《电路》邱关源g(第五版)第13章

非正弦周期信号的分解

谐波分析法

有效值、平均值和平均功率非正弦周期电流电路和信号的频谱第十三章JeanBaptisteJosephFourier傅里叶(1768-1830)线性电路中一个正弦电源作用或多个同频正弦电源同时作用时，电路各部分的稳态电压、电流都是同频的正弦量。但在实际生产和科学实验中，通常还会遇到按非正弦规律变化的电源和信号。§13—1非正弦交流电压、电流的产生1、正弦交流电压、电流的畸变或电路中出现不同频率的电源。tu0tu0tu0+=u1u2u32、信号本身为非正弦量t锯齿波u0T/2t脉冲波i方波电压tu03、电路中存在非线性元件tu0°°tu0二、讨论范围及方法1、范围：非正弦周期电源作用下的线性电路。2、方法：谐波分析法（变换法）谐波分析法—以线性电路的迭加定理为理论基础，把非正弦周期电流电路的计算转化为不同频率的正弦交流电路的计算。非正弦信号i线性电路°°uSi线性电路线性电路线性电路线性电路uS1uS3uS2uSnii1iii23n线性迭加：i=i¹+i²+i³+…+in线性电路uS2uSnuS1iuS3§13—2周期函数的分解一、一般周期函数的分解

周期函数f(t)=f(t+Kt)，若满足狄里赫里条件：※在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点；※在一个周期内只有有限个极大值或极小值；※积分

f（t）d（t）0

存在。T/2-T/2就可以展开成一个傅立叶级数。基波（和原函数同频）二次谐波（2倍频）

直流分量高次谐波周期函数展开成付里叶级数：akbkAkmΨk奇函数分量偶函数分量直流分量K=1基波分量(和原函数同频）K=2二次谐波分量K

高次谐波分量K=偶数偶次谐波分量K=奇数奇次谐波分量其中：A0=a0Ψk=arctan（bk/ak）22Kkba+Akm=Ck=2ak

-jbk=CkeK=-jk

1t)sincos(10)(=++=kkkttkbtkaafw1w1=++=10)COS(

(kkkmtkAAw1

Ψ基波分量+各谐波分量求出A0、ak、bk便可得到原函数f(t)的展开式。系数的计算：*频谱：为了表示一个周期函数分解为傅立叶级数后包含的那些频率分量以及各分量所占的比重，用长度与各次谐波振幅大小相对应的线段，按频率的高低顺序把他们依次排列起来，就得到以下的频谱图。kωAkm二、具有对称性的周期函数的分解1、不论偶、奇函数，只要波形在横轴上下包围的面积相等，则ao=02、偶函数：f（t）=f（-t）

则bk=0tf（t）T/2纵轴对称3、奇函数：f（t）=-f（-t）

则ak=04、奇谐波函数：f（t）=-f（t+T/2）原点对称镜对称f（t）t0ak=0bk偶数ao=0tf（t）tT/2T周期性方波信号的分解例1解图示矩形波电流在一个周期内的表达式为：直流分量：谐波分量：K为偶数K为奇数（K为奇数）的展开式为：ttt基波直流分量三次谐波五次谐波七次谐波周期性方波波形分解基波直流分量直流分量+基波三次谐波直流分量+基波+三次谐波tT/2TAkm0矩形波的频谱图tT/2TIS0等效电源IS0

例、试把表12-中振幅为50V、周期为0.02s的三角波电压分解为傅里叶级数（取至五次谐波）。解电压基波的角频率为§13-3有效值、平均值和平均功率1.

三角函数的性质

（1）正弦、余弦信号一个周期内的积分为0。k整数

（2）sin2、cos2

在一个周期内的积分为。（3）

三角函数的正交性一、有效值以电流为例：定义：周期电流、电压的方均根值。把电流的公式代入，得：同理：结论：非正弦周期电压、电流的有效值等于直流分量的平方与各次谐波有效值的平方和开方。讨论：1、非正弦周期电压、电流的有效值与最大值间是否存在2的关系？2、有效值相等的两个非正弦周期电压（或电流），它们的

最大值是否相等？T/2Tf（t）tf（t）二、平均值

它相当于正弦电流经全波整流后的平均值。

在电工测量中，用不同的仪表测量时可得不同的结果，例如：磁电系仪表测量，所得的结果将是电流的恒定分量。电磁系仪表测量结果将是电流的有效值。用全波整流仪表测量时，所得的结果将是电流的平均值。定义：非正弦周期电压、电流的绝对值的平均值。当时,三、有功功率—平均功率式中的u，i取关联参考方向。定义：瞬时功率在一个周期的平均值。根据正交性，不同频率的电流，电压的乘积积分为零，同频率的电流，电压的乘积积分为UKIKCOS。这样，不难证明：式中：同理平均功率＝直流分量的功率＋各次谐波的平均功率例题：°°°i1i2i3已知：i2=202cos(t+30º)+152cos(5t+30º)A求：i3和I3。i1=5+102cos(t+30º)+52cos(3t+10º)A解：根据KCLi3=i1+i2

