第3章 区间估计和假设检验

1第三章区间估计和假设检验目录

区间估计和假设检验

§3.1正态总体的均值、方差的区间估计§3.2均值、方差的假设检验§3.3非参数秩和检验3.3.1配对的符号检验3.3.2

成组数据的秩和检验§3.4正态性检验返回2区间估计和假设检验

利用样本的信息对总体的特征进行统计推断，是统计学要解决的主要问题之一。它通常包括两类方面：一类是进行估计，包括参数估计、分布函数的估计以及密度函数的估计等；另一类是进行检验。在这里，首先利用SAS提供的MEANS、UNIVARIATE和TTEST等过程对应用广泛的正态总体参数进行区间估计和假设检验，其次再来介绍对观测数据的正态性进行检验，最后介绍一些常用的非参数检验方法。

本章目录3区间估计和假设检验

1正态总体的均值、方差的区间估计

区间估计是通过构造两个统计量，能以的置信度使总体的参数落入区间中，即。其中称为显著性水平或检验水平，通常取或；分别称为置信下限和置信上限

本章目录4区间估计和假设检验

1正态总体的均值、方差的区间估计

对于单个子样而言，设是取自的一个样本；对两个子样而言，设，是分别取自和的样本（分别为二者的样本方差），则有如下结论

5区间估计和假设检验

1正态总体的均值、方差的区间估计

待估参数置信下限置信上限备注单个子样

已知

未知

已知

未知本章目录6区间估计和假设检验

1正态总体的均值、方差的区间估计

待估参数置信下限置信上限

备注两个子样

已知

未知

未知本章目录7区间估计和假设检验

1正态总体的均值、方差的区间估计

1正态总体的均值、方差的区间估计注：，，，分别表示标准正态分布，（自由度为），-分布（自由度为），分布（自由度为）的上分位点。本章目录8区间估计和假设检验

1正态总体的均值、方差的区间估计

例1设某厂一车床生产的钮扣，其直径据经验服从正态，。为了判断其均值的置信区间，现抽取容量n=100的子样，其子样均值=26.56，求其均值的95%的置信区间.本章目录9区间估计和假设检验

1正态总体的均值、方差的区间估计

SAS程序为:dataval1;xbar=26.56;sigma=5.2;n=100;u=probit(0.975);delta=u*sigma/sqrt(n);lcl=xbar-delta;ucl=xbar+delta;Run;procprintdata=val1;varlclxbarucl;run;本章目录10区间估计和假设检验

1正态总体的均值、方差的区间估计

SAS程序为其输出结果为:

LCLXBARUCL25.540826.5627.5792即总体均值的95%的置信区间为[25.5408，27.5792]；本章目录11区间估计和假设检验

1正态总体的均值、方差的区间估计

例2检验某种型号玻璃纸的横向廷伸率。测得的数据如下

横向廷伸率%35.537.539.541.543.545.547.549.551.553.555.557.559.561.563.5频数

7811991217145320201现在要检验假设，并求出其95%的置信区间。

本章目录12区间估计和假设检验

1正态总体的均值、方差的区间估计

SAS程序为：datavar22;inputxfx@@;y=x-65;cards;35.5737.5839.51141.5943.5945.51247.51749.51451.5553.5355.5257.5059.5261.5063.51;procmeansdata=var22tprtclm;vary;freqfx;run;CLM表示要输出95%置信区间

本章目录13区间估计和假设检验

1正态总体的均值、方差的区间估计

输出结果：

分析变量

:Y

T-统计量

Prob>|T|95.0%置信下界

95.0%置信上界---------------------------------------------------------------------34.29<.0001-21.0939999-18.7860001-------------------------------------------------------------------据此则得出结论，该批玻璃纸没有达到横向廷伸率的指标。本章目录14区间估计和假设检验

1正态总体的均值、方差的区间估计

例3

已知某次试验中测量不同性别的测试者的脂肪含量，问不同性别人的脂肪含量是否相同？（数据见程序）本章目录15区间估计和假设检验

1正态总体的均值、方差的区间估计

SAS程序为：databodyfat;inputsex$fatpct@@;cards;男13.3女22男19女26男20女16男8女12男18女21.7男22女23.2男20女21男31女28男21女30男12女23男16男12男24;PROCTTESTDATA=BODYFAT;CLASSSEX;VARFATPCT;RUN;

本章目录16区间估计和假设检验

1正态总体的均值、方差的区间估计

其输出结果如下：

T-TestsVariableMethodVariancesDFtValuePr>|t|fatpctPooledEqual21-1.700.1031fatpctSatterthwaiteUnequal20.5-1.730.0980

EqualityofVariancesVariableMethodNumDFDenDFFValuePr>FfatpctFoldedF1291.290.7182本章目录其结论为：所测不同性别的人的脂肪含量没有显著差别。17区间估计和假设检验

