湖南省岳阳市华容第一中学2022年度高三数学文下学期期末试题含解析

湖南省岳阳市华容第一中学2022年度高三数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若函数的图象在上恰有一个极大值和一个极小值,则的取值范围是(

)A.

B.

C.

D.参考答案：D2.函数在[－2,2]上的图象大致为（

）A. B. C. D.参考答案：A【分析】根据函数的特点，结合选项的图象特征，利用特殊值进行验证排除确定.【详解】因，排除B，D.又因为，排除C.故选：A【点睛】本题主要考查函数的图象，还考查了理解辨析，特殊法应用的能力，属于中档题.3.已知则（

）高考资源网A.

B.

C.

D.参考答案：D略4.已知二次函数的导函数为，且＞0，的图象与x轴恰有一个交点，则的最小值为()参考答案：C略5.已知向量，，则是的（

）条件

A．充分不必要

B．必要不充分

C．充要

D．既不充分也不必要参考答案：B因为向量中有可能为零向量，所以时，推不出。若，所以，所以是的必要不充分条件.6.（5分）若x，y满足约束条件：；则x﹣y的取值范围为（）A．[0，3]B．[0，]C．[﹣，0]D．[﹣3，0]参考答案：D【考点】：简单线性规划．【专题】：不等式的解法及应用．【分析】：由约束条件作出可行域，令z=x﹣y，化为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．解：由约束条件作出可行域如图，令z=x﹣y，则y=x﹣z，联立，得．∴B（1，1），又C（0，3），由图可知，当直线过B时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为0；当直线过C时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为﹣3．∴x﹣y的取值范围为[﹣3，0]．故选：D．【点评】：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．7.设则以线段AB为直径的圆的方程是（

）A. B.C. D.参考答案：A【分析】计算的中点坐标为，圆半径为，得到圆方程.【详解】的中点坐标为：，圆半径为，圆方程为.故选：.【点睛】本题考查了圆的标准方程，意在考查学生的计算能力.8.若p、q为两个命题，则“pq”为真是“pq”为真的A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：B9.能够把圆:的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆的“和谐函数”，下列函数不是圆的“和谐函数”的是

A．B．

C．

D.参考答案：D略10.设复数Z满足（2+i）·Z=1－2i3，则复数对应的点位于复平面内

（

）A第一象限

B第二象限

C第三象限

D第四象限参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数

．参考答案：012.已知，，则的值为

参考答案：略13.直线截圆所得的劣弧所对的圆心角为，则实数

．参考答案：14.某学生对函数的性质进行研究，得出如下的结论：①函数在上单调递增，在上单调递减；②点是函数图象的一个对称中心；③函数图象关于直线对称；④存在常数，使对一切实数均成立．其中正确的结论是__________.(填写所有你认为正确结论的序号)参考答案：【知识点】函数的单调性与最值函数的奇偶性与周期性B3B4

【答案解析】④

f（x）=2x?cosx为奇函数，则函数f（x）在[-π，0]，[0，π]上单调性相同，所以①错．由于f（0）=0，f（π）=-2π，所以②错．再由f（0）=0，f（2π）=4π，所以③错．|f（x）|=|2x?cosx|=|2x|?|cosx|≤2|x|，令M=2，则|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立，所以④对．故答案为：④．【思路点拨】由函数是奇函数可得函数f（x）在[-π，0]，[0，π]上单调性相同，所以①错；通过给变量取特殊值，举反例可得②③不正确；令M=2，则|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立，所以④对．15.已知函数，若关于x的方程有且只有四个不相等的实数根，则实数k的取值范围是__ __．参考答案：（，）略16.命题p：?x0∈R，x02+2x0+1≤0是命题（选填“真”或“假”）．参考答案：真．【分析】举出正例x0=﹣1，可判断命题的真假．【解答】解：x2+2x+1=0的△=0，故存在?x0=﹣1∈R，使x02+2x0+1≤0成立，即命题p：?x0∈R，x02+2x0+1≤0是真命题，故答案为：真．17.（选修4-1：几何证明选讲）如图所示，圆的直径，为圆周上一点，，过作圆的切线，过作的垂线，垂足为，则

▲

．参考答案：30o

略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分14分）已知函数.(Ⅰ)当时，求函数的单调区间和极值；（Ⅱ）若在上是单调增函数，求实数a的取值范围.参考答案：解析：(I)易知，函数的定义域为.

………1分当时，.

………3分当x变化时，和的值的变化情况如下表：

x（0,1）1（1，+∞）－0＋递减极小值递增………5分由上表可知，函数的单调递减区间是（0,1）、单调递增区间是（1，+∞）、极小值是.

………7分(II)由，得.

………9分若函数为上的单调增函数，则在上恒成立，即不等式在上恒成立.也即在上恒成立.………11分令，则.当时，，在上为减函数，.

