2021-2022学年山东省淄博市张店第五中学高三数学理模拟试题含解析

2021-2022学年山东省淄博市张店第五中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是(

)A． B． C． D．参考答案：C【考点】抛物线的应用；直线的斜率；直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系；抛物线的简单性质．【专题】计算题．【分析】根据抛物线方程求得Q点坐标，设过Q点的直线l方程与抛物线方程联立消去y，根据判别式大于等于0求得k的范围．【解答】解：∵y2=8x，∴Q（﹣2，0）（Q为准线与x轴的交点），设过Q点的直线l方程为y=k（x+2）．∵l与抛物线有公共点，有解，∴方程组即k2x2+（4k2﹣8）x+4k2=0有解．∴△=（4k2﹣8）2﹣16k4≥0，即k2≤1．∴﹣1≤k≤1，故选C．【点评】本题主要考查了抛物线的应用．涉及直线与抛物线的关系，常需要把直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理或判别式解决问题．2.“”是“直线与直线垂直”的（

）条件A．充分而不必要

B．必要而不充分

C．充要

D．既不充分也不必要参考答案：A略3.设全集，集合，，则为A．

B．

C.

D．参考答案：C4.若，则（

）A. B. C.-1 D.3参考答案：A【分析】由，可求出的值，所求式子可以写成分母为1的形式，用进行代换，分子、分母同时除以，然后把的值代入求值即可.【详解】,,把代入，求得，故本题选A.【点睛】本题考查了两角和的正切公式、正弦的二倍角公式,解决本题的关键是的代换，变成双齐次方程，这样便于求出值来.5.等差数列{an}的前n项和为Sn，若，则（）A.2 B.4 C.6 D.8参考答案：A【分析】由已知结合等差数列的前n项和求得，再由等差数列的性质得答案．【详解】在等差数列{an}中，由，得，即＝4．又＝2，∴，∴=2，故选：A．【点睛】本题考查等差数列的性质，考查等差数列的前n项和，是基础题．6.已知命题：函数在为增函数，：函数在为减函数，则在命题：，：，：和：中，真命题是（

）A、，

B、，

C、，

D、，参考答案：C略7.设F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若在直线上存在P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是（

）．A． B． C．

D．参考答案：D设，，，由线段的中垂线过点得，即，得，即，得，解得，故，故选D.8.已知集合，则A∩B=（

）A.[－3,1) B.[0,1) C.[1,2] D.(－3,2)参考答案：B【分析】解一元二次不等式求得集合，求三角函数值域求得集合，由此求得.【详解】由解得.当时，函数，所以.故选：B【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查含有的函数的值域的求法，考查集合交集概念和运算，属于基础题.9.“”是“”的（

）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件参考答案：A【分析】若,则,利用均值定理可得,则,进而判断命题之间的关系.【详解】若,则,因为,当且仅当时等号成立,所以,因为,所以“”是“”的充分不必要条件,故选:A【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判定,考查利用均值定理求最值.10.如右图,在多面体中,已知面是边长为3的正方形,,,与面的距离为2,则该多面体的体积为（

）A.

B.5

C.6

D.参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.的展开式中的系数为_______（用数字填写答案）.参考答案：40【分析】,根据的通项公式分r=3和r=2两种情况求解即可.【详解】，由展开式的通项公式可得：当r=3时，展开式中的系数为；当r=2时，展开式中的系数为，则的系数为80-40=40.故答案为：40．【点睛】（1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项.（2）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解.12.已知关于的方程有两个不等的负实数根；关于的方程的两个实数根，分别在区间与内（1）若是真命题，则实数的取值范围为__________.（2）若是真命题，则实数的取值范围为__________.参考答案：略13.已知是等比数列的前项和，若存在，满足，，则数列的公比为

．参考答案：2设等比数列公比为q，当公比q=1时，，不满足题意当公比q≠1时，因为所以，化简得又因为所以，代入化简得即解得，所以，即m=2

14.已知，若，且方程有5个不同根，则的取值范围为________参考答案：【分析】设，作出函数的图象，由方程有个不同根转化为二次方程的两根，，并构造函数，转化为二次函数的零点分布，得出，结合，可作出关于、的不等式组，作出可行域，将视为可行域中的点到直线的距离，结合图象可得出答案.【详解】作出函数的图象如下图所示：设，则方程有个不同根转化二次方程的两根，，构造函数，可得不等式，即，结合，作出图形如下图所示，不等式组表示的平面区域为边长为的正方形，不等式组表示的区域为下图中的阴影部分（不包括轴），代数式视为可行域中的点到直线的距离，当点与点重合时，，结合图形可知，取值范围是，故答案为：.【点睛】本题考查复合函数的零点个数问题，涉及二次函数零点分布、线性规划以及点到直线的距离，解题的关键在于将问题转化为二次函数零点的分布，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于难题.15.已知直线与平面区域C:的边界交于A，B两点，若，则的取值范围是________.参考答案：不等式对应的区域为，因为直线的斜率为1，由图象可知，要使，则，即的取值范围是。16.已知点在圆上，点关于直线的对称点也在圆上，则。参考答案：17.经过圆的圆心，并且与直线垂直的直线方程是