1正态总体的均值、方差的区间估计

本章目录注：例3的数据特点是独立组样本，检验方法是T检验。独立组样本T检验要求数据符合以下3个条件：（1）观察值之间是独立的；（2）每组观察值是来自正态分布的总体；（3）两个独立组的方差相等。18区间估计和假设检验

1正态总体的均值、方差的区间估计

本章目录注：采用PROCCHART过程对独立组样本画直方图直方图有两种形态：垂直条形图和水平条形图，下面对例3画水平条形图，SAS程序为：databodyfat;inputsex$fatpct@@;cards;男13.3女22男19女26男20女16男8女12男18女21.7男22女23.2男20女21男31女28男21女30男12女23男16男12男24;PROCCHARTDATA=BODYFAT;

hbarfatpct/group=sex;title“两组独立样本的水平条形图”;RUN;19区间估计和假设检验

1正态总体的均值、方差的区间估计

运行结果为：20区间估计和假设检验

1正态总体的均值、方差的区间估计

例4

假定初生婴儿（男孩）的体重服从正态分布，随机抽取12名新生婴儿，测其体重为3100，2520，3000，3000，3600，3160，3560，3320，2880，2600，3400，2540。试给出新生婴儿体重方差的置信区间（置信度为95%）。

本章目录21区间估计和假设检验

1正态总体的均值、方差的区间估计

例4

SAS程序为dataval2;inputweight@@;cards;310025203000300036003160356033202880260034002540;procmeansdata=val2;outputout=tval1css=ssn=n;Run;datatval2;settval1;df=n-1;xlchi=cinv(0.025,df);xuchi=cinv(0.975,df);lchi=ss/xuchi;uchi=ss/xlchi;Run;procprintdata=tval2;varlchiuchi;run;本章目录22区间估计和假设检验

1正态总体的均值、方差的区间估计

输出结果如下：

LCHIUCHI70687.19406071.51即方差的置信区间为：[70687.19，

406071.51]本章目录23区间估计和假设检验

假设检验是从样本特征出发去判断关于总体分布的某种“看法”是否成立。

一般步骤为

:2均值、方差的假设检验（1）根据问题提出一个原假设H0和备择假设H1（2）构造一个统计量T，其抽样分布不依赖任何参数（3）计算概率值

（4）判断：若，则拒绝原假设H0，否则接受H1。本章目录24区间估计和假设检验

2均值、方差的假设检验

单正态总体的参数的假设检验本章目录25区间估计和假设检验

2均值、方差的假设检验

单正态总体的参数的假设检验本章目录26区间估计和假设检验

2均值、方差的假设检验

两正态总体的参数的假设检验本章目录27区间估计和假设检验

2均值、方差的假设检验

两正态总体的参数的假设检验本章目录28区间估计和假设检验

2均值、方差的假设检验

两正态总体的参数的假设检验本章目录29区间估计和假设检验

2均值、方差的假设检验

本章目录30区间估计和假设检验

2均值、方差的假设检验

假设检验与区间估计的关系本章目录31区间估计和假设检验

2均值、方差的假设检验

例5设某厂一车床生产的钮扣，其直径据经验服从正态，。为了判断其均值的置信区间，现抽取容量n=100的子样，其子样均值=26.56，请检验假设是否成立：本章目录32区间估计和假设检验

2均值、方差的假设检验

例5SAS程序dataval3;xbar=26.56;mu=26;sigma=5.2;n=100;u=sqrt(n)*abs(xbar-mu)/sigma;p=2*(1-probnorm(u));Run;

procprintdata=val3;varup;run;本章目录33区间估计和假设检验

2均值、方差的假设检验

结果

UP1.076920.28151表明在0.05显著性水平下接受原假设。本章目录34区间估计和假设检验

2均值、方差的假设检验

例6方差的假设检验

本章目录35区间估计和假设检验

2均值、方差的假设检验

这事实上是一个单侧检验问题。因为车床的精度不会自动提高，最多只能保持原来的水平，其备择假设则是车床的精度下降。

本章目录36区间估计和假设检验

2均值、方差的假设检验

SAS程序为：dataval4;inputxfx@@;cards;10.1110.3310.6711.21011.5611.83121;procmeansdata=val4;varx;freqfx;outputout=tval1css=ssn=n;Run;datatval2;settval1;sigma=0.18;df=n-1;chi=ss/sigma;p=1-probchi(chi,df);Run;procprintdata=tval2;varchip;run;本章目录37区间估计和假设检验

