数学建模投资问题

投资的收益与险问题摘对市场上的多种风险资产和一种无风险资存银行进组合投资策略的设计需要考虑两个目标：总体收益尽可能大和总体风险尽可能小，而这两个目标在一定意义上是对立的。本文我们建立了投资收益与风险的双目标优化模型最大化策略风险使收益最大将原模型简化为单目标的线性规划模型一；在保证一定收益水平下，以风险最小为目标，将原型简化为了极小极大规划模型二；以及引入收益——险偏好系数，将两目标加权，化原模型为目标非线性模型模型三后分别用的内部函数linprog对同的风险水平，收益水平，以及偏好系数求解三个模型。关键词：组合投资，两目标优化模型，风险偏好

2.题述分3.市场上有种资产（如股票、债券、…）(供投者选择，某公司有数额为

的一笔相当大的资金可用作一个时期的投资。公司财务分析人员对这种产进行了评估，估算出在这一时期内购买的均收益率为，预测出购买的险损失率为。虑到投资越分散，总风险越小，公司确定，当用这笔资金购买若干种资产时，总体风险可用所投资的中大的一个风险来度量。购买要交易费，费率为，且当购买额不超过给定值时，交易费按购买计算（不买当然无须付费）。另外，假定同期银行存款利率是,且既无交易费又无风险。（

）1、已知

时的相关数据如下：资产

收益率(%)

风险率

交易费(%)

阀值(元)(%)28212325

2.51.55.52.6

124.56.5

1031985240试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定的资金

，有选择地购买若干种资产或存银行生息，使净收益尽可能大，而总体风险尽可能小。2、试就一般情况对以上问题进讨论，并利用以下数据进行计算。资产

收益率(%)

风险率

交易费(%)

阀值(元)(%)9.618.549.423.98.114

425460421.239

2.13.26.01.57.63.4

181407428549270397

i0iiiii0iiii0iiiii0iiii01n31.233.636.811.89359.415

6833.453.340315.5465.323

5.63.12.72.95.15.72.74.57.6

178220475248195320267328131本题需要我们设计一种投资组合方案，使收益尽可能大，而风险尽可能小。并给出对应的盈亏据，以及一般情况的讨论。这是一个优化问题，要决策的是每种资产的投资额，要达到目标包括两方面的要净收益最大和总风险最低，即本题是一个双优化的问题，一般情况下，这两个目标是矛盾的，因为净收益越大风险也会随着增加，反之也是一样的，所以，我们很难或者不可能提出同时满足这两个目标的决方案，我们只能做到的是：在收益一定的情况下，使得风险最小的决策，或者在风险一定的情况，使得净收益最大，或者在收益和风险按确定好的偏好比例的情况下设计出最好的决策方案，这的话，我们得到的不再是一个方案，而是一个方案的组合，简称组合方案。设购买（….n;S表存入银行金为;支付的交易费为x)，：c()uiiiixii

xiixii

i

i2,L,n,c(x)0对S投的净收益:

(xrx)iiiiii

（i＝，1，…，）对S投的风险:

xqxiii

i

（＝01，…n=0对投所需资金（即购买金额与需的手续费c(x之）是fxxxiiiii

（i＝0，1…）投资方案用x=，x，…，）表示，那么，净收益总额为：

x)R(x)iii总风险为：Q(x

=

min

ii所需资金为：nF(xf()iii所以，总收益最大，总风险最小的双目标优化模型表示为：)(xMx0但是像这样的双目标模型用一般的方法很难求解出来的，所以经过分析把次模型转化为三种较单的单目标模型。3.设模假设该公司在这一时期内是一次性投资；除交易费和投资费用外再无其他的费用开支；在这一期市场发展基本上是稳定的；外界因素对投资的资产无较大影响；无其他的人为干预；社会政策较大变化；公司的经济发展对投资无较大影响资产投资是在市场中进行的，市场是复杂多变的，无法用数量或函数进行准确描述的此以上的假设是必要的般说来物价变化具有一定的周期性，社会政策也并非天天改变，公司自身的发展在稳定的情况下才会用额外的资金进行较大的风险投资，市场社会的系统发展在一个时期内是良性的、稳定的，以上假设也是合理的。3.1模型假设投资的风险水平是即要求总风险Q（）限制在k内Q）RQ,x0s.t

k

，则模型可转化为：

iiiiiiinnniiiiiiinnnni假设投资的收益水平是，即净收益总额

()

不少于h

()

≥，则模型可转化为：minQ()s.t

(hF(x)Mx3.3模型假设投资者对风险和收益的相对偏好参数为0模型可转化为：min

()()s.t.