．参考答案：试题分析：由题设可知圆心的坐标为,所求直线的斜率为,则所求直线的方程为,即.考点：直线与圆的方程．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（13分）数列{an}中，a1=2，an+1=an+c?2n（c是常数，n=1，2，3…），且a1，a2，a3成公比不为1的等比数列．（Ⅰ）求c的值；（Ⅱ）求{an}的通项公式．参考答案：【考点】数列递推式．【分析】（Ⅰ）由递推式表示出a2，a3，由a1，a2，a3成等比数列可得关于c的方程，解出即得c值，注意检验；（Ⅱ）利用累加法可求得an，注意检验n=1时是否满足an；【解答】解：（Ⅰ）a1=2，a2=2+2c，a3=2+6c，∵a1，a2，a3成等比数列，∴（2+2c）2=2（2+6c），解得c=0或c=1．当c=0时，a1=a2=a3，不符合题意舍去，故c=1．（2）∵an+1=an+2n，∴a2=a1+21，a3=a2+22，a4=a3+23，…，an=an﹣1+2n﹣1，累加可得an=a1+2+21+22+…+2n﹣1=2+=2n，当n=1时，也满足，故{an}的通项公式an=2n，（n∈N*）【点评】本题考查等比数列的通项公式、用递推式、累加法求通项公式等知识，属中档题．19.已知函数f（x）=alnx+x2﹣ax（a为常数）．（Ⅰ）试讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）有两个极值点分别为x1，x2．不等式f（x1）+f（x2）＜λ（x1+x2）恒成立，求λ的最小值．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数f（x）的导数，通过讨论a的范围，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）根据f（x1）+f（x2）=a（lna﹣a﹣1），得到=lna﹣a﹣1，a∈（4，+∞），令φ（a）=lna﹣a﹣1，根据函数的单调性求出λ的最小值即可．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=+x﹣a=（x＞0），①当a＜0时，解f′（x）=0得，x=，f（x）的单调减区间为（0，），单调增区间为（，+∞）；

②当0≤a≤4时，x2﹣ax+a=0的△=a2﹣4a≤0，所以f′（x）≥0，f（x）的增区间为（0，+∞），无减区间；

③当a＞4时，△=a2﹣4a＞0，解f′（x）=0得，x1，2=，f（x）的单调增区间为（0，），（，+∞），单调减区间为（，）．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f（x）有两个极值点时，设为x1，x2，则a＞4，x1+x2=a，x1x2=a故f（x1）+f（x2）=alnx1+﹣ax1+alnx2+﹣ax2=aln（x1x2）+（+）﹣a（x1+x2）=aln（x1x2）+（x1+x2）2﹣x1x2﹣a（x1+x2）=a（lna﹣a﹣1）于是=lna﹣a﹣1，a∈（4，+∞）．令φ（a）=lna﹣a﹣1，则φ′（a）=﹣．因为a＞4，所以φ′（a）＜0．于是φ（a）=lna﹣a﹣1在（4，+∞）上单调递减，因此=φ（a）＜φ（4）=ln4﹣3．且可无限接近ln4﹣3．又因为x1+x2＞0，故不等式f（x1）+f（x2）＜λ（x1+x2）等价于＜λ，所以λ的最小值为ln4﹣3．20.（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，是上一点.（1）求椭圆的方程；（2）设是分别关于两坐标轴及坐标原点的对称点，平行于的直线交于异于的两点，点关于原点的对称点为，证明：直线与轴围成的三角形是等腰三角形.参考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.（2）由题设知的坐标分别为.因此直线的斜率为.设直线的方程为：.由得：，当时，不妨设，于是，，分别设直线的斜率为，则，则要证直线与轴围成的三角形是等腰三角形，只需证，而，所以直线与轴围成的三角形是等腰三角形.考点：1、椭圆的标准方程；2、直线与椭圆的位置关系.21.（本题满分14分）本题共有2小题，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分．为了保护环境，某工厂在国家的号召下，把废弃物回收转化为某种产品，经测算，处理成本（万元）与处理量（吨）之间的函数关系可近似的表示为：，且每处理一吨废弃物可得价值为万元的某种产品，同时获得国家补贴万元．（1）当时，判断该项举措能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，请求出国家最少补贴多少万元，该工厂才不会亏损？（2）当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？

参考答案：（1）根据题意得，利润和处理量之间的关系：

…………2分，.∵，在上为增函数，可求得.

………………5分∴国家只需要补贴万元，该工厂就不会亏损．

………………7分（2）设平均处理成本为

………………9分，

……………11分当且仅当时等号成立，由得．因此，当处理量为吨时，每吨的处理成本最少为万元．

…………14分22.如图，在四棱锥B-ACDE中，正方形ACDE所在平面与正△ABC所在平面垂直，M，N分别为BC，AE的中点，F在棱CD上．(1)证明：MN∥平面BDE．(2)已知，点M到AF的距离为，求三棱锥的体积．参考答案：(1)证明见解析；(2)【分析】（1）取中点，连接，；根据线面平行的判定定理可分别证得平面和平面；根据面面平行判定定理得平面平面，利用面面平行性质可证得结论；（2）根据面面垂直性质可知平面，由线面垂直性质可得；根据等边三角形三线合一可知；根据线面垂直判定定理知平面，从而得到；设，表示出三边，利用面积桥构造方程可求得；利用体积桥，可知，利用三棱锥体积公式求得结果.【详解】（1）取