos,cost

i

其中，T()是孔径透过率函数 变换衍射孔径对角谱的作A(cos,cos)A(cos,cos)T(cos,cos

角谱的展宽就是在出射波中除了包含与入射光波相同方 衍射孔径对角谱的作例：如果采用单位振幅平面波垂直照明矩形孔径，入射光场Uix,y入射光场的角谱

Acos,cosFUx,ycos,cosi Acos,coscos,cosTcos,cos则 t 透射光场等于孔径透过率 变Tcos,cos Tcos,cos{t(x,y)}{rect(x0

y0 absinc(acos)sinc(acos 总结：1）空间域：孔径限制了入射波面的范2）频率域：孔径展宽了入射光场的角谱：孔径愈小，展宽愈大FresnelFraunholer角谱理论 近 H(f,f)

expjkz12( f)8( f) 近似条件下的角谱传递函数HH(f,f)exp(jkz)expjz(f2f2得E(x,y)exp(jkz)a(f,f)expjz(f2f2)expj2fxfyexp(jk 角谱理论 近又因 1a(f,f)A(x, expjk

y2j

E(x,y)

exp(jkz)A(x,y)expjk(x2y2j

1exp(jkz)A(,)exp

j

K

y2

2 Ex,y

dexpjkd A(,)expj2d expjkxy S(,)A(,)expjk(22ds(f,fs(f,f)

A(,)exp[jk(d

2)]exp[j2(f

f)]d E(x, g(x,sy)(f1

x2y2其 g(x,y)

jd

exp[jk(d E(x,y)

exp(jkd)A(,)exp

xy

2 exp(jkz)A(x,y)expjk(x2y2j

ExyA,hx,yd=A(x,y)hx,y

expjkdexpj

x2y2

2d Hf,fexpjkzexpjzf2f2 12f22e(f,f)a(12f22 12f22fa(f,f)exp expj2(fx12f22f E(x,y)

exp

jkd

y2

xy a(f,f)A(,)exp[