2均值、方差的假设检验

结果为：

CHIP44.45520.043345

在0.05显著性水平下拒绝原假设，接受备择假设，即认为该车床经过一段时间的使用后，其精度有所下降。本章目录38区间估计和假设检验

2均值、方差的假设检验

例7成对组数据的t检验和区间估计

设某个班级20名学生参加了两次课程的考试（成绩在下面的程序中），现想知道两次考试的难度是否相同？本章目录注：成对组数据的比较是指在某个观察值内部进行“以前”和“以后”情况的对比，比如某人减肥前后的体质对比，某企业技术革新前后的产值利润对比等；成对组数据的比较第一步是计算成对组的差值，第二步是分析差值，第三步检验。39区间估计和假设检验

2均值、方差的假设检验

datasta;inputstudentexam1exam2@@;

scordiff=exam2-exam1;cards;193982887438967488925678368990783748949798996105581118883129194138589147078159096169093179481186781198793208391;procmeansdata=statprtclm;varscordiff;run;

本章目录过程步的另一种方法：procUnivariatedata=sta;varscordiff;run;

MEANS过程中的选择项tprtclm求出t值、概率值及置信上下限40区间估计和假设检验

2均值、方差的假设检验

MEANS输出结果如下：

本章目录结论：从而可看出，这两次考试的难度相当。

Univariate输出结果如下：

41区间估计和假设检验

在前面的假设检验中，总是假定样本来自正态分布（即某一已知分布），且总是对正态分布的参数进行假设检验，故称此法为参数假设检验。然而在实际中，总体的分布往往很难确定，故用参数检验有其局限性，因而产生另一类不依赖于分布的假设检验方法，即非参数假设检验，其检验也不是对参数进行比较，而是用于分布间的比较。非参数检验方法很多，这里只讲用于配对资料的符号检验和用于两个样本间比较的Wilcoxon秩和检验（多样本间比较则为Kruskal-Wallis秩和检验）

3非参数秩和检验

本章目录42区间估计和假设检验

3非参数秩和检验

3.1配对（成对）的符号检验

符号检验是根据配对（成对）资料差值的正、负符号来进行假设检验的一种方法，它不依赖总体分布，适应面广。

本章目录43区间估计和假设检验

4非参数秩和检验

3.1配对（成对）的符号检验(Wilcoxonsignedranktest)

Wilcoxon1945年提出，用以检验总体中位数是否等于指定值，也用以检验配对资料的差值是否来自中位数为零的总体。设有一配对样本，对子样为m，第i(i=1,…,m)对具有观察值(xi，yi),差值di=(yi-xi)，Md(d)表示d的中位数。本章目录44区间估计和假设检验

3非参数秩和检验

3.1配对（成对）的符号检验(Wilcoxonsignedranktest)

H0:Md(d)=0，H1:Md(d)≠0。检验基本思想：1、计算这m对观察值差数的绝对值|di|=|xi-yi|,i=1,…,m，省略所有差数为零的观察对，令剩下的对子数为n(n≤m)(n又称为有效对子数)；2、根据n个差数绝对值的大小，由小到大排秩，遇相同者，取平均秩次；3、将所排的秩次冠以原差数的符号；4、分别求正秩和(T+)与负秩和(T_)；5、双侧检验时取T+和T_中较小者为检验统计量T*，即T*=min(T+，T_)；单侧检验时，取T+或T_为检验统计量；6、根据T*值的大小得到H0成立时的P值，从而作出统计推断。本章目录45区间估计和假设检验

3非参数秩和检验

Wilcoxon符号秩检验的判断原则本章目录双侧检验单侧检验(1)单侧检验(2)检验假设H0:Md(d)=0H1:Md(d)≠0H0:Md(d)=0H1:Md(d)>0H0:Md(d)=0H1:Md(d)<0小样本(n≤50)查表法若T*≤Ta/2(n)，则拒绝H0若T_≤Ta(n)，则拒绝H0若T+≤Ta(n)，则拒绝H0大样本(n>50)正态近似法若|Z|>Za/2，则拒绝H0

若|Z|>Za，则拒绝H0若|Z|>Za，则拒绝H046区间估计和假设检验

3非参数秩和检验

3.1配对（成对）的符号检验

例8(配对符号检验):用二乙胺化学法与气相色谱法测定车间空气中CS2的含量(mg/m3),其测量值见表,问两法所得结果有无差别（检验水平＝0.1）?两种方法测定车间空气中CS2的含量（mg/m3）样品号 12345678910化学法 50.73.328.846.21.225.52.95.43.81.0色谱法 60.03.330.043.22.227.54.95.03.24.0本章目录47区间估计和假设检验

3非参数秩和检验

3.1配对（成对）的符号检验

例8(配对符号检验)datacs2;inputxy@@;diff=x-y;cards;50.760.03.33.328.830.046.243.21.22.225.527.52.94.95.4 5.03.83.21.04.0;procunivariatedata=cs2normal;vardiff;run;本章目录48区间估计和假设检验