FM,03.4模求及析由于交易费(x)是分段函数使上述模型中的目标函数或约束条件相对比较复杂一非线性规划问题，难于求但意到总资额M相大，一旦投资资产，其投资额x一都会超过，是交易费(x)简化为线性函数c(x)piii

i从而，资金约束简化为F()f(x)xiiiiii净收益总额简化为R(x()r()]rpiiiiiiiiiiii在实际进行计算时，可设M=1，时y

i

=（

1p

）xii

（＝，1…n可视作投资S的比例

nn以下的模型求解都是在上述两个简化条件下进行讨论.1）型a的解nn模型a的束条件(x)k即Q(Q()x)iiii0所以此约束条件可转化为

≤k，xii这时模型a可简为如下的线性规划问题：

（＝，，…，n）rpiiiix,iL,niii

p)xii具体到n=4的形，按投资的收益和风险题中题中给定的数据，模型为：maxx0.19x0.18503

4,0.015xx,0.02614xx1.02x0（i＝0，1…，4）023i利用matlab7.1求模型a输出结果是{x0->0.158192,->->0.0909091,x4->0.192308}}这说明投资方案为（0.158192，0.2，0.333333，），以得总体风险不超过0.005的最大收益是M当k取同的值险收益的关系图1.输出结果列表如下：表1模1的算结果风险水平

最大收益

00.0010.0020.0030.0040.0050.0070.0080.0090.010.0110.0120.0130.0140.0150.0160.0170.0180.0190.020.0210.0220.0230.0240.025

0.050.07550.10110.12660.15210.17760.20660.21120.21550.2190.22230.22560.22880.23210.23540.23870.24190.24520.24850.25180.2550.25830.26160.26490.2673

10.83160.66330.49490.32660.15820000000000000000000

00.040.080.120.160.20.280.320.360.40.440.480.520.560.60.640.680.720.760.80.840.880.920.960.9901

00.06670.13330.20.26670.33330.46670.53330.60.58430.54470.50510.46550.42590.38630.34670.30710.26750.22780.18820.14860.1090.06940.02980

00.01820.03640.05450.07270.09090.12730.12710.02330000000000000000

00.03850.07690.11540.15380.19230.1016000000000000000000

214ii1nnn214ii1nnnnn50.30.250.2益收0.150.10.05

00.0050.01

0.0150.020.025风险a图1模型1中风k与益的关结合图1于险和收益没有特殊偏好的投资者来说该选择图中曲线的拐0.2019这时对的资比例见表1的体所示。从表中计算结果可以看出，对低风险水平，除了存入银行外，投资首选风险率最低的，然后是S和，收益较低；对高风险平，总收益较高，投资方向是选择净收益率–p）大的S和S．些与人们的经验是一的，这里给出了定量的结果．2）型的解模型本是极小大规划：minx)iis.t.

r)iii

≥h

(1p)xii

≥0但是，可以引进变量

=

iii0

i，将它改写为如下的线性规划：min(x)ns.t

xii

i=0,1,2,n

r)xiii

≥h,

(1ii

x≥0i

i具体到n=4的形，按投资的收益和风险题中题中给定的数据，模型为：minx

s.t

0.025xxxxxx13540.05x0.27xx0.185x,014

5x1.01x1.021.065xx0234i

（i＝，，…，5利用matlab7.1求模型b，当h取同的值（们算最小风险和最优决策,益水平h取，果如表2所示，风险和收益的关系见图2.从表2看，对低收益水平，除存入银行外，投资首选风险率最低的资产，后是

和，收益当然较低。对高收益水平，总风险自然也高，应首选净收益率（

）最大的

和

。这些与人们的经验是一致的。表2模2的算结果风险水平

最大收益0.0020.00240.00270.00310.00350.00390.00430.00470.00510.00550.00780.01030.01340.01640.0195

0.10.110.120.130.140.150.160.170.180.190.210.220.230.240.25

0.67020.60430.53830.47240.40640.34050.27450.20860.14260.076700000

0.07830.0940.10970.12540.1410.15670.17240.1880.20370.21940.31140.4120.53410.65630.7784

0.13060.15670.18280.20890.2350.26120.28730.31340.33950.36560.5190.57250.45150.33050.2096

