《电路分析基础》补充-耦合电感和理想变压器

第十一章耦合电感和理想变压器§11－1基本概念§11－2耦合电感的VCR耦合系数§11－3

空心变压器电路的分析反映阻抗§11－4耦合电感的去耦等效电路§11－5

理想变压器的VCR§11－6

理想变压器的阻抗变换性质§11－7

理想变压器的实现§11－8

理想变压器的模型耦合电感(coupledinductors)§11－l耦合电感的电压电流关系当几个电感线圈相互靠近时，电磁感应存在着相互作用，这种现象称为磁耦合现象，也称为互感(mutualinductance)现象。L2L1L3☆

理想变压器是一种由耦合电感抽象出来的无损耗、全耦合变压器。☆相互靠近的并行长直导线存在磁耦耦合现象，可视为耦合电感。磁耦合试验：在环形磁芯上用漆包线绕制一个耦合电感+–uORO+–uSRL在一个电感两端加一交流电压uS

，另一个电感端接负载电阻RL，RL上可测量到输出交流电压uO。

1.耦合电感的自感和互感当存在电流i1通过电感时，在线圈1中产生自感磁链1111=N111=L1i1

i1与11的方向满足右手螺旋法则同时部分磁通穿过临近线圈2，在圈2上产生互感磁链2121=N221=M21i1

M21

——线圈1与2的互感系数当线圈2也存在电流i2

时:=L1i1+M12i2=M21i1

+L2i21=11+122=21+22i2i1L1L2

11

221=L1i1±M21i22=±M12i1+L2i2两个电感同时存在电流i1和i2时，通过每个电感的总磁链等于自感磁链叠加互感磁链，是电流i1和i2单独作用时磁链的叠加。

22

11i1i2互感M12、M21的量值反映了一个电感在另一个电感产生磁链的能力。

根据电磁场理论可以证明：M12＝M21＝M，互感M的大小不仅与两线圈的匝数、形状及尺寸有关，还与两线圈的相对位置有关。

耦合电感的自感电压与互感电压根据电磁感应定律，当电流i1和i2随时间变化时，电感中磁链也随时间变化，将在电感中产生感应电动势。1=L1i1±M

i22=±M

i1+L2i2(电磁感应定律)由：

1

2i1–+u1–+u2i2互感电压自感电压

1

2i1–+u1–+u2i2互感电压的正负号取决于磁通方向，当i1和i2在耦合线圈中产生的磁场方向相同而相互增强时，互感电压的符号为正。反之为负。

1

2i1–+u1–+u2i2

1

2i1–+u1–+u2i2上图：下图：2.耦合电感的耦合系数k

一对耦合电感的电流产生的磁通只有部分磁通相交链，而彼此不交链的部分磁通称为漏磁通。用耦合系数表征耦合电感的紧密程度k=1时称为全耦合(紧耦合)

k值较小时称为松耦合

k=0时为无耦合(孤立电感)

i1i1全耦合电感一般采用双线并绕制作。3.耦合电感的同名端为了在看不见线圈相对位置和绕法的情况下，确定互感电压取正号或负号，人们在耦合线圈的两个端钮上标注一对特殊的符号，称为同名端(•,*)

。当两个电流分别从两个线圈对应的同名端端子流入时，互感电压的符号为正，反之为负。+–u11+–u12i11N1N2+–u13N3**i2确定同名端的方法：(1)由线圈的相互绕法及线圈的相对位置方向确定两线圈同名端。例，注意：线圈的同名端必须两两确定。11'22'**(2)未知互感线圈内部结构时，测量两个线圈中的感生电压极性确定两线圈同名端。11'22'3'3**由同名端及u,i参考方向确定互感电压的极性Mi1+_+_L2L1u21u1Mi1+_+_L2L1u21u1u21–Mi1+u1+–u21–Mi1+u1+–4.耦合电感的电流电压关系时域形式的方程为:在电路分析中耦合电感的互感电压可以用电流控制电压源(CCVS)来表征。Mi1+_+_L2L1u2u1i2–Mi1++L2L1i2––++–u1u12u21u2当两电感中的电流为正弦交流电时，则：相量形式的方程为:–İ1++jwL2jwL1İ2––++–jwM相量模型电路2Hab4H4Hi1+_uabi2例1，求下图耦合电感的端口等效电路。当

uab=30cos5t时，求Zab、i1、i2

。解:1)求Zab由端口VCR3H

2).当uab=30cos5t时，求i1、i22Hab4H4Hi1+_uabi2解:反变换：i1=2cos(5t–

90)A,

i1=cos(5t–90)A。例2，设uS=14cos10tV，求i1、i2

。解:1)画相量模型电路(变换)j2j3j5İ1İ2+-23140V-j12).求i1、i20.2H0.3H0.5Hi1i2+-23uS0.1FR1R2L1L2由网孔方程：j2j3j5İ1İ2+-23140V-j1∴反变换：§11－2耦合电感的串联与并联一、互感线圈的串联1.同名端顺接+_uiLeqROMi+_L1uL2R1R22.同名端反接顺接与反接通式：+_uiLeqROMi+_L1uL2R1R2*顺接一次，反接一次，就可以测出互感：互感的测量方法：Mi1L1L2问题：已知L1

、L2

测量M(应用电感测试仪测量互感M)1.同侧并联i=i1+i2解得u,i

的关系：二、互感线圈的并联LeqMi+_L2L1ui1i22.