3非参数秩和检验

3.1配对（成对）的符号检验

例8(配对符号检验)输出结果为：

M(Sign)-1.5Pr>=|M|0.5078W:Normal0.854817Pr<W0.0638从正态性检验的结果来看，在0.1显著性水平下拒绝这两种方法所测数据的差值服从正态分布(0.0638<0.1),故可采用非参数的符号检验和符号秩和检验。从符号检验M=-1.5,P=0.5078来看,在0.1显著性水平下不能认为这两种方法的测结果有差异。本章目录49区间估计和假设检验

3非参数秩和检验

3.2独立组数据的秩和检验

秩是样本由小到大排列的位次，将所有秩加起来，即得到秩和，Wilcoxon1945年据此提出了两样本秩和检验法，是用于比较两独立组数据的一种非参数检验；虽然此方法只利用了样本的大小次序而忽略具体数值，但其效果还是很好的（这一点已为人们所证明）。当然该法最大的好处是不受未知分布的影响，即所谓的“分布自由”。Wilcoxon秩和检验是通过运行PROCNPAR1WAY过程的语句实现的。本章目录50区间估计和假设检验

3非参数秩和检验

3.2独立组数据的秩和检验

例9(独立组数据的秩和检验)

实验室用局部温热治疗小鼠移植性肿瘤的疗效,以生存日数为观察指标，实验结果见表，问这两组小鼠生存日数有无差别?

小鼠发癌后生存日数实验组10121515161718202390*对照组2345678910111213本章目录51区间估计和假设检验

3非参数秩和检验

3.2独立组数据的秩和检验

此资料有截尾数据(表中90*)，或观测指标不服从正态分布时，要检验此两组数据间是否具差别，宜用非参数秩和法进行检验.

本章目录52区间估计和假设检验

3非参数秩和检验

3.2独立组数据的秩和检验

datanumdate;doI=1to2;inputnum;doj=1tonum;inputy@@;output;end;end;cards;1010121515161718202390122345678910111213;procnpar1waydata=numdatewilcoxon;classI;vary;run;

本章目录53

输出结果如下:

结果表明实验组的秩和为170，对照组的秩和为83，在H0下的期望值分别为115和138，标准差为15.1529004和15.1529004，平均秩为17和6.9166667。其Z=3.5967，Prob>|Z|=0.0003，说明这两组数据间有差别。54区间估计和假设检验

独立组和成对组数据比较的总结

1、两组比较的方法

本章目录检验法独立组成对组参数检验两样本T检验成对差值T检验非参数检验Wilcoxon秩和检验Wilcoxon符号秩检验55区间估计和假设检验

独立组和成对组数据比较的总结

2、两组比较的语句

检验法独立组成对组参数检验两样本T检验采用：PROCTTEST;CLASS分组变量名;VAR因变量名;（见例3程序）成对差值T检验采用：Dif=m-f;Procunivariate;Vardif;或：procmeanstprt;vardif;（见例7程序）其结果观察Pr>|T|的概率值非参数检验Wilcoxon秩和检验采用：PROCNPAR1WAYWILCOXON;CLASSI;VARy;（见例9程序）Wilcoxon符号秩检验采用：Dif=m-f;Procunivariate;Vardif;或：procmeanstprt;vardif;（见例8程序）其结果观察Pr>=|M|或Pr>|T|的概率值56区间估计和假设检验

4正态性检验

判断总体的分布是否为正态总体的假设检验称为正态性检验。从上面可以看出，许多统计结论是基于正态总体的，因此如何来判断某样本是否来自正态总体就显得非常重要。目前，正态性检验的方法很多，这里主要介绍SAS中常用的分布拟合优度检验，W检验和偏度峰度检验，Q-Q图检验等方法。本章目录57区间估计和假设检验

4正态性检验

本章目录58区间估计和假设检验

4正态性检验

本章目录59区间估计和假设检验

4正态性检验

本章目录60区间估计和假设检验

4正态性检验

例10已知20名学生的各科平均成绩为:56,23,59,74,49,43,39,51,37,61,43,51,61,99,23,56,49,49,75,20试检验其正态性。

本章目录61区间估计和假设检验

4正态性检验

例10分布拟合优度检验和Q-Q图检验SAS程序为：datascore;inputx@@;cards;5623597449433951376143516199235649497520;procunivariatedata=scorenormalplot;varx;run;

正态性检验

Q-Q图检验

本章目录62区间估计和假设检验

4正态性检验

例10分布拟合优度检验和Q-Q图检验程序中NORMAL要求进行正态性检验，其结果输出为：

W:Normal0.94955Pr<W0.3720表明这些数据是来自正态性总体。本章目录63区间估计和假设检验

4正态性检验

64区间估计和假设检验

4正态性检验

例10偏度、峰度检验datascore;inputx@@;cards;5623597449433951376143516199235649497520;procuniv