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文档简介
第三讲
柯西不等式与排序不等式.
一二维形式的柯西不等式.若a,b,c,d都是实数,则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2当且仅当ad=bc时,等号成立.定理1（二维形式的柯西不等式）:你能证明吗？.推论.向量形式：.设α,β是两个向量,则当且仅当β是零向量,或存在实数k,使α=kβ时,等号成立.定理2:（柯西不等式的向量形式）.xyP1(x1,y1)P2(x2,y2)0xyP1(x1,y1)P2(x2,y2)0根据两点间距离公式以及三角形的边长关系:观察.定理３（二维形式的三角不等式）设，那么.例题例1.已知a,b为实数,证明：(a4+b4)(a2+b2)≥(a3+b3)2..例3.设a,b∈R+,a+b=1,求证.练习：.作业第37页,第1,5,6题.
二一般形式的柯西不等式.(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2二维形式的柯西不等式）:三维形式的柯西不等式）:n维形式的柯西不等式）:.定理设是实数，则当且仅当(i=1,2,…,n)或存在一个数k使得(i=1,2,…,n)时等号成立。以上不等式称为一般形式的柯西不等式。.一般形式的三角不等式.例1已知都是实数，求证：.例2已知a,b,c,d是不全相等的正数，证明：>ab+bc+cd+da..例3已知x+2y+3z=1,求的最小值。.例4：设a、b、c为正数且各不相等。求证：
又a、b、c各不相等，故等号不能成立∴原不等式成立。.例5若a>b>c求证：∴.例6：若求证：分析：左端变形∴只需证此式即可
.
三排序不等式.反序和≤乱序和≤顺序和.例1：有10人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满第i(i=1,2,…,10)个人的水桶需要ti分，假定这些ti各不相同。问：只有一个水龙头时，应该如何安排10人的顺序，使他们等候的总时间最少？这个最少的总时间等于多少？.解：总时间(分）是10t1+9t2+…+2t9+t10根据排序不等式，当t1<t2<…<t9<t10时，总时间取最小值。即：按水桶的大小由小到大依次接水，则10人等候的总时间最少。最少的总时间是:10t1+9t2+…+2t9+t10.例2设a1,a2,…,an是n个互不相等的正整数，求证：.证明：设b1,b2,…,bn是a1,a2,…an的一个排列，且有b1<b2<…<bn因为b1,b2,…,bn是互不相等的
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