5+302cos(t+30º)+52cos(3t+10º)+152cos(5t+30º)A=I3=5²+30²+5²+15²=34.2A若：i2=202cos(t+10º)+152cos(5t+30º)A同频率合并i3=i1+i25+222cos(t+26.7º)+52cos(3t+10º)+152cos(5t+30º)A=一次谐波用相量相加1030º+2010º=2226.7º例题：已知：is=50+402cos(t)+402cos(t+30º)+202cos(5t+10º)A求：UR，P。is2+-解：uR=isR=100+1542cos(t+15.12º)+402cos(5t+10º)VUR=100²+154²+40²=188.3V合并772cos(t+15.12º)P=50100+15477cos0º+4020=17.672Kw=I²R例题

已知某电路的电压、电流分别为求该电路的平均功率、无功功率和视在功率。解平均功率为无功功率为视在功率为*工程中，常用正弦波代替非正弦波，称等效正弦波。但是要满足：

1、正弦波和非正弦波的有效值相等。

2、有功功率相等。

3、正弦波频率与非正弦波的基波频率相同，具体步骤如下：（1）把给定的非正弦周期电源分解，高次谐波取到哪一项为止，要根据所需准确度的高低而定。（2）分别求出电源的恒定分量及各次谐波单独作用时的响应。把计算结果转换为时域形式。对恒定分量作用：电容开路，电感短路。对各次谐波作用：用相量法求解，注意感抗、容抗与频率的关系。（3）应用叠加定理，把步骤（2）计算出的结果进行叠加，从而求得所需响应。*注意把表示不同频率正弦电流向量或电压向量直接相加是没意义的。13-4谐波分析法练习题：图(a)所示电路，已知全波形整流电压us(t)波形如图(b)所示，其中T=20ms.试求：（1）电流i0(t)及其有效值；（2）电阻R的功率。us(t)L+_Ci0(t)

R（a）0.4H2kΩ100μF100us(t)/VT/2T(b)t(s)解：查教材中表格该级数收敛较快，仅计取到4次谐波即可us(t)=63.7-42.5cos2ωt-8.5cos4ωt-3.64cos6ωt-…I0=Us(0)/R=63.7/(2×10³)=31.85mA1、Us(0)=63.7V作用us(t)L+_CI0

R2kΩ••us(t)L+_Ci0(t)

R（a）0.5H2kΩ100μF感抗ZL（2）=j2ωL=j2×314×0.5=j314Ω容抗ZC（2）=1/j2ωC=-j15.9Ω电阻与电容并联阻抗

ZRC（2）=RZC（2）/(R+ZC（2）)

=2×10³×(-j15.9）/2×10³-j15.9

-j15.9Ω

2、Us2=42.5180v作用•对2次谐波分量：I(2)•+_j314Ω2kΩ-j15.9Ω•Us故电流的二次谐波分量对4次谐波分量，感抗ZL（4）=2ZL（2）=j628Ω，

容抗ZC（4）=0.5

ZC（2）=-j7.9

Ω电阻与电容的并联阻抗3、Us4=8.5180v作用•

ZRC（4）=R×ZC（4）/R+ZC（4）

=2×10³×（-j7.9）/（2×10³–j7.9）=–j7.9ΩI

(2)=USm(2)/(ZL（2）+ZRC（2）)=42.5∠180/(j314-j15.9)=-1.4∠0°mA••I

(4)=USm(4)/(ZL（4）+ZRC（4）)=8.5∠180°/(j628-j7.9)=-0.014∠0°mA••4、将各电流分量写成瞬时表达式再相加得i0(t)=（31.85-1.3cos2ωt-0.014cos4ωt）mA5、求i0(t)的有效值：

I=√

IO²+0.5I2M²+0.5I4M²=√31.85²+0.5×1.3²+0.5×0.014²

=31.86mA6、计算R的吸收功率：讨论

计算结果表明，当单向脉动的整流信号通过该电路时，其直流分量能顺利通过，对高次谐波分量则衰减很大。这种电路就是在电子线路中经常使用的低通滤波电路。

P=I0UO+0.5I2mR+0.5I4mR=IR

=2.03W²²²u(t)WA+VRLi(t)C

求电磁系电流表、电压表及功率表的读数。例题：

已知在图中所示电路中，

u(t)=[100+802cos(ωt+30°)+182cos3ωt]VR=6kΩωL=2kΩ1/ωC=18kΩ解:本题中求的电流表、电压表和功率表读数，实际上就是计算相应非正弦周期电流、电压的有效值和电路的平均功率。(1)对直流分量：电容是为开路，故I（0）=0U(0)=0（2）对基波分量(1)U=80∠30°v•Z(1)=R+j(ωL–1/ωc)=17∠-69.4°KΩ•I=U(1)/Z(1)=80∠30°/17∠-69.4°=4.7∠99.4°mA•u(t)WA+VRLi(t)C(3)对3次谐波:U(1)=(R+jωL)I(1)=(6+j2)×4.7∠99.4°=29.7∠117.8°V••U(3)=18∠0°VI(3)=U(3)/Z(3)=18∠0°/6=3∠0°mA•三次谐波谐振Z(3)=R+j(3ωL–1/3ωc)=6KΩ=(6+j6)×3∠0°=25.5∠45°VU(3)=(R+j3ωL)I(3)因此,电流表和电压表的读数分别为

I=I(1)²

+I(3)²)=

4.7²+3²=5.6mA

U=Uab(1)²

+Uab(3)²=29.6²+25.5²=39.1Vu(t)=[29