0.03560.04270.04990.0570.06410.07120.07830.08550.09260.09970.05690000

0.07530.09040.10550.12050.13560.15070.16570.18080.19590.21090.09080000

n+1nn+1n0.250.20.150.10.0020.0040.0060.0080.010.012风险

0.0140.0160.0180.02图2模型2中风与收益h的关结合图，对于风险和收益没有特殊偏好的投资者来说，应该选择图中曲线的拐点0.059，0.2这时对的资比例见表2的体所示。3）型求类似模型的解，我们同样引进变量x=

ii0

，将它改写为如下的线性规划：minρx–（–）

ni

r)iiis.t

qxii

n

i=0，，…，

n

(1p)xii

≥i具体到n=4的形，按投资的收益和风险题题中给定的数据，模型为：min

xx0.185x)234s.t

0.025xxxxx5535,4

x1.01x1.02xxx0023i

（i＝，1，…，）利用求解模型c，当ρ取不同的值0.75~0.95们算最小风险最优决策输出结果列表如下：

表3模3的算结果风险水平最收益率0.760.77

0.02480.0248

0.26730.2673

00

0.99010.9901

00

00

000.780.79

0.00920.0092

0.21650.2165

00

0.36930.61470.36920.6148

00

000.80.81

0.00790.0092

0.21070.2165

00

0.31510.52180.14310.36870.61540

000.820.830.840.850.860.870.880.890.90.910.920.93

0.00740.00790.0060.0060.00620.00660.00590.0060.0060.00590.00590.0059

0.20840.21060.20170.20160.20260.20450.20170.20170.20180.20170.20160.2016

000000000000

0.29570.49280.13440.05470.31390.52350.142500.23860.39730.10820.2260.23750.39670.10840.22750.24680.41130.07530.23720.26530.44220.00880.25520.23790.39640.10780.22790.2390.39370.10790.22940.23920.3980.10290.22990.2380.39580.10750.22870.23760.39610.1080.22840.23750.39630.1080.22820.940.950.960.97

0.00610.00590.00170.0054

0.18470.1350.24360.33090.11060.15570.201600.23760.3960.1080.22850.09160.72560.06520.10650.03020.06410.18480.1140.21410.35640.09740.192

从图5可看出，模型3的险收益关系与模型1和模型的结几乎完全一致。0.280.260.240.220.2益收

0.180.160.140.120.10.08

00.0050.01

0.0150.020.025风险图3模型3中风险与收益的系0.0250.020.015险风0.010.00500.750.80.850.9偏好

0.951图4模3中险与偏好系数的系

益收

0.280.260.240.220.20.180.160.140.120.10.080.750.80.850.9偏好

0.951图5模型3中益与偏好系数的系四模评价与推广本文我们建立了投资收益与风险的双目标优化模型，通过控制风险使收益最大，保证收益使风最小，以及引入收益——风险偏好系数，将两目标模型化为了单目标模型，并使用matlab7.1求解所得结果具有一定的指导意义。但是，本文没有讨论收益和风险的评估方法，在实际应用中还存在资产相关的情形，此时，用大风险代表组合投资的风险未必合理，因此，对不同风险度量下的最优投资组合进行比较研究是一步的改进方向。五

总结历经两周的时间终于完成了这次课设，在这次实践课程中，我真的遇到了不少的问题，在同学老师的帮助以及在图书馆和网站搜集资料，解决了所有遇到的问题。尤其在问题分析的过程中是难度最大也是问题最多的环节，感觉总是把问题分析的不够全面透彻，经常顾及这个方面而忽了另一方面，最后我请教了同学，终于完成了问题分析并且建立了模型。在完成这一环节后，接来的任务都是我独立完成，也遇到了不少的困难，但都是较易解决的。通过这次实践，我确实学了不少，学会了使用，也知道了分析问题的方法。六考文献[1]MATLAB程设计与实例应用。张铮等。北京：中国铁道出版社2003.10运筹—方法与应用。吴风平。南京：河海大学出版社2000.12《数学模型及方法火林主编。江西高校出版社1997.10

数学建模教育及竞赛。甘筱青主编。南昌：江西高校版社2004.6[5]萧铁，面向21世纪课程教材：大学数学数学实验北京：高等教育出版社赫孝良红等编著建模竞赛题简析与论文点评交通大学出版社陈叔平，谭永基，一类投资组合问题的建模与分析，学的实践与认识）7，1999.七附录functionresult=qiujie()为表格数据1.55.5522.640];42543.2407606.0428421.55498.17.6270685.617833.453.340248311955.7320462.79.45.34.5237.6131];

00增加存银行r=data(:,1);%%型一求解%result=[];%fora=0:0.01:0.5%result=[result;moxing1(r,q,p,a)];%%result=round(result.*10000)./10000;%%gridon%xlabel('险)%yl