异侧并联i=i1+i2解得u,i的关系：LeqMi+_L2L1ui1i2例1,求图示电路开关闭合后的时间常数t。设k=0.5。K2HuSS2H22–+解:uS–+46H开关闭合后的等效电路如图–+44H2H4HuSi例2，设us=10costV时求i

。解:uS–+43Hi§11-3

耦合电感的去耦等效电路讨论耦合电感具有公共端的去耦等效电路Mi1L1+_u1i2L2+_u2i2i1u2++u1LaLbLc––当两电路对应端口VCR相等时电路等效即：u1=f1(i1,i2)u2=f2(i1,i2)u1=f1(i1,i2)u2=f2(i1,i2)=去耦等效——去除互感M的等效公共端为同名端的等效电路++jLajLcjLb––İ1İ2jMİ1+_İ2+_jL2jL1++jLajLcjLb––İ1İ2jMİ1+_İ2+_jL2jL1两电路等效方程组对应系数相等L1=La+LbL2=Lb+LcM=LbLa=L1–M

Lb=MLc

=L2–M

L1–ML2–MMML2L1L1–ML2–MMML2L1L1+ML2+M–M公共端为同名端公共端为异名端解：Lab=(L1–M)+M║(L2–M)例1,求Lab

。L1–ML2–MMab2H4H4Hab3H例2,求Zab

。Zab=(3+j3)+j2║j2=3+j4Wj2Wj5Wj2Wj2Wab3Wabj(5-2)Wj(2-2)Wj2Wj2W3Wi15W+-8W1Hus3Hi23.5H1Hİ15W+-8Wj4Wİ2j5Wj4W(1)画电路的相量模型。(2)求i1、i2。(3)求8W电阻吸收的平均功率。解:Zin=(5+j5)+(j4)∥(8+j4)=6+j8例3,İ15W+-8Wj4Wİ2j5Wj4W(2)反变换(3)求8W电阻吸收的平均功率。i11.2H3W+-2W0.8H0.2H0.2F0.2F+-u2us求i1(t)、u2(t)解:①等效变换②求i1(t)Zin=(3+j7)+(-j2)║(2+j4)=4+j4+-İ13W+-2W-j1j7-j1j5-j1İ2i1(t)=2cos5tA例4,

已知+-İ13W+-2W-j1j7-j1j5-j1İ2③求u2(t)§11-4空心变压器电路分析变压器空心变压器：变压器骨架材料为非磁性材料;磁芯变压器:变压器骨架材料为磁性材料。变压器骨架空心变压器：

L1、

L2、M较小主要用于高频电路。iML2L1磁芯变压器:

L1、

L2、M较大，性能接近理想变压器。主要用于低频电路。L∝

Nm,m——磁性材料的磁导率一.端接负载的空心变压器初级端次级端ML1L2R1R2R1、

R2为电感内阻,阻值较小。变压器电路模型jMİ1+_İ2jL2jL1R1R2ZLZiİ1+_ZL=RL+jXLjMİ1+_İ2jL2jL1R1R2ZL1.变压器输入阻抗Zi

的计算由网孔方程:Z11——称为变压器初级回路自阻抗，它是初级回路内所有阻抗之和。Z22——称为变压器次级回路自阻抗，它是次级回路内所有阻抗之和。Z12=Z21——称为变压器初级回路与次级回路的互阻抗。Z12=Z21=ZM=–jMjMİ1+_İ2jL2jL1R1R2ZLjMİ1+_İ2jL2jL1R1R2ZL=Z11+ZrefZref称为次级回路折合到初级回路的反映阻抗Zrefİ1+_Z11初级等效电路2.次级等效电路jMİ1+_İ2jL2jL1R1R2ZL+––+İ2Z22–jMİ1++L2L1İ2++–––ZLR1R2例1,已知L1=50.5mF,L2=50mF,M=0.5mF,US=10V,

=2×107rad/s。求i1,i2。解：①求i1Z11=R1+jL1+1/jC1=10+j1010-j1000=10+j10Z22=R2+jL2+1/jC2=10+j1000-j1000=10M=2×107×0.5×106=10=10+j10+10=20+j10ML1L2R1R2+-1010C1C2i1i2Zrefİ1+_Z11ML1L2R1R2+-1010C1C2i1i2Zi=20+j10US=10VZ22=10,jM=j10ML1L2R1R2+-4010C1C2İ1İ21nF1nF1mH1mH例2,已知US

=10V,w=106rad/s。为使R2