………………13分所以.∴的取值范围为.19.如图所示的“相邻塔”形立体建筑，已知P﹣OAC和Q﹣OBD是边长分别为a和的两个正四面体，底面中AB与CD交于点O，试求出塔尖P，Q之间的距离关于边长a的函数，并求出a为多少时，塔尖P，Q之间的距离最短．参考答案：【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】过点P作底面OAC的垂线交底面OAC于点O1，过点Q作底面OBD的垂线交底面OBD于点O2，连结O1O2，则四边形PO1O2Q是直角梯形，由此能求出当a=时，塔尖P，Q之间的距离最短．【解答】解：如图，过点P作底面OAC的垂线交底面OAC于点O1，过点Q作底面OBD的垂线交底面OBD于点O2，连结O1O2，则O1，O2，O三点共线，且PO1∥QO2，则四边形PO1O2Q是直角梯形，在Rt△OPO1中，OP=a，OO1==，则PO1=，同理，得OO2=，QO2=，则PQ===，PQ=≥=（，当a=时，等号成立），则当a=时，塔尖P，Q之间的距离最短．20.（本小题满分14分）在正三棱柱ABC－A1B1C1中，点D是BC的中点．

（1）求证：A1C∥平面AB1D；

（2）设M为棱CC1的点，且满足BM⊥B1D，

求证：平面AB1D⊥平面ABM．参考答案：证明：(1)记A1B∩AB1＝O，连接OD.∵四边形AA1B1B为矩形，∴O是A1B的中点，又∵D是BC的中点，∴A1C∥OD.

………2分又∵A1C平面AB1D，OD平面AB1D，∴A1C∥平面AB1D.

………6分注意：条件“A1C平面AB1D，OD平面AB1D”少写一个扣除2分，两个都不写本小步4分扣完！(2)∵△ABC是正三角形，D是BC的中点，∴AD⊥BC.

………8分∵平面ABC⊥平面BB1C1C，

平面ABC∩平面BB1C1C＝BC，AD平面ABC，∴AD⊥平面BB1C1C.

【或利用CC1⊥平面ABC证明AD⊥平面BB1C1C.】

………10分∵BM平面BB1C1C，∴AD⊥BM.

………12分又∵BM⊥B1D，AD∩B1D＝D，AD,B1D平面AB1D，

∴BM⊥平面AB1D.又∵BM平面ABM，∴平面AB1D⊥平面ABM．

………14分21.等腰△ABC，E为底边BC的中点，沿AE折叠，如图，将C折到点P的位置，使二面角P﹣AE﹣C的大小为120°，设点P在面ABE上的射影为H．（I）证明：点H为BE的中点；（II）若AB=AC=2，AB⊥AC，求直线BE与平面ABP所成角的正切值．参考答案：【考点】直线与平面所成的角．【分析】（I）证明：∠CEP为二面角C﹣AE﹣P的平面角，则点P在面ABE上的射影H在EB上，即可证明点H为EB的中点；（II）过H作HM⊥AB于M，连PM，过H作HN⊥PM于N，连BN，则有三垂线定理得AB⊥面PHM．即面PHM⊥面PAB，HN⊥面PAB．故HB在面PAB上的射影为NB，∠HBN为直线BE与面ABP所成的角，即可求直线BE与平面ABP所成角的正弦值．【解答】（I）证明：依题意，AE⊥BC，则AE⊥EB，AE⊥EP，EB∩EP=E．∴AE⊥面EPB．故∠CEP为二面角C﹣AE﹣P的平面角，则点P在面ABE上的射影H在EB上．由∠CEP=120°得∠PEB=60°．…（3分）∴EH=EP=EB．∴H为EB的中点．…（6分）（II）解：过H作HM⊥AB于M，连PM，过H作HN⊥PM于N，连BN，则有三垂线定理得AB⊥面PHM．即面PHM⊥面PAB，∴HN⊥面PAB．故HB在面PAB上的射影为NB．∴∠HBN为直线BE与面ABP所成的角．…（9分）依题意，BE=BC=2，BH=BE=1．在△HMB中，HM=，在△EPB中，PH=，∴在Rt△PHM中，HN=．∴sin∠HBN=，tan∠HBN=．…（12分）【点评】本题考查线面垂直，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．22.已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|（1）当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；（2）若f（x）≤|x﹣4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．参考答案：【考点】绝对值不等式的解法；带绝对值的函数．【专题】计算题；压轴题．【分析】（1）不等式等价于，或，或，求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．（2）原命题等价于﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立，由此求得求a的取值范围．【解答】解：（1）当a=﹣3时，f（x）≥3即|x﹣3|+|x﹣2|≥3，即①，或②，或③．解①可得x≤1，解②可得x∈?，解③可得x≥4．